集合習(xí)題精選精講

1、集合元素的“三性”及其應(yīng)用集合的特征是學(xué)好集合的基礎(chǔ)，是解集合題的關(guān)鍵，它主要指集合元素的確定性、互異性和無(wú)序性，這些性質(zhì)為我們提供了解題的依據(jù)，特別是元素的互異性，稍有不慎，就易出錯(cuò)下面就集合元素的這三個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用加以說(shuō)明一、注意正確理解其意義1確定性：即對(duì)任意給定的對(duì)象，相對(duì)于某個(gè)集合來(lái)說(shuō)，要么屬于這個(gè)集合，要么不屬于這個(gè)集合，二者必居其一，關(guān)鍵是理解“確定”的含義2互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或說(shuō)是互異的），即同一個(gè)集合中的任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入任一個(gè)集合時(shí)，只能作為這個(gè)集合的一個(gè)元素3無(wú)序性：由于集合中元素是確定且是互異的，元素完全相同的集

2、合是相等的集合，因此，集合中的元素與順序無(wú)關(guān)二、注意正確利用“三性”解題例1下列命題正確的有哪幾個(gè)？很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；集合1，5與集合5，1是不同的集合；集合（1，5）與集合（5，1）是同一個(gè)集合；由1，0.5 這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素分析：這類題目主要考查對(duì)集合概念的理解，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是以集合中元素的確定性、互異性、無(wú)序性為標(biāo)準(zhǔn)作出判斷解：“很小”是一個(gè)模糊概念，沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，故我們很難確定某一個(gè)對(duì)象是否在其中，不符合集合元素的確定性，因此，“很小的實(shí)數(shù)”不能構(gòu)成集合，故錯(cuò)1，5是由兩個(gè)數(shù)1，5組成的集合，根據(jù)集合元素的無(wú)序性，它與5，1是同一個(gè)集合，故錯(cuò)（1，5）是由一個(gè)點(diǎn)

3、（1，5）組成的單元素集合，由于（1，5）與（5，1）表示兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以（1，5）和（5，1）是不同的兩個(gè)集合，故錯(cuò)，0.5，因此，由1，0.5 這些數(shù)組成的集合為1，0.5，共有3個(gè)元素因此，也錯(cuò)例2已知集合，2，其中，求的值分析：本題最常見(jiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為這兩個(gè)集合的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同，列出相應(yīng)的關(guān)系式，然后求出的值，這顯然違背了集合的無(wú)序性解：，及集合元素的無(wú)序性，有以下兩種情形：消去，解得1，此時(shí)，與集合中元素的互異性矛盾，1消去，解得，或1（舍去），故的值為評(píng)注：本題中，利用集合元素的無(wú)序性和兩集合相等時(shí)的元素特征，得出兩個(gè)方程組，打開(kāi)了解題的大門，求出值后，又利用了集合元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn)

4、，保證了所求的結(jié)果的準(zhǔn)確性例3設(shè)（2）1，R，求中所有元素之和錯(cuò)解：由（2）1得（1）（1）（1）當(dāng)時(shí)，1 x21，此時(shí)中的元素之和為2（2）當(dāng)時(shí)，1 x22分析上述解法錯(cuò)在（1）上，當(dāng)時(shí)，方程有二重根1，集合1，故元素之和為1，犯錯(cuò)誤的原因是忽視了集合中元素的“互異性”因此，在列舉法表示集合時(shí)，要特別注意元素的“互異性” 例4已知集合 2，3,+4+2， B0,7, +4-2,2-，且AB=3,7,求值分析： AB=3,7 +4+2=7 即 =1，或=5至此不少學(xué)生認(rèn)為大功告成，事實(shí)上，這只求出了集合A，集合B中的元素是什么,它是否滿足元素的互異性,有待于進(jìn)一步檢查當(dāng)=5時(shí),2=7， 在B中

