小學奧數平面幾何可編輯

1、小學奧數平面幾何五大定律,1.,等積模型,2.,鳥頭定理,3.,蝴蝶定理,4.,相似模型,5.,燕尾定理,一、等積模型,等底等高的兩個三角形面積相等；,兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；,兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；,如右圖,S,1,:,S,2,?,a,:,b,夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖,S,ACD,?,S,BCD,S,ACD,?,S,BCD,，如果，則可知直線,AB,平行于,CD,反之,C,D,A,B,等底等高的兩個平行四邊形面積相等,(,長方形和正方形可以看作特殊的,平行四邊形,),；,三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；,兩個平行四邊形高相等

2、，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底,相等，面積比等于它們的高之比,二、鳥頭定理,?,兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形,?,共角三角形的面積比等于對應角,(,相等角或互補角,),兩夾邊的乘積之比,?,如圖在,?,ABC,中，,D,E,分別,AB,AC,是上的點如圖,(,或,D,在,BA,的延長線上，,AC,上如圖,(2),則,S,ABC,:,S,ADE,?,(,AB,?,AC,),:,(,AD,?,AE,),D,A,A,D,E,E,B,B,C,C,圖（,1,）,圖（,2,）,E,在,三、蝴蝶定理,?,任意四邊形中的比例關系(“蝴蝶定理”)：,S,1,:,S,2,

3、?,S,4,:,S,3,或者,S,1,?,S,3,?,S,2,?,S,4,B,A,S,2,S,1,O,S,3,S,4,D,AO,:,OC,?,?,S,1,?,S,2,?,:,?,S,4,?,S,3,?,C,蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑通過構造模型，,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關系與四邊形內的三角形相聯系；另一方面，,也可以得到與面積對應的對角線的比例關系,?,梯形中比例關系,(,“梯形蝴蝶定理”,),：,A,S,2,a,S,1,O,S,3,B,b,C,S,4,D,S,1,:,S,3,?,a,:,b,?,?,S,1,:,S,3,:,S,2,:,S,4,?,a,:,

4、b,:,ab,:,ab,?,S,的對應份數為,?,a,?,b,?,2,2,2,2,2,四、相似模型,(,一,),金字塔模型,A,(,二,),沙漏模型,E,A,F,D,D,B,F,G,E,C,B,G,C,AD,AE,DE,AF,2,2,S,：,S,?,AF,:,AG,?,?,?,ADE,ABC,AB,AC,BC,AG,所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形,(,只要其形狀不改變，,不論大小怎樣改變它們都相似,),，與相似三角形相關的常用的性質及定理如下：,?,相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；,?,相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；,?,連接三角

5、形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線,三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半,相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具,在小學奧數里，出現最多的情況是因為兩條平行線而出現的相似三角形,五、燕尾定理,S,?,ABO,:,S,?,ACO,?,BD,:,DC,?,在三角形,ABC,中，,AD,，,BE,，,CF,相交于同一點,O,，那么,F,O,B,D,C,A,E,上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為,?,ABO,和,?,ACO,的,形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題,目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它

6、可以存在于任何一個三角形之,中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯系的途徑,.,cm,，,E,、,F,、,G,為各邊中點，,H,為,AD,【例,2,】長方形的面積為,36,邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？,A,H,D,A,D,(,H,),2,E,G,E,G,B,F,C,B,F,C,【解析】特殊點法找的特殊點，把點,H,與點,D,重合，那么圖形就,可變成上右圖：,這樣陰影部分的面積就是,?,DEF,的面積，根據鳥頭定理，則有：,即,【例,3,】如圖所示，長方形,ABCD,內的陰,影部分的面積之和為,70,，,AB=8,，,AD=15,，,四邊形,EFGO,的面積為多少？,A,D,O

