裂項相消法講義提高篇

1、 、利用裂項相消法求和應注意：1,抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩幾項，后面對稱地也剩幾項(1)?1 且前面所剩項的符號與后邊剛好相反，例如數(shù)列的求和。? )2n(n?將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相(2)?11111111? ，等如：若a是等差數(shù)列，則? nd2d aaaaaaaa12nnnn?nn?n?21n裂項相消法求和是歷年高考的重點，命題角度凸顯靈活多變，在解題中要善于利用裂項相消2. 的通項公式，達到求解目的歸納起來常見的命題角度有：a的基本思想，變換數(shù)列n1111111)?(? (1)；形如型。如 n1?n1n?nkn

2、n?(n?k)kn ?11n?n?k形如a(2) 型；n kkn?n?1111?)(3)形如a 型； n ?11?2nn?222n?12n?1n1(4)形如a 型 n22?2n?n11n?14?a形如(5)型； nnn3 1?11?4?4n?n1?14?14?n12n（n1）11(6). nnnnn2122）1）（nn1）2nn（n1 1角度1 形如a型; n?kn?n*，且aa8，又a、a的等比中項為在等比數(shù)列a中，a0，nN16. 1【例】 531n21(1)求數(shù)列a的通項公式； n1111(2)設(shè)bloga，數(shù)列b的前n項和為S，是否存在正整數(shù)k，使得k n4nnnSSSSn312*恒成

3、立若存在，求出正整數(shù)k的最小值；不存在，請說明理由N 對任意n解析 (1)設(shè)數(shù)列a的公比為q，由題意可得a16， 3nn1. a22.，則a8a8，qan2321nn1 ，b(2)log2 4n2?3nn?. bSbb n12n4 1 頁10 共 頁 第11441?， n?3n3S?n3nn1111 SSSSn231411111111（） n36142533n11224111114?1）0)1當n時，aS 1n112 2，a2Sa?nnn 2時，由當n?2a2Sa?1n1nn122. aaa得2aa1nnnn1n ，0a)(aa1)即(a1nn1nn 2)1(n0aa，aa1nn1nn 為公差

4、的等差數(shù)列為首項，11所以數(shù)列a是以n?1?nn 可得a，n，S(1) (2)由 nn2 3 頁10 共 頁 第1111. b nn2S1?1nn?nn bbbTbn1n2311111 1 n3221nn1. 1 11nn1 )n1,2,3，且a1，aS(變式4. (12分)已知數(shù)列a的前n項和為S nn1n1n2 的通項公式；(1)求數(shù)列an1n?a3log. 當b的前n項和T時，求證：數(shù)列(2)? nnbbn113?n?1nn 2 1?，aS n1n23? n2)2)，得到aa ( (解析 (1)由已知得n n1n21?Sa 1nn23 為公比的等比數(shù)列是以a為首項，以數(shù)列a 2n2111

5、 ，a又aS 121222 ，1 n 1，?331?nn22 aa2) (n a31 ? ?2nn222n22.， n? ?223333?n1. na證明 blog(3)log(2) ? 1nn?22221111. nnn?1n1?bb1nn1111 T nbbbbbbbb4132231nn11111111? ?n?432231n1n1. 1 nn11，nb是等差數(shù)列，且對任意正整數(shù)63，a，a變式5. 已知正項數(shù)列a，b滿足nnn12 成等比數(shù)列，a都有bb1nnn 的通項公式；b(1)求數(shù)列n2b1111n 的大小S，試比較2與2設(shè)(2)S nnaaaan121n，a，b成等比數(shù)列，且a對

6、任意正整數(shù)(1)n，都有b，b都為正項數(shù) 解析 nnn1nn 4 頁10 共 頁 第 列，* b，b2N是等差數(shù)列，)可得abb3，abb6，又bb(abbn2122n1n32n1n13232 1)b(解得bn2，b.n122211?2n1?n?21? 2，b(2)由(1)可得ab，則 1nnn?2n1na2?n?n21n1111112? ，S21 ?n?43232nn12n2b228nbn2n244?1n1n?2. 2S，又22，22S nn?a?3n2?nn32n2an3?n1n1n22bb11nn 2S2.當n1,2時， nnaa11nn1 a型角度2 形如nnnk1a*a的圖像過點(4

7、,2)(x)x，令 ，nN的前.記數(shù)列an【例2】已知函數(shù)f nn?n?f?f?n1_. ，則SS項和為2 013n11a. x)，則f(4)解析 由f2可得4x2，解得a 2211 n，n1a n?n1?ff?nn1n(2 0142 013)(4a(21)3)(32)Saaa2 0132 0133212 0141. 1角度3 形如a型; n?2n1?2n1?【例3】 (2013新課標卷)已知等差數(shù)列a的前n項和S滿足S0，S5. 5n3n(1)求a的通項公式； n1? 項和的前(2)求數(shù)列n? aa?122n1nn?n1?解析 (1)設(shè)a的公差為d，則Snad. 1nn2 ，1，ad3a30

