《矩形的性質(zhì)和判定》同步練習(xí)及答案

1、矩形的性質(zhì)和判定一填空題1如圖，矩形ABCD中，ABC的平分線(xiàn)交AD邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，連接EF若AB=8，且EF平分BED，則AD的長(zhǎng)為 題1 題3 題42若矩形的一條對(duì)角線(xiàn)與一邊的夾角是40，則兩條對(duì)角線(xiàn)相交所成的銳角是 3如圖，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中點(diǎn)，AEBD于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)是 4如圖，在矩形ABCD中，M為BC邊上一點(diǎn)，連接AM，過(guò)點(diǎn)D作DEAM，垂足為E若DE=DC=1，AE=2EM，則BM的長(zhǎng)為 5如圖，在矩形ABCD中，ABC的平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)E，連接CE若BC=7，AE=4，則CE= 題5 題6 題76如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)

2、O，點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，若AB=6cm，BC=8cm，則EF= cm7如圖，連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，還要添加 條件，才能保證四邊形EFGH是矩形8如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO，要使四邊形ABCD為矩形，則需添加的條件為 （填一個(gè)即可）題8 題11 題129已知四邊形ABCD為平行四邊形，要使得四邊形ABCD為矩形，則可以添加一個(gè)條件為 10木匠做一個(gè)矩形木框，長(zhǎng)為80cm，寬為60cm，對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為100cm，則這個(gè)木框 （填“合格”或“不合格”）11如圖，在四邊形ABCD中，已知ABDC，AB=DC，在不添

3、加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，使四邊形ABCD成為矩形，這個(gè)條件是 12如圖，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接EB，EC，DB請(qǐng)你添加一個(gè)條件 ，使四邊形DBCE是矩形二解答題13如圖，在ABCD中，BAD的平分線(xiàn)交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接BE，F(xiàn)=45（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sinAEB的值 14如圖，AD是等腰ABC底邊BC上的高點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)DO到E，使OE=OD，連接AE，CE（1）求證：四邊形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四邊形ADCE的面積 15如圖，四邊形ABCD

4、中，ABDC，B=90，F(xiàn)為DC上一點(diǎn)，且FC=AB，E為AD上一點(diǎn)，EC交AF于點(diǎn)G（1）求證：四邊形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求證：ED=EC 16如圖，在ABCD中，AEBC于點(diǎn)E點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至F點(diǎn)使CF=BE，連接AF，DE，DF（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的長(zhǎng) 17平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD上，CF=AE，連接BF，AF（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若AF平分BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面積矩形的性質(zhì)和判定解析一填空題（共12小題）1如圖，矩形ABCD中，ABC的平

5、分線(xiàn)交AD邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，連接EF若AB=8，且EF平分BED，則AD的長(zhǎng)為12【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出AEB=EBC，再求出ABE=EBC，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AE=AB，然后根據(jù)AD=AE+ED代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解【解答】解：矩形ABCD中，ADBC，AEB=EBC，ABC的平分線(xiàn)交AD邊于點(diǎn)E，ABE=EBC，ABE=AEB，AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，AD=AE+ED=8+4=12，故答案為：122若矩形的一條對(duì)角線(xiàn)與一邊的夾角是40，則兩條對(duì)角線(xiàn)相交所成的銳角是80【分析】因?yàn)閮蓷l對(duì)角線(xiàn)相交所成的銳角只有一個(gè)，直接應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理求解即

6、可【解答】解：由矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分，所構(gòu)成的三角形為等腰三角形，利用等邊對(duì)等角，所以另一底角為40，兩條對(duì)角線(xiàn)相交所成的鈍角為：180402=100故它們所成銳角為：180100=80故答案為803如圖，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中點(diǎn)，AEBD于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)是【分析】根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得到ABE=BAD=90，根據(jù)余角的性質(zhì)得到BAE=ADB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE=1，求得BC=2，根據(jù)勾股定理得到AE=，BD=，根據(jù)三角形的面積公式得到BF=，過(guò)F作FGBC于G，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CG=，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【解答】解：四邊形ABCD是矩形，A