5、重復(fù)出現(xiàn),這與元素的互異性相矛盾，故應(yīng)舍去=5當(dāng)=1時(shí), B=0,7,3,1 且AB=3,7 =1評(píng)注：集合元素的確定性，互異性，無(wú)序性在解題中有重要的指導(dǎo)作用，忽視這一點(diǎn)差之毫厘則失之千里集合與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)部分易錯(cuò)題分析1進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進(jìn)行求解.2你會(huì)用補(bǔ)集的思想解決有關(guān)問(wèn)題嗎？3求不等式（方程）的解集，或求定義域（值域）時(shí)，你按要求寫成集合的形式了嗎？問(wèn)題:、 、 的區(qū)別是什么？ 4絕對(duì)值不等式的解法及其幾何意義是什么？5解一元一次不等式（組）的基本步驟是什么？問(wèn)題:如何解不等式：？6三個(gè)二次（哪三個(gè)二次？）的關(guān)系及應(yīng)用掌

6、握了嗎？如何利用二次函數(shù)求最值？注意到對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)及對(duì)稱軸進(jìn)行討論了嗎？ 7簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題有什么區(qū)別？四種命題之間的相互關(guān)系是什么？如何判斷充分與必要條件？問(wèn)題：請(qǐng)舉例說(shuō)明“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別.什么是映射、什么是一一映射？問(wèn)題：已知：A=1，2，3，B=1，2，3，那么可以作 個(gè)A到B上的映射，那么可以作 個(gè)A到B上的一一映射.9函數(shù)的表示方法有哪一些？如何判斷函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性？單調(diào)性、周期性、奇偶性在函數(shù)的圖象上如何反應(yīng)？什么樣的函數(shù)有反函數(shù)？如何求反函數(shù)？互為反函數(shù)的圖象間有什么關(guān)系？求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，你注明函數(shù)的定義域了嗎？問(wèn)題：已知

7、函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（你處理函數(shù)問(wèn)題是是否將定義域放在首位） 問(wèn)題：已知函數(shù)圖象與的圖象關(guān)于直線.10、如何正確表示分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是什么？11、你熟練地掌握了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)嗎?問(wèn)題：已知函數(shù)上，恒有，則實(shí)數(shù)取值范圍是： 。12你熟練地掌握了函數(shù)單調(diào)性的證明方法嗎？（定義法、導(dǎo)數(shù)法）13如何應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解題?比較函數(shù)值的大?。唤獬橄蠛瘮?shù)不等式；求參數(shù)的范圍（恒成立問(wèn)題）.這幾種基本應(yīng)用你掌握了嗎？問(wèn)題：寫出函數(shù)的圖象及單調(diào)區(qū)間.時(shí),求函數(shù)的最值.這種求函數(shù)的最值的方法與利用均值不等式求函數(shù)的最值的聯(lián)系是什么？問(wèn)題：證明“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”

8、與證明“函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”有什么不同嗎？例題講解1、忽略的存在：例題1、已知A=x|，B=x|，若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【錯(cuò)解】AB，解得：【分析】忽略A=的情況.【正解】（1）A時(shí)，AB，解得：；（2）A= 時(shí)，得.綜上所述，m的取值范圍是（,2、分不清四種集合：、的區(qū)別.例題2、已知函數(shù)，那么集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ） （A） 1 （B）0 （C）1或0 （D） 1或2【錯(cuò)解】：不知題意，無(wú)從下手,蒙出答案D.【分析】：集合的代表元，決定集合的意義，這是集合語(yǔ)言的特征.事實(shí)上，、分別表示函數(shù)定義域，值域，圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，和不等式的解集.【正解】：本題中集合的含義是兩個(gè)圖象的交

