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1、數(shù)列求和1、 數(shù)列求和公式法(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn_()_ (na1d)(其中a1為首項(xiàng),d為公差); (2)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,前項(xiàng)和為(1)當(dāng)時(shí),_();(2)當(dāng)時(shí),_()或_().2、分組求和法:把一個(gè)數(shù)列分成_(幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列,分別求和).3、裂項(xiàng)相消法:把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成_(兩項(xiàng)差)的形式,相加過(guò)程消去中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)再求和常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式有:(1)_();(2)_();(3)_();4、錯(cuò)位相減法:適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列_(對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列)求和5、倒序相加法:例如等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法例題1、公式法及分組求和法【例1】求數(shù)列的
2、前項(xiàng)和【解析】【變式1】設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,. ()求的通項(xiàng)公式; ()設(shè)是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(I)設(shè)為等比數(shù)列的公比,則由,即,解得(舍去),因此所以的通項(xiàng)為;(II).2、 裂項(xiàng)相消法【例2】已知等差數(shù)列滿足:,的前項(xiàng)和為()求及;()令(),求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】()設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)椋杂?,解得,所以?;()由()知,所以=,所以=,即數(shù)列的前項(xiàng)和=.3、錯(cuò)位相減法【例3】已知等差數(shù)列滿足,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由已知條件可得解得故等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,
3、即故, 所以,當(dāng)時(shí),兩式相減所以.綜上,數(shù)列的前項(xiàng)和為.4、倒序求和法【例4】設(shè),則的值為 【解析】.練習(xí)一、選擇題1、執(zhí)行如圖的程序框圖,若,則輸出的()A . B . C . D .提示:選D.由題意知當(dāng)時(shí),不成立,輸出,此時(shí)2、數(shù)列的和為()A. B.C. D. 提示:C. 首先研究數(shù)列的通項(xiàng),可以看作是,則分組求和得.3、數(shù)列的通項(xiàng)公式為,已知它的前項(xiàng)和,則項(xiàng)數(shù)等于()A6 B7 C48 D49提示: C.將通項(xiàng)公式變形得:則由,則有.4、若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則數(shù)列的前項(xiàng)和為()AB C D提示:C;用分組求和法.5、的結(jié)果為( ) 提示:C;用錯(cuò)位相減法.6、數(shù)列,(),(),( )
4、的前項(xiàng)和是( ) A . B. C. D. 提示:C; ,(),(),( )的前項(xiàng)和是:.二、填空題7、,則的值是_.提示:當(dāng)為偶數(shù)時(shí):當(dāng)為奇數(shù)時(shí):.綜合可得.8、 提示:用倒序求和法可得.9、已知函數(shù),則= .提示:,.10、已知等比數(shù)列中,若數(shù)列滿足,則數(shù)列 的前項(xiàng)和 = .提示:因?yàn)?,所以所?1、的結(jié)果為 .提示: ,用裂項(xiàng)相消法=.三、解答題12、等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知對(duì)任意的,點(diǎn),均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)求的值; (2)當(dāng)時(shí),記求數(shù)列的前項(xiàng)和【思路點(diǎn)撥】利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用錯(cuò)位相減法求和.提示:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn),均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí), w.w.w.k.s.5.u.c.o.
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