考研數(shù)學(xué)線代資料—線性方程組(解的結(jié)構(gòu))

1、2017考研已經(jīng)拉開序幕，很多考生不知道如何選擇適合自己的考研復(fù)習(xí)資料。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【線性代數(shù)-線性方程組（解的結(jié)構(gòu)）知識點(diǎn)講解和習(xí)題】，希望可以助考生一臂之力。同時(shí)中公考研特為廣大學(xué)子推出考研集訓(xùn)營、專業(yè)課輔導(dǎo)、精品網(wǎng)課、vip1對1等課程，針對每一個(gè)科目要點(diǎn)進(jìn)行深入的指導(dǎo)分析，歡迎各位考生了解咨詢。模塊十 線性方程組（解的結(jié)構(gòu)）一齊次線性方程組1齊次線性方程組解的性質(zhì)定理：如果為齊次線性方程組的兩個(gè)解，則對任意的實(shí)數(shù)，仍為的解。注：）該定理也可以概括為的任意線性組合仍為的解；）該定理還可以推廣到多個(gè)向量的情況：假設(shè)是的解，則的任意線性組合仍為的解；2基礎(chǔ)解系（1）基本概念假

2、設(shè)齊次線性方程組有非零解。向量組稱為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，如果它們滿足如下三個(gè)條件：（1）都是的解；（2）線性無關(guān)；（3）的任意解都可以由線性表出。如果為的基礎(chǔ)解系，則的通解可以表示為。注：基礎(chǔ)解系是求齊次及非齊次線性方程組通解的關(guān)鍵，是解的結(jié)構(gòu)部分最重要的概念，為了讓考生對該概念有正確而全面的認(rèn)識，我們從如下兩方面來予以說明：1）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是的一組線性無關(guān)的解，它們可以線性表出的任意解。也就是說，假設(shè)是的任一解，向量組是線性相關(guān)的。通過上述分析不難發(fā)現(xiàn)，基礎(chǔ)解系本質(zhì)上是齊次線性方程組解集的極大線性無關(guān)組。2）由于基礎(chǔ)解系就是極大線性無關(guān)組，那么極大線性無關(guān)組的性質(zhì)對基礎(chǔ)解系

3、同樣成立，如：齊次線性方程組的任意兩個(gè)基礎(chǔ)解系是等價(jià)的，齊次線性方程組的任意兩個(gè)基礎(chǔ)解系所含的向量個(gè)數(shù)相等。（2）核心定理定理：設(shè)齊次線性方程組（個(gè)方程，個(gè)未知量）系數(shù)矩陣的秩，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，并且任一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量。注：1）結(jié)合對基礎(chǔ)解系定義的說明，該定理實(shí)質(zhì)上是說齊次線性方程組的解集的秩為；2）由極大線性無關(guān)組的性質(zhì)還可以得到：任意個(gè)線性無關(guān)的解都是的基礎(chǔ)解系?！纠?】：已知向量組為元齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，證明：向量組仍為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。 【例2】：設(shè)向量是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，而向量不是的解，即.試證明：向量組線性無關(guān).（3）計(jì)算方法 設(shè)

4、，則對系數(shù)矩陣實(shí)施初等行變換化為階梯型矩陣。找出主元（每行第一個(gè)非零元），再進(jìn)一步通過初等行變換將方程組化為“行最簡形”（使得主元所在列成為一個(gè)單位矩陣）。我們給出了主元為前個(gè)變量的情形，如下： 則對應(yīng)的齊次線性方程組可化為如下形式： 在上述方程中，分別令“自由變量”（主元以外的變量）其中一個(gè)為1，其余為0，如下：可以得到個(gè)線性無關(guān)的解向量：它們就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系?！纠?】：求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解?！敬鸢浮浚夯A(chǔ)解系為，齊次線性方程組的通解為?！纠?】：設(shè)齊次線性方程組，試問a為何值時(shí)，該方程組有非零解，并求其解?！敬鸢浮浚海?）若，方程組有非零解，基礎(chǔ)解系為，所以方程組的通解為（為任意常數(shù)）（2）若，當(dāng)時(shí)，基礎(chǔ)解系為所以通解為（k為任意常數(shù)）【例5】：已知齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中有2個(gè)向量，求并求它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。【答案】：；基礎(chǔ)解系為。在