9、點(diǎn)的個(gè)數(shù).從函數(shù)值的唯一性可知，兩個(gè)集合的交中至多有一個(gè)交點(diǎn).即本題選C. 3、搞不清楚是否能取得邊界值：例題3、A=x|x10，B=x|x1m且BA，求m的范圍.【錯(cuò)解】因?yàn)锽A，所以：.【分析】?jī)蓚€(gè)不等式中是否有等號(hào)，常常搞不清楚.【正解】因?yàn)锽A，所以：.4、不理解有關(guān)邏輯語(yǔ)言：例題4、“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，則以下四個(gè)命題：M的元素都不是P的元素；M中有不屬于P元素；M中有P的元素；M的元素不都是P的元素，其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)【錯(cuò)解】常見(jiàn)錯(cuò)誤是認(rèn)為第（）個(gè)命題不對(duì).【分析】實(shí)際上，由“非空集合M的元素都是集合P的元

10、素”是假命題知非空集合M不是集合P的子集，故“M的元素不都是P的元素”（M的元素有的是、有的不是集合P的元素，或M的元素都不是P的元素）是正確的.【正解】正確答案是B（2、4兩個(gè)命題正確）.5、解集錯(cuò)誤地寫成不等式或不注意用字母表示的兩個(gè)數(shù)的大?。豪}5、若a0, 則關(guān)于x的不等式的解集是 .【錯(cuò)解】x5 a【分析】把解集寫成了不等式的形式；沒(méi)搞清5 a和a的大小.【正解】x|xa 6、不能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣莆粘湟獥l件的概念：例題6、題甲“a，b，c成等比數(shù)列”，命題乙“”，那么甲是乙的（ ）（A） 充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分又非必要條件【錯(cuò)解】選C【分析】若a，b，

11、c成等比數(shù)列，則；若，則有可能.【正解】正確答案為：D7、考慮充要條件時(shí)，忽略了前提條件：例題7、ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（ ）條件（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充要 （D） 非充分非必要【錯(cuò)解】錯(cuò)選A【分析】實(shí)際上，由“A=B”能推出“sinA=sinB”；在ABC中，由正弦定理及“sinA=sinB”，可知，從而有“A=B”成立.【正解】正確答案為C.8、不能正確地理解有關(guān)概念，導(dǎo)致推理錯(cuò)誤：例題8、已知直線m、n和平面、，其中m、n，則的一個(gè)充分不必要條件是：（ ）（A）, （B） m, n （C） , （D）內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等【錯(cuò)解】錯(cuò)選A.【

12、分析】注意：尋找的是一個(gè)充分不必要條件.學(xué)生往往錯(cuò)誤地認(rèn)為：某條件，且某條件不能推出.而實(shí)際上，應(yīng)該是：某條件，且不能推出某條件.【正解】正確答案為C.9、邏輯推理混亂：例題9、使不等式成立的充分而不必要的條件是（ ）（A） （B） （C） （D）【錯(cuò)解】搞不清所要求的條件和不等式的關(guān)系.【分析】所要求的“某條件”滿足：（1）“某條件”不等式成立；（2）“某條件”不等式成立；【正解】正確答案為：B10、不會(huì)用“等價(jià)命題”推理：例題10、設(shè)命題p：|4x3|1，命題q：，若p是q的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .【錯(cuò)解】常見(jiàn)錯(cuò)誤解答是：.【分析】解答此題比較好的思路是：由p是q的必要而

13、不充分條件得知p是q的充分而不必要條件，然后再解兩個(gè)不等式，求a的取值范圍.【正解】正確答案是.11、不注意數(shù)形結(jié)合，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.例題11、曲線與直線有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是 【錯(cuò)解】誤將半圓認(rèn)為是圓.【分析】利用“數(shù)形結(jié)合”易于找到正確的解題思路.【正解】可得正確答案為：透過(guò)偽裝抓本質(zhì)集合思想及集合語(yǔ)言在解題中的應(yīng)用集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高考常考的內(nèi)容之一。集合思想及集合語(yǔ)言可以滲透到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，它可與函數(shù)、方程和不等式等許多知識(shí)綜合起來(lái)進(jìn)行考查。在解題時(shí)首先需要我們能讀懂集合語(yǔ)言，將集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，再用相關(guān)的知識(shí)解決問(wèn)題。本文將通過(guò)幾個(gè)典型例題的剖析，與大家談?wù)劶?/p>