7、,E,B,F,G,C,【解析】利用圖形中的包含關系可以先求出三角形,AOE,、,DOG,和,四邊形,EFGO,的面積之和，以及三角形,AOE,和,DOG,的面積之和，,進而求出四邊形,EFGO,的面積,由于長方形,ABCD,的面積為,15,8=120,，所以三角形,BOC,的面積為,3,120,4=30,，所以三角形,AOE,和,DOG,的面積之和為,?,?,70,?,20,120,4,?,1,1,?,?,?,?,30,又三角形,AOE,、,DOG,和四邊形,EFGO,的面積之和為,120,?,?,?,2,4,?,所以四邊形,EFGO,的面積為,30-20=10,【例,4,】如圖，已知,CD=

8、5,，,DE=7,，,EF=15,，,FG=6,，線段,AB,將,圖形分成兩部分，左邊部分面積是,38,，右邊部分面積是,65,，那,么三角形,ADG,的面積是多少？,A,A,C,D,B,E,F,G,C,D,B,E,F,G,【解析】連接,AF,，,BD,，,根據題意可知,CF=5+7+15=27,，,DG=7+15+6,；,15,12,7,21,S,?,BE,F,?,S,?,CBF,S,?,BE,C,?,S,?,CBF,S,S,?,S,所以，,?,S,?,AED,?,ADG,?,AEG,?,ADG,27,27,28,28,21,15,7,12,于是：,S,?,ADG,?,S,?,CBF,?,6

9、5,S,?,ADG,?,S,?,CBF,?,38,28,27,28,27,可得,S,?,?,ADG,ADG,?,40,故三角形,ADG,的面積是,40,【例,6,】如圖，平行四邊形,ABCD,，,BE=AB,，,CF=2CB,，,GD=3DC,，,HA=4AD,，平行四邊形,ABCD,的面積是,2,，,求平行四邊,形,ABCD,與四邊形,EFGH,的面積比,H,H,A,B,C,E,A,G,D,F,B,C,E,G,D,F,【解析】連接,AC,，,BD,，根據共角定理,S,ABC,AB,?,BC,1,?,1,1,?,?,?,S,FBE,BE,?,BF,1,?,3,3,又,S,ABC,?,1,所以,

10、S,FBE,?,3,S,GCF,?,8,S,AEH,?,8,同理可得,S,GCF,?,8,所以,S,EFGH,?,S,AEH,?,S,CFG,?,S,DHG,?,S,BEF,?,S,ABCD,?,8,?,8,?,15+3+2,?,36,所以,S,ABCD,2,1,?,?,S,EFGH,36,18,【例,7,】如圖所示的四邊形的面積等于多少？,【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以,運用公式直接求面積,.,我們可以利用旋轉的方法對圖形實施變換：,把三角形,OAB,繞頂點,O,逆時針旋轉，使長為,13,的兩條邊重合，此,時三角形,OAB,將旋轉到三角形,OCD,的位置,.,這樣，

11、通過旋轉后所,得到的新圖形是一個邊長為,12,的正方形，且這個正方形的面積就,是原來四邊形的面積,.,因此，原來四邊形的面積為,12,12=144.(,也可以用勾股定理,),?,ABC,?,90,?,，,AB=3,，,BC=5,，以,AC,為,【例,8,】如圖所示，,?,ABC,中，,一邊向,?,ABC,外作正方形,ACDE,，中心為,O,，求,?,OBC,的面積,E,E,O,A,3,B,5,C,D,O,A,3,B,5,C,D,F,90,?,，到達,?,OCF,【解析】如圖，將,?,OAB,沿著點,O,順時針旋轉,的位置,AOC,?,90,?,，所以,?,OAB,?,?,OCB,?,180,?

12、,，而,?,OCF,?,?,OAB,由于,?,?,OCF,?,?,OCB,?,180,?,，,那么,B,、,C,、,F,三點在一條直線上,?,ABC,?,90,?,，,所以,?,BOF,?,?,AOC,?,90,?,，所以,?,BOF,是等腰直角三角形，且斜邊,由于,OB=OF,，,1,2,BF,為,5+3=8,，所以它的面積為,8,?,?,16,4,5,根據面積比例模型，,?,OBC,的面積為,16,?,?,10,8,【例,11,】如圖，平行四邊形,ABCD,的對角線交于點,O,，,?,CEF,、,?,OEF,、,?,ODF,、,?,BOE,的面積依次是,2,、,4,、,4,和,6,求：求,