8、?11 解得由已知可得?1.5.d5a10d?1故a的通項公式為a2n. nn1(2)由(1)知 aa2n12n11111?， ?1n22n32?n?32n12 5 頁10 共 頁 第1? 項和為的前從而數(shù)列n? aa?122n1n111111n1?. 113?132n2n12n21*) 1)(nN(1，Snann變式1. 已知數(shù)列a的前n項和為S，annn1n(1)求數(shù)列a的通項公式； n2(2)設(shè)b，求數(shù)列b的前n項和T. nnnaa1nn解析 (1)Snan(n1)，當n2時， nnS(n1)a(n1)(n2)， 1nn1aSSnan(n1)(n1)a(n1)(n2)， 1nn1nnn即

9、aa2. 1nn數(shù)列a是首項a1，公差d2的等差數(shù)列， 1n*. N1，n1)22n1故a(nn2211(2)由(1)知b， n112?2nan?2n1?2n1a1nn1111111?1?1bbbT故nn12 355372n?12n?1?n21. 12n2n11?S2. Sa滿足Sna中，a1，當2時，其前n項和. 變式2在數(shù)列 n?nnnn12 (1)求的表達式；SnSn. 的前b設(shè)，求bn項和T(2) nnn1n21?S2 解析 (1)Sa， n?nn2 a2)， (SSn1nnn1?S2 )，SS(S n?1nnn2 即2S，SSSnn1nn1 ，S由題意S0nn111 2，得SS式兩邊

10、同除以 n1nSSn1n111? 是首項為的等差數(shù)列數(shù)列，公差為12? SaS?n111112(n1)2n1，S. nS1n2n 6 頁10 共 頁 第S1n(2)又b n?1?2n1?2n12n111?， ?12n12n2111111Tbbb(1)()() nn1252331122nn11n?1. ?1n221n2變式3. 已知數(shù)列a前n項和為S，首項為nn1a，且，a，S成等差數(shù)列 nn12(1)求數(shù)列a的通項公式； n11111(2)數(shù)列b滿足b(loga)(loga)，求證：. 32n1n2nn222bbbbn13211(1)解 ，a，S成等差數(shù)列，2aS， nnnn2211當n1時，

11、2aS，a， 1112211當n2時，S2a，S2a， 1nnn1n22兩式相減得aSS2a2a， 1nn1nnnan2， a1n1數(shù)列a是首項為，公比為2的等比數(shù)列， n21nn21. 22a n2nn212223(2n1)(2n2log)1)a)(loga(log (2)證明b2log， 2322n21n2n2 7 頁10 共 頁 第111111()， 2b11122n2n12nnn1111111111111*)N (1)(n)()()(1 25b2b2b3b312n2n2n11n32111111即. 2bbbbn123變式4. (2014浙江協(xié)作體三模)在直角坐標平面上有一點列P(x，y

12、)，P(x，y)，P(x，n11221n2135y)，對一切正整數(shù)n，點P在函數(shù)y3x的圖像上，且P的橫坐標構(gòu)成以為首 nnn42項，1為公差的等差數(shù)列x n(1)求點P的坐標； n(2)設(shè)拋物線列C，C，C，C，中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線C的頂nn123112k，求C相切于點D(0，n的直線的斜率為1)記與拋物線P點為，且過點D nnnnnkkkk32211. kknn153135解析 (1)x(n1)(1)n，y3x3n. nnn224435?n，3nP. ?n422n312n52(2)C的對稱軸垂直于x軸，且頂點為P，設(shè)C的方程為yax. nnn242221. xn(2n3)

13、代入上式，得1)a1，C的方程為yx把D(0，nnnky|2n3， 0nx11111? ， ?312n2n2?2nkk3?2n1nn11111111111111? ?5?9577332n212nn2kkkk2kk3212n1n11. 106n4n1角度4 形如a型; n22?n2n?222(nn1)SS滿足：S(nn)0. 【例4】 (2013江西高考)正項數(shù)列a的前n項和nnnn(1)求數(shù)列a的通項公式a； nnn15*，都有T0Snnn 8 頁10 共 頁 第于是aS2，n2時， 1122(n1)(n1)2n. aSSnn1nnn綜上可知，數(shù)列a的通項公式a2n. nn(2)證明：由于a2

14、n， n111nn11?b，則b. 2nnn?2?2?n162222?n4n2?n2?an 11111111?1 T 22222 n52433?22?nn1?1?16 111111?1 222n?222?2n?n2?n?1?16115?1. ?226416 1?S?aaS?aSS?a?aq?0，公比，的前n項和為，已知等比數(shù)列【例4】 3n32211n12 成等差數(shù)列?a 1）求的通項公式（n1?bcbn?1bc?T。 2）設(shè)，n項和的前，求數(shù)列（ ?nn2nnn?n2alogn2解析：(1)因為錯誤!未找到引用源。成等差數(shù)列，所以錯誤!未找到引用源。.化簡得錯誤!未找到引用源。.所以錯誤!未找到引用源。. 因為錯誤!未找到引用源。，所以錯誤!未找到引用源。.故錯誤!未找到引用源。 (2) 錯誤!未找到引用源。 錯誤!未找到引用源。 錯誤!未找到引用源。 錯誤!未找到引用源。 錯誤!未找到引用源。 錯誤!未找到引用源。 n4角度5 形如a型 nnn1?41?41?已知數(shù)列a的前n項和為S，a3，若數(shù)列S1是公比為4的等比數(shù)列 n1nn(1)求數(shù)列a的通項公式； n 9 頁10 共 頁 第an1*，求數(shù)列b的前n項和T. (2)設(shè)b，nN