14、思想與集合語(yǔ)言與其它知識(shí)的綜合應(yīng)用。一、集合與函數(shù)例1、已知集合，那么等于 （ ）A.（0,2）,(1,1) B.(0,2),(1,1) C. 1,2 D.解析：由代表元素可知兩集合均為數(shù)集，又P集合中y是函數(shù)中的y的取值范圍，故P集合的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的值域。而Q集合則為函數(shù)的定義域，從而易知，選D.評(píng)注：認(rèn)識(shí)一個(gè)集合，首先要看其代表元素，再看該元素的屬性，從而確定其實(shí)質(zhì)。例2、已知A=，B=，若，求k的取值范圍。分析：A集合是函數(shù)的定義域，而B(niǎo)集合中的方程可簡(jiǎn)化為：，故本題的題意是使方程有解的k的取值范圍，顯然即求函數(shù)的值域。解：由，得A=，當(dāng)時(shí)，可得：， A=-3,0二、集合與方程例3、已知，

15、求實(shí)數(shù)p的取值范圍。剖析：集合A是方程x2+(p+2)x+1=0的解集，則由，可得兩種情況：（1） A=，則由，得：（2） 方程x2+(p+2)x+1=0無(wú)正實(shí)根。則或（x1x2=10）于是例4、已知集合,集合，其中x、t均為實(shí)數(shù)，求。剖析：集合A是使方程x2+2tx-4t-3=0的解集為的t的取值范圍，集合B是使方程x2+2tx-2t=0有解的t的取值范圍，于是由，得.三、集合與不等式例5、已知集合A=a|ax2+4x-1-2x2-a恒成立，B=x| x2-(2m+1)x+m(m+1)0,若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：集合A是使不等式ax2+4x-1-2x2-a恒成立的a的取值范圍，集合

16、B是不等式x2-(2m+1)x+m(m+1)3/4，顯然不符合題意。(2) 當(dāng)a+20時(shí)，欲使()式對(duì)任意x均成立，必需滿足，解之得A=。又可求得B=x|mx1.四、集合與解幾例6、已知集合，如果,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。剖析：從代表元素(x,y)看,這兩個(gè)集合均為點(diǎn)集，又x2+mx-y+2=0及x-y+1=0是兩個(gè)方程，故AB的實(shí)質(zhì)為兩個(gè)曲線有交點(diǎn)的問(wèn)題，我們將其譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言即為：“拋物線x2+mx-y+2=0與線段x-y+1=0（0x2）有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。”解：由，得 ，方程在區(qū)間0,2上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.首先，由.當(dāng)時(shí)，由x1+x2=-(m-1)0及x1x2=10知, 方程有兩個(gè)

17、互為倒數(shù)的正根，故必有一根在區(qū)間內(nèi)，從而方程至少有一個(gè)根在區(qū)間0,2內(nèi)。 綜上，所求m的取值范圍是。例7、已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的值。解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，集合B=，符合題意。（2）當(dāng)a1時(shí)，易知A、B兩集合均為點(diǎn)集，其中A集合為直線y=(a+1)(x-2)+3(x2)上的點(diǎn)集，B集合為直線上的點(diǎn)集，由，知兩直線無(wú)公共點(diǎn)，故又有以下兩種情況：若兩直線平行，則-(a+1)=a+1 a=-1若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3），則，解之得：。綜上：五、集合與導(dǎo)數(shù)例7、已知，A=，則B中的元素個(gè)數(shù)為A.有3個(gè) B.有2個(gè) C.有且僅有1個(gè) D.不存在解：由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可知：A=x|x2-12x+200x|2x10,