7、BE=BAD=90，AEBD，AFB=90，BAF+ABD=ABD+ADB=90，BAE=ADB，ABEADB，E是BC的中點(diǎn)，AD=2BE，2BE2=AB2=2，BE=1，BC=2，AE=，BD=，BF=，過(guò)F作FGBC于G，F(xiàn)GCD，BFGBDC，=，F(xiàn)G=，BG=，CG=，CF=故答案為：4如圖，在矩形ABCD中，M為BC邊上一點(diǎn)，連接AM，過(guò)點(diǎn)D作DEAM，垂足為E若DE=DC=1，AE=2EM，則BM的長(zhǎng)為【分析】由AAS證明ABMDEA，得出AM=AD，證出BC=AD=3EM，連接DM，由HL證明RtDEMRtDCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，設(shè)EM=CM=x，則BM=2x

8、，AM=BC=3x，在RtABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：四邊形ABCD是矩形，AB=DC=1，B=C=90，ADBC，AD=BC，AMB=DAE，DE=DC，AB=DE，DEAM，DEA=DEM=90，在ABM和DEA中，ABMDEA（AAS），AM=AD，AE=2EM，BC=AD=3EM，連接DM，如圖所示：在RtDEM和RtDCM中，RtDEMRtDCM（HL），EM=CM，BC=3CM，設(shè)EM=CM=x，則BM=2x，AM=BC=3x，在RtABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，BM=；故答案為：5如圖，在矩形ABCD中，ABC的平分線(xiàn)交

9、AD于點(diǎn)E，連接CE若BC=7，AE=4，則CE=5【分析】首先證明AB=AE=CD=4，在RtCED中，根據(jù)CE=計(jì)算即可【解答】解：四邊形ABCD是矩形，ADBC，AB=CD，BC=AD=7，D=90，AEB=EBC，ABE=EBC，AB=AE=CD=4，在RtEDC中，CE=5故答案為56如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，若AB=6cm，BC=8cm，則EF=2.5cm【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)矩形性質(zhì)得出ABC=90，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根據(jù)三角形中位線(xiàn)求出即可【解答】解：四邊形ABCD是矩形，ABC=90，

10、BD=AC，BO=OD，AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：BD=AC=10（cm），DO=5cm，點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，EF=OD=2.5cm，故答案為：2.57如圖，連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，還要添加ACBD條件，才能保證四邊形EFGH是矩形【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，HGBD，EHAC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)EHG=1，1=2，根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角，EFG=90，所以2=90，因此ACBD【解答】解：G、H、E分別是BC、CD、AD的中點(diǎn)，HGBD，EHAC，EHG=1，1=2，2=EHG，四邊形EFGH是矩形，EHG=90，2=90，AC

11、BD故還要添加ACBD，才能保證四邊形EFGH是矩形8如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO，要使四邊形ABCD為矩形，則需添加的條件為DAB=90（填一個(gè)即可）【分析】根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分線(xiàn)的四邊形為平行四邊形可得四邊形ABCD是平行四邊形，添加條件DAB=90可根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形進(jìn)行判定【解答】解：可以添加條件DAB=90，AO=CO，BO=DO，四邊形ABCD是平行四邊形，DAB=90，四邊形ABCD是矩形，故答案為：DAB=909已知四邊形ABCD為平行四邊形，要使得四邊形ABCD為矩形，則可以添加一個(gè)條件為BAD=90【分析】根

12、據(jù)矩形的判定方法：已知平行四邊形，再加一個(gè)角是直角填空即可【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，BAD=90，四邊形ABCD是矩形，故答案為：BAD=90（答案不唯一）10木匠做一個(gè)矩形木框，長(zhǎng)為80cm，寬為60cm，對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為100cm，則這個(gè)木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的長(zhǎng)與寬的平方和是否等于對(duì)角線(xiàn)的平方，如果相等可得長(zhǎng)、寬、對(duì)角線(xiàn)構(gòu)成的是直角三角形，由此可得到每個(gè)角都是直角，根據(jù)矩形的判定：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，可得此桌面合格【解答】解：解：802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，D=90，同理：B=BCD=90，四邊形A

