高斯隨機(jī)信號生成初探.ppt

1、高斯隨機(jī)信號生成初探,張鵬 2010年11月4日,Outline,基本原理及實(shí)施步驟 仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及代碼 性能比較及分析 其他常見算法,基本原理及實(shí)施步驟,高斯樣本統(tǒng)計平均 直接生成滿足高斯分布的隨機(jī)變量 調(diào)用Matlab自帶的randn函數(shù) 中心極限定理方法（12平均法） 均勻分布函數(shù)映射（Box-Muller變換 ）,中心極限定理方法,由中心極限定理可知，假設(shè) Xi, i=1,2,n 是統(tǒng)計獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量，有限均值mx，有限方差x2。 定義歸一化隨機(jī)變量 （零均值和單位方差） 令 當(dāng)n 時，Y 的極限分布為高斯分布。,中心極限定理方法,對于0,1均勻分布的隨機(jī)變量，有 mx=1/2

2、，x2=1/12 調(diào)用Matlab自帶的rand函數(shù)生成n個均勻分布隨機(jī)變量，并按公式進(jìn)行疊加，即可得到滿足高斯分布的隨機(jī)變量 在實(shí)際應(yīng)用中通常取n=12，又稱為12平均法。在本實(shí)驗中一般取n=10。,均勻分布函數(shù)映射,復(fù)數(shù)高斯信號的幅度滿足瑞利分布，相位滿足均勻分布。因此如果我們能從均勻分布得到瑞利分布，就可以得到滿足高斯分布的隨機(jī)變量 瑞利分布的概率密度函數(shù)為 下面將會給出函數(shù)映射式,均勻分布函數(shù)映射,定義 其中x滿足0,1均勻分布 則有 我們知道，一般情況，如果x1, x2, ., xn 是方程g(x)=y 的實(shí)數(shù)解(即x用y表示的解)，x的概率密度函數(shù)為p(x)，則隨機(jī)變量Y=g(X)

3、 的概率密度函數(shù)為,均勻分布函數(shù)映射,對于本例，顯然有n=1， 得 ，對應(yīng)=1的瑞利分布 利用rand函數(shù)得到均勻分布隨機(jī)變量，并根據(jù)上式進(jìn)行線性變換得到瑞利分布的幅度r，同時生成均勻分布的相位，由下式即可得到高斯分布隨機(jī)變量,Outline,基本原理及實(shí)施步驟 仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及 代碼 性能比較及分析 其他常見算法,仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及代碼,程序默認(rèn)的隨機(jī)變量分布區(qū)間為-10,10，其中間隔為0.1，兩者均為可調(diào)值。 主要步驟是利用三種方法分別生成一定數(shù)量的高斯分布樣本，調(diào)用hist函數(shù)進(jìn)行直方圖統(tǒng)計，然后繪制包絡(luò)圖。 為方便比較，同時直接繪制高斯分布概率密度函數(shù)，表達(dá)式為,HIST Histogra

4、m,N = HIST(Y) bins the elements of Y into 10 equally spaced containers and returns the number of elements in each container. N = HIST(Y,X), where X is a vector, returns the distribution of Y among bins with centers specified by X. The first bin includes data between -inf and the first center and the

5、 last bin includes data between the last bin and inf. HIST(.) without output arguments produces a histogram bar plot of the results. The bar edges on the first and last bins may extend to cover the min and max of the data unless a matrix of data is supplied.,直方圖比較,樣本數(shù)目為1000000,高斯分布統(tǒng)計平均,中心極限定理方法,均勻分布

6、函數(shù)映射法,Outline,基本原理及實(shí)施步驟 仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及 代碼 性能比較及分析 樣本數(shù)目影響分析 中心極限定理n影響分析 誤碼率分析 其他常見算法,樣本數(shù)目影響分析,樣本數(shù)目為2000000，n=10,樣本數(shù)目影響分析,樣本數(shù)目為1000000，n=10,樣本數(shù)目影響分析,樣本數(shù)目為100000，n=10,樣本數(shù)目影響分析,樣本數(shù)目為10000，n=10,樣本數(shù)目影響分析,樣本數(shù)目為10000，n=10，間隔為0.3,總結(jié)1,隨著樣本數(shù)目增加，得到的概率密度函數(shù)曲線變得平滑，符合統(tǒng)計規(guī)律 三種方法得到的概率密度函數(shù)與理論基本一致，但是中心極限定理方法在小概率部分存在固定的誤差，此誤差并不

7、隨樣本數(shù)目的增加而減少 概率密度函數(shù)曲線的平滑程度同樣與hist函數(shù)的間隔有關(guān)，間隔增加時曲線變得平滑,中心極限定理n影響分析,樣本數(shù)目為1000000，n=30,中心極限定理n影響分析,樣本數(shù)目為1000000，n=20,中心極限定理n影響分析,樣本數(shù)目為1000000，n=15,中心極限定理n影響分析,樣本數(shù)目為1000000，n=10,中心極限定理n影響分析,樣本數(shù)目為1000000，n=5,中心極限定理n影響分析,樣本數(shù)目為1000000，n=3,大于3的概率(單位1e-3),總結(jié)2,隨著n的增加，中心極限定理方法與理論概率密度函數(shù)曲線的差距逐漸減小。 當(dāng)n取值較小時，中心極限定理方法

8、和理論概率密度曲線不僅在小概率處存在誤差，而且在中心附近也存在較大的誤差。 高斯樣本統(tǒng)計平均方法和均勻分布函數(shù)映射法始終能較好的符合理論推導(dǎo)。,誤碼率仿真系統(tǒng),系統(tǒng)無編碼，采用BPSK、QPSK調(diào)制 信道為加性高斯白噪聲 接收機(jī)采用硬判決方法 仿真點(diǎn)數(shù)為1000000，有效誤碼率最低為1e-5 中心極限定理方法n取值為10、30,BPSK誤碼率仿真(n=10),BPSK誤碼率仿真(n=30),QPSK誤碼率仿真(n=10),QPSK誤碼率仿真(n=30),分析3,在低SNR部分，三種方法產(chǎn)生的噪聲對系統(tǒng)性能影響不大，而在高SNR部分，中心極限定理方法產(chǎn)生的噪聲由于方差偏小，導(dǎo)致系統(tǒng)的誤碼率低于

9、實(shí)際情況 此問題的原因在于，在高SNR部分，高斯噪聲分布的小概率部分逐漸上升為主要因素，而中心極限定理方法出現(xiàn)大噪聲的可能性偏小。,Outline,基本原理及實(shí)施步驟 仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及代碼 性能比較及分析 其他常見算法,The Polar Method,由Marsaglia和Bray 提出，Box-Muller變換的極坐標(biāo)形式。 計算步驟如下： 產(chǎn)生兩個獨(dú)立同分布的U(0,1)隨機(jī)數(shù) 若S1，則返回第一步，否則計算 X即為一對相互統(tǒng)計獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,仿真結(jié)果,個人意見,從概率密度曲線上看，和Box-Muller變換差別不明顯。此外，計算兩種方法得到的pdf和正態(tài)分布pdf的方差，得到的結(jié)果同樣十分接近。 Polar Method方法由于引入了一定的限制條件，生成正態(tài)分布隨機(jī)變量數(shù)目是不固定的，只能采用for循環(huán)生成，不便于在Matlab中進(jìn)行編程。,其他方法,Inverse transform method The Ziggurat method The rejection method ,參考文獻(xiàn),1 Marsaglia G, Wai Wan Tsang. The Ziggurat Method for Generating Random Variables. 2 Box G E P, Muller M E. A Note on t