18、又，當(dāng)xA時(shí)，易知： f(x)在區(qū)間2,10上為增函數(shù)而可求得f(2)0, 方程f(x)0在區(qū)間2,10上有且僅有一解。即集合B中僅有一個(gè)元素。練習(xí)：（1） 已知， , 求（2） 已知， , 求（3） 已知， , 求B（4）已知，求M集合學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤種種數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在集合學(xué)習(xí)中，由于對(duì)概念理解不清或考慮問(wèn)題不全面等，稍不留心就會(huì)不知不覺(jué)地產(chǎn)生錯(cuò)誤，本文歸納集合學(xué)習(xí)中的種種錯(cuò)誤，認(rèn)期幫助同學(xué)們避免此類錯(cuò)誤的再次發(fā)生一、混淆集合中元素的形成例1集合，則錯(cuò)解：解方程組得剖析：產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有弄清楚集合中元素的形式，混淆點(diǎn)集與數(shù)集集合中的元素都是有序數(shù)對(duì)，即平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，而不是

19、數(shù)，因而是點(diǎn)集，而不是數(shù)集二、忽視空集的特殊性例2已知，若，則的值為錯(cuò)解：由得由得或或3或剖析：由于忽視空集的特殊性空集是任何集合的子集，產(chǎn)生丟解的錯(cuò)誤，以上只討論了的情形，還應(yīng)討論的情形，當(dāng)時(shí)，的值為三、忽視集合中的元素的互異性這一特征例3已知集合，且，求的值錯(cuò)解：，必有或剖析：由于忽視集合中元素應(yīng)互異這一特征，產(chǎn)生增解的錯(cuò)誤求出的值后，還必須檢驗(yàn)是否滿足集合中元素應(yīng)互異這一特征事實(shí)上，（1）當(dāng)時(shí)，不滿足中元素應(yīng)互異這一特征，故應(yīng)舍去（2）當(dāng)時(shí)，滿足且集合中元素互異的值為1四、沒(méi)有弄清全集的含義例4設(shè)全集，求的值錯(cuò)解：且或剖析：沒(méi)有正確理解全集的含義，產(chǎn)生增解的錯(cuò)誤全集中應(yīng)含有討論集合中的一

20、切元素，所以還須檢驗(yàn)（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)滿足（2）當(dāng)時(shí)，應(yīng)舍去，五、沒(méi)有弄清事物的本質(zhì)例5若，試問(wèn)是否相等錯(cuò)解：剖析：只看到兩集合的形式區(qū)別，沒(méi)有弄清事物的本質(zhì)，事實(shí)上是偶數(shù)集，也是偶數(shù)集，兩集合應(yīng)相等，盡管形式不同換句話說(shuō)，兩集合中所含元素完全相同，六、誤用數(shù)學(xué)符號(hào)例6用，填空錯(cuò)解：錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有弄清符號(hào)“”與“”之間的區(qū)別“”表示元素與集合之間的關(guān)系，“”表示集合與集合之間的關(guān)系，表示集合，亦是集合，集合中的數(shù)學(xué)思想方法例析數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，信息社會(huì)越來(lái)越多的要求人們自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想提出問(wèn)題和用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，越來(lái)越注重對(duì)數(shù)學(xué)思

21、想和數(shù)學(xué)方法的考查，這已成為高考熱點(diǎn)問(wèn)題為幫助同學(xué)們更好地理解和掌握最常用的基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，特結(jié)合同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過(guò)的集合中有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法要點(diǎn)歸納如下，以擴(kuò)大讀者的視野一、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解集合問(wèn)題時(shí)，當(dāng)一種集合的表達(dá)式不好入手時(shí)，可將其先轉(zhuǎn)化為另一種形式比如：將= B或?qū)? A轉(zhuǎn)化為，將轉(zhuǎn)化為，將轉(zhuǎn)化為等例1 已知M =(x，y)| y = xa，N =(x，y)| xy= 2，求使得=成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：=等價(jià)于方程組無(wú)解。把y = xa代入方程xy= 2中，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程2x2axa2= 0。問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為一元二次方程無(wú)實(shí)根，即= (2a)42(a2)0，由此