13、BCD是矩形，故答案為合格11如圖，在四邊形ABCD中，已知ABDC，AB=DC，在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，使四邊形ABCD成為矩形，這個(gè)條件是A=90【分析】根據(jù)有一個(gè)角是90的平行四邊形是矩形，即可解決問(wèn)題【解答】解：ABDC，AB=DC，四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)A=90時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形故答案為A=90（填B=90或C=90或D=90也可以）12如圖，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接EB，EC，DB請(qǐng)你添加一個(gè)條件EB=DC，使四邊形DBCE是矩形【解答】解：添加EB=DC理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，且AD

14、=BC，DEBC，又DE=AD，DE=BC，四邊形DBCE為平行四邊形又EB=DC，四邊形DBCE是矩形故答案是：EB=DC二解答題（共6小題）13如圖，在ABCD中，BAD的平分線(xiàn)交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接BE，F(xiàn)=45（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sinAEB的值【分析】（1）欲證明四邊形ABCD是矩形，只需推知DAB是直角；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BHAE于點(diǎn)H構(gòu)建直角BEH通過(guò)解該直角三角形可以求得sinAEB的值在RtBCE中，由勾股定理得在RtAHB中，BH=ABsin45=7所以通過(guò)解RtBHE得到：sinAEB=【解答】（1）證明：

15、四邊形ABCD是平行四邊形，ADBCDAF=FF=45，DAE=45AF是BAD的平分線(xiàn)，EAB=DAE=45DAB=90又四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BHAE于點(diǎn)H四邊形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，DCB=D=90AB=14，DE=8，CE=6在RtADE中，DAE=45，DEA=DAE=45AD=DE=8BC=8在RtBCE中，由勾股定理得在RtAHB中，HAB=45，BH=ABsin45=7 在RtBHE中，BHE=90，sinAEB=14如圖，AD是等腰ABC底邊BC上的高點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)DO到E，使OE=OD，連接AE，CE

16、（1）求證：四邊形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四邊形ADCE的面積【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出四邊形ADCE是平行四邊形，根據(jù)垂直推出ADC=90，根據(jù)矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)矩形的面積公式求出即可【解答】（1）證明：點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，AO=OC，OE=OD，四邊形ADCE是平行四邊形，AD是等腰ABC底邊BC上的高，ADC=90，四邊形ADCE是矩形；（2）解：AD是等腰ABC底邊BC上的高，BC=16，AB=17，BD=CD=8，AB=AC=17，ADC=90，由勾股定理得：AD=15，四邊形ADCE的面積是ADDC=1

17、58=12015如圖，四邊形ABCD中，ABDC，B=90，F(xiàn)為DC上一點(diǎn)，且FC=AB，E為AD上一點(diǎn)，EC交AF于點(diǎn)G（1）求證：四邊形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求證：ED=EC【分析】（1）由條件可先證得四邊形ABCF為平行四邊形，再由B=90可證得結(jié)論；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)可求得EAG=EGA=FGC，再利用直角三角形的性質(zhì)可求得D=ECD，可證得ED=EC【解答】證明：（1）ABCD，且FC=AB，四邊形ABCF為平行四邊形，B=90，四邊形ABCF是矩形；（2）EA=EG，EAG=EGA=FGC，四邊形ABCF為矩形，AFC=AFD=90，D+DAF=FGC+ECD

18、=90，D=ECD，ED=EC16如圖，在ABCD中，AEBC于點(diǎn)E點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至F點(diǎn)使CF=BE，連接AF，DE，DF（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的長(zhǎng)【分析】（1）先證明四邊形AEFD是平行四邊形，再證明AEF=90即可（2）證明ABF是直角三角形，由三角形的面積即可得出AE的長(zhǎng)【解答】（1）證明：CF=BE，CF+EC=BE+EC即 EF=BC在ABCD中，ADBC且AD=BC，ADEF且AD=EF四邊形AEFD是平行四邊形AEBC，AEF=90四邊形AEFD是矩形；（2）解：四邊形AEFD是矩形，DE=8，AF=DE=8AB=6，BF=10，AB2+AF2=62+82=100=BF2BAF=90AEBF，A