第5章 MATLAB 線性方程組的求解實(shí)例解析.ppt

1、實(shí)例解析,【例5-1】利用直接法求解下面的線性方程組。,編寫如下語句： A=1 2 3;4 5 6;7 8 0; % 線性方程組的系數(shù)矩陣 b=ones(3,1); % 線性方程組的右端向量 U1,x1=Gauss(A,b) % 利用順序Gauss消去法求解線性方程組 U2,x2=Gauss_column(A,b) % 利用列主元Gauss消去法求解線性方程組 L3,U3,x3=LU_decompose(A,b) % LU分解求解線性方程組 x4=Ab % 左除法求解線性方程組 x5=inv(A)*b % 逆矩陣法求解線性方程組,運(yùn)行結(jié)果：x =-1,1,0,【例5-6】求向量 的3個(gè)常用范數(shù)

2、。,調(diào)用函數(shù)norm()編寫如下語句： x=1 -2 0 7 4 -9 7; % 給定的向量 p=1 2 inf; % 范數(shù)的類型 % 調(diào)用norm()函數(shù)求解 for k=1:length(p) x_norm(k)=norm(x,p(k); % 將求取的不同范數(shù)存儲(chǔ)于向量x_norm中 end % 根據(jù)定義求解 x_norm1(1)=sum(abs(x); % 根據(jù)1-范數(shù)的定義求解 x_norm1(2)=sqrt(sum(x.2); % 根據(jù)2-范數(shù)的定義求解 x_norm1(3)=max(abs(x); % 根據(jù)-范數(shù)的定義求解 % 顯示求解結(jié)果 x_norm,x_norm1,運(yùn)行結(jié)果：

3、 x_norm =30.0000,14.1421,9.0000 x_norm1=30.0000,14.1421,9.0000,拓展,【例5-10】利用迭代法求解如下線性方程組。,分別利用jacobi法，Gauss-Seidel法和超松弛法求解，編寫如下語句： A=eye(2) -1/4*ones(2); -1/4*ones(2) eye(2); % 構(gòu)造系數(shù)矩陣 b=1/2*ones(4,1); % 右端向量 x1,iter1=Jacobi_iter(A,b) % 利用Jacobi迭代法求解線性方程組 x2,iter2=seidel_iter(A,b) % 利用Gauss-Seidel迭代法求

4、解線性方程組 w=1:0.1:2; % 松弛因子 for k=1:length(w) x,iter,exitflag=SOR_iter(A,b,w(k); % 根據(jù)不同松弛因子求解線性方程組 N(k)=iter; % 將迭代次數(shù)存入向量N end N w_opt=w(N=min(N) % 尋找迭代最快的方式,運(yùn)行結(jié)果：x=1.0000,1.0000,1.0000,1.0000iter1=19,iter2=11,w=1.1iter=6,實(shí)驗(yàn)范例：正方形槽的電位分布,由電磁學(xué)知識(shí)知，矩形槽中的電位函數(shù)滿足拉普拉斯方程，即 其邊界條件滿足第一類邊界條件（Dirichlet邊界條件）： 該方程為一個(gè)偏微分方程，固然可以用求解偏微分方程的方法求解，這里另外給出一種近似解法有限差分方法。有限差分法的第一步將場域分成足夠多的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線之間的距離為h，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)?，F(xiàn)我們來討論5個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)上電位之間的關(guān)系，即節(jié)點(diǎn)0上與節(jié)點(diǎn)1，2，3，4上1,2,3,4電位之間的關(guān)系。設(shè)節(jié)點(diǎn)0的坐標(biāo)為(x0, y0 )，由于網(wǎng)格的邊長h很小，因此在通過節(jié)點(diǎn)0且平行于軸的直線上的相鄰點(diǎn)x的電位值(x, y0) ，可用二維函數(shù)的泰勒公式在節(jié)點(diǎn)0展開為：,在節(jié)點(diǎn)1 ， ，這一點(diǎn)的電位為,在節(jié)點(diǎn)3 ， ，這一點(diǎn)的電位為,當(dāng)正方形網(wǎng)格分得足夠多時(shí)，網(wǎng)格的邊長h可以足夠的小，則上式中h4 以上的項(xiàng)都