22、解得a2或a2。故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a | a2或a2。評(píng)析：在理解集合符號(hào)的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確地將集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為初中已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后用所學(xué)的知識(shí)和方法把問(wèn)題解決這種轉(zhuǎn)化可以把抽象知識(shí)用簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，提高解題效率二、分類討論思想解答集合問(wèn)題時(shí)常常遇到這樣的情況：解題過(guò)程中，解到某一步時(shí)，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的形式繼續(xù)進(jìn)行，因?yàn)檫@時(shí)被研究的數(shù)學(xué)對(duì)象已包含了多種可能的情形，必須選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問(wèn)題，將這些小問(wèn)題一一加以解決，從而使問(wèn)題得到解決，這就是分類討論的思想方法例2 設(shè)集合A = x | x4x = 0，xR，B = x |

23、x2(a1)xa1= 0，aR，xR ，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：BA可分為B =，BA，B = A三種情況討論。解：A = 0，4，BA分以下三種情況：當(dāng)B = A時(shí)，B= 0，4，由此知：0和4是方程x2(a1)xa1= 0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)之間的關(guān)系，得：a = 1。當(dāng)BA時(shí)，又可分為：B =時(shí)，= 4(a1)4(a1)0，解得a1；B時(shí)，B = 0或B = 4，并且= 4(a1)4(a1) = 0，解得a=1，此時(shí)B = 0滿足題意。綜合、知，所求實(shí)數(shù)a的值為a1或a = 1。評(píng)析：解分類討論問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是將整體化為部分來(lái)解決。對(duì)于含參數(shù)的計(jì)劃問(wèn)題，常需要對(duì)參數(shù)分類討論。在分類時(shí)要

24、注意“不重不漏”。由于空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此，B =時(shí)也滿足BA所以BA中就應(yīng)考慮B =與B兩種情況，就是說(shuō)，正是空集引法的分類討論三、開(kāi)放思想開(kāi)放型問(wèn)題是相對(duì)于中學(xué)課本中有明確條件和結(jié)論的封閉型問(wèn)題而言的這類問(wèn)題的知識(shí)覆蓋面大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度集合中的開(kāi)放型問(wèn)題問(wèn)題大多是結(jié)論不定性開(kāi)放型問(wèn)題例3 設(shè)集合A = (x，y)|yx1= 0 ，集合B =(x，y)| 4x2x2y5 = 0 ，集合C =(x，y)| y = kxb ，是否存在k，bN，使得？若存在，請(qǐng)求出k，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

25、明理由解：因?yàn)?，即，所以且將y = kxb代入yx1= 0，得kx(2kb1)xb1= 0，因?yàn)?，所? (2kb1)4k( b1)0，即4k4kb10，若此不等式有解，應(yīng)有16b160，即b1又將y = kxb代入4x2x2y5 = 0，得：4x(22k)x(52b) = 0，因?yàn)?，所? (22k)4k(52b)0，即k2k8b190，若此不等式有解，應(yīng)有44(8b19)0，解得b由不等式、及bN，得b = 2將b = 2代入由0和0組成的不等式組，得，再注意到kN，求得k = 1故存在自然數(shù)k = 1，b = 2使得評(píng)析：在數(shù)學(xué)命題中，常以適合某種性質(zhì)的結(jié)論“存在(肯定型)”、“不存在(

