最短路徑問(wèn)題

1、.武威第二十中學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)科數(shù)學(xué)授課班級(jí)八（1）授課教師王莉課題 13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)利用兩點(diǎn)之間最短距離和軸對(duì)稱知識(shí)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題。能力目標(biāo)通過(guò)問(wèn)題的解決培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題能力，體會(huì)圖形在解決最值問(wèn)題中的作用。情感目標(biāo)通過(guò)具體實(shí)例感受數(shù)學(xué)來(lái)源生活、服務(wù)生活，調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn) 利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn) 教學(xué)過(guò)程中“轉(zhuǎn)化”思想的培養(yǎng)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課我們經(jīng)常聽(tīng)人說(shuō)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、服務(wù)于生活，但很多人感到我們?cè)谏钪泻茈y感覺(jué)到數(shù)學(xué)。其實(shí)不然，“我們說(shuō)服務(wù)于生活”，這句話沒(méi)錯(cuò)，只不過(guò)在數(shù)學(xué)和

2、現(xiàn)實(shí)生活中間存在著一個(gè)“轉(zhuǎn)化”的問(wèn)題。今天我們就從一個(gè)具體的例子展示：現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例和數(shù)學(xué)是如何轉(zhuǎn)化的。前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”，以及“垂線段最短”等最短路徑問(wèn)題。這節(jié)課我們就將利用我們所學(xué)的知識(shí)一起探索數(shù)學(xué)史上的一個(gè)著名的最短路徑問(wèn)題-將軍飲馬問(wèn)題。二、講授新課，共同探索 1、提出問(wèn)題： 如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊L飲馬，然后到B地。牧馬人到河邊什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ ABLABL 圖1 圖2 2、探索問(wèn)題： 教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考： （1）如何將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題？轉(zhuǎn)化的要點(diǎn)是什么？ （2）回憶以前學(xué)過(guò)的“最短”的知識(shí)點(diǎn)，（兩點(diǎn)之

3、間，線段最短；垂線段最短），思考：這個(gè)問(wèn)題中的“最短”和以前學(xué)過(guò)的知識(shí)有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？ （3）如何把“不同點(diǎn)”化為“相同點(diǎn)”？ （4）如何用圖形將問(wèn)題展現(xiàn)出來(lái)？【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，畫圖分析，并嘗試回答，相互補(bǔ)充，師生共同歸納： （1）將A、B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河L抽象為一條直線（如圖2），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如何在L上找一點(diǎn)C，使AC與BC的和最小（如圖3）。轉(zhuǎn)化時(shí)要注意條件和結(jié)論的轉(zhuǎn)化，以及點(diǎn)、線的抽象。（2）相同點(diǎn)：都是兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題。 不同點(diǎn)：一個(gè)是兩點(diǎn)在L的同側(cè)；一個(gè)是兩點(diǎn)在L的異側(cè)，并畫圖比較（如圖4）。ABL C 圖3 圖4（3）利用軸對(duì)稱的知識(shí)找出B點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)

4、稱點(diǎn)B,就可以滿足C B= CB,再連接A B，則A B與直線L的交點(diǎn)C極為所求。【教師板書并畫圖】如圖： 第一步：作出B點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B 第二步：連接A B，與直線L的交點(diǎn)為C, 則C點(diǎn)即為所求 【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)提出問(wèn)題-分析問(wèn)題-解決問(wèn)題的思路，引導(dǎo)學(xué)生積極探索問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力和問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力。3、數(shù)學(xué)證明【師生活動(dòng)】：師生共同分析，然后學(xué)生說(shuō)明證明過(guò)程，教師板書： 證明：如圖在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），連接AC、BC、BC由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB AC+BC = AC+BC在ABC中， ABAC+B

5、C， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短【教師提問(wèn)】：證明時(shí)，為什么要在L上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），這里的“C”的作用是什么？【師生活動(dòng)】：學(xué)生相互交流，并相互補(bǔ)充，后教師歸納：若直線L上任一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合）與A、B兩點(diǎn)的距離和（AC+BC）都大于AC+BC，就說(shuō)明AC+BC最小。 三、鞏固練習(xí)CAB山Q橋P河 1.如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑【師生活動(dòng)】：聯(lián)系本節(jié)課內(nèi)容，將大橋抽象為直線AB，將山腳的P處，大橋上的Q處抽象為兩點(diǎn)P、Q，其中PQ為定值，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：P、Q在BC的同側(cè)，要求在BC上找到一點(diǎn)R使PR+QR得和最小問(wèn)題。 2.如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來(lái)水廠向A村與B村供水。 (1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？ (2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？ 四、課堂小結(jié) 1、本節(jié)主要知識(shí)點(diǎn)： 軸對(duì)稱的對(duì)稱知識(shí)和兩點(diǎn)間的最短距離在“最短路徑”這類問(wèn)題中的運(yùn)用。實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。 2、提出問(wèn)題： 這節(jié)課你們學(xué)到了什么