26、否定型)”、“是否存在(討論型)”等形式出現(xiàn)“存在”就是有適合某種條件或符合某種性質(zhì)的對(duì)象，對(duì)于這類問(wèn)題無(wú)論用什么方法只要找出一個(gè)，就說(shuō)明存在“不存在”就是無(wú)論用什么方法都找不出一個(gè)適合某種已知條件或性質(zhì)的對(duì)象，這類問(wèn)題一般需要推理論證“是否存在”結(jié)論有兩種：一種是可能或存在；另一種是不存在，則需要說(shuō)明理由 集合解題八項(xiàng)注意解集合問(wèn)題時(shí)，若對(duì)集合的基本概念理解不透徹，或思考不全面，常常致錯(cuò)，為此，本文對(duì)集合解題時(shí)提出“八項(xiàng)”注意，希望引起同學(xué)們的重視。1. 注意集合中元素的互異性集合中任何兩個(gè)元素都是不同的，相同元素歸入同一集合時(shí)只能算作一個(gè)元素，因此集合中元素是沒(méi)有重復(fù)的，忽視互異性會(huì)引出錯(cuò)

27、解。例1. ，求實(shí)數(shù)a的值。錯(cuò)解：由題意知：即分析：，這與集合元素的互異性相矛盾，舍去。2. 注意集合元素的含義集合中元素是有一定意義的，對(duì)此，稍有疏忽就會(huì)導(dǎo)致解題失誤。例2. 設(shè)，則_。錯(cuò)解：由方程組解得：故分析：導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有正確理解集合元素的含義，A、B中的元素是有序數(shù)對(duì)，即表示平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，故3. 注意的特殊性是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，與任何集合的并集等于集合本身，忽視它的特殊性，同樣會(huì)造成解題錯(cuò)誤。例3. 已知集合，若，求由實(shí)數(shù)a組成的集合C。錯(cuò)解：因?yàn)樗约此苑治觯簩?dǎo)致錯(cuò)誤的原因是漏掉的情形，當(dāng)時(shí)，亦滿足條件，可得：4. 注意字母的取值范圍當(dāng)參數(shù)包含

28、于多個(gè)元素的表達(dá)式時(shí)，運(yùn)算過(guò)程中容易擴(kuò)大參數(shù)的取值范圍，應(yīng)注意檢驗(yàn)，否則會(huì)發(fā)生錯(cuò)解。例4. 已知集合，且，求實(shí)數(shù)a的值。錯(cuò)解：由，知分析：當(dāng)時(shí)，此時(shí)矛盾，應(yīng)舍去。5. 注意取等的可能性例5. 已知，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：由已知得：注：不要忽略的情況。6. 注意分類討論的重要性例6. 已知集合，若，求實(shí)數(shù)a和b的值。分析：因?yàn)?，故，故B中含一個(gè)或兩個(gè)元素，通過(guò)討論，可求出：7. 注意隱含條件例7. 全集，求實(shí)數(shù)a的值。錯(cuò)解：因?yàn)樗詮亩獾茫悍治觯簩?dǎo)致錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有考慮到隱含條件，因?yàn)镾是全集，所以。當(dāng)，符合題意；當(dāng)時(shí)，不符合題意，故。注：在解有關(guān)含參數(shù)的集合題時(shí)，需要進(jìn)行驗(yàn)證結(jié)果是否滿足題中的條件（包含隱含條件）。8. 回到定義，也是一法在遇到難入手的題目時(shí)，有時(shí)回到定義上來(lái)，反而變簡(jiǎn)單了。例8. 設(shè)，且則S為（ ）A. B. C. D. 分析：由題意，可求出集合M和N，從而求出p，q，r。由故解得由故又由故選（D）。高考中解集合問(wèn)題的幾種方法集合是歷來(lái)高考查的重要內(nèi)容之一，是整個(gè)高中內(nèi)容的基礎(chǔ)，由于集合知識(shí)的抽象性，給處理集合問(wèn)題帶來(lái)一定的困難，為此結(jié)合歷年高考集合題，例析解集合問(wèn)題的幾種常用方法，供參考。一、 數(shù)軸法由實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以用數(shù)軸上的點(diǎn)或區(qū)間表示數(shù)集，從而直觀形象地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。例1 (2005年天津理工高考) 設(shè)