13、?,OCF,的面積；求,?,GCE,的面積,A,O,G,B,E,C,D,F,【解析】根據題意可知，,?,BCD,的面積為,2+4+4+6=16,，那么,?,BCO,和,?,CDO,的面積都是,16,2=8,，所以,?,OCF,的面積為,8-4=4,；,由于,?,BCO,的面積為,8,，,?,BOE,的面積為,6,，所以,?,OCE,的面積為,8-6=2,，根據蝴蝶定理，,EG,:,FG,?,S,?,COE,:,S,?,COF,?,2,:,4,?,1:,2,所以,那么,S,?,GCE,:,S,?,GCF,?,EG,:,FG,?,1:,2,S,?,GCE,1,1,2,?,S,?,CEF,?,?,2

14、,?,1,?,2,3,3,【例,12,】如圖，長方形,ABCD,中，,BE:EC=2:3,，,DF:FC=1:2,，三角形,DFG,的面,積為,2,平方厘米，求長方形,ABCD,的面積,A,G,D,F,C,A,G,D,F,C,B,E,B,E,【解析】連接,AE,，,FE(,如右圖）,因為,BE:EC=2:3,，,DF:FC=1:2,，,3,1,1,1,所以,S,DEF,?,(,?,?,),S,長方形,ABCD,?,S,長方形,ABCD,5,3,2,10,1,1,1,S,AED,?,S,長方形,ABCD,，,AG,:,GF,?,:,?,5:1,又因為,2,2,10,所以,S,AGD,?,5,S,

15、GDF,?,10,cm,2,S,AFD,?,12,cm,2,又因為,S,AFD,1,?,S,長方形,ABCD,6,所以長方形,ABCD,的面積是,72,平方厘米,【例,13,】如圖，四邊形,ABCD,是邊長為,1,的正方形，,E,、,F,、,G,、,H,分別是,AB,，,BC,，,CD,，,DA,的中點，求陰影部分的面積,A,H,D,A,H,D,E,G,E,N,G,B,F,C,B,F,C,【解析】如右圖所示，連接,AC,、,EF,設,AF,、,CE,的交點為,N,可知,AC,EF,且,AC=2EF,那么三角形,BEF,的面積為三角形,ABC,面積的,1/4,，所,以三角形,BEF,的面積為,1

16、/8,，梯形的面積為,3/8,在梯形,AEFC,中，由于,EF,：,AC=1,：,2,，根據梯形蝴蝶定理，其四部分的面,3,1,1,，那么,積比為,1,：,2,：,2,：,4,：，所以三角形,EFN,的面積為,?,?,1,1,1,8,1,?,2,?,2,?,4,24,四邊形的面積為,?,?,8,24,6,1,1,1,?,?,4,?,而圖中四個空白四邊形的面積是相等的，所以圖中陰影部分的面積,6,3,【例,14,】如圖，已知正方形,ABCD,的邊長為,4,，,F,是邊,BC,的中點，,E,是邊,CD,上,S,的點，且,DE,：,EC=1,：,3,，,AF,與,BE,相交于點,G,，求,ABG,A

17、,B,A,B,G,G,F,F,D,E,C,D,E,C,M,AE,，延長,AF,與,DC,的延長線交于點,M,，,F,是邊,BC,的中點，所以,CM=AB=4,又,CE=3,，所以,EM=7,，則,GB,：,GE=AB,：,EM=4,：,7,所以,S,?,4,4,32,ABG,4,?,7,S,ABE,?,11,?,(4,?,4,?,2),?,11,【解析】連接,因為,【例,15,】如圖，,ABCD,為正方形，,AM=NB=DE=FC=1cm,且,MN=2cm,，請問四,邊形,PQRS,的面積為多少？,D,E,R,S,P,A,M,N,B,Q,F,C,D,E,R,S,P,F,C,Q,A,M,N,B,

18、MP,PC,?,【解析】由,AB,CD，有,，所以,PC=2PM,MN,DC,MQ,MB,1,?,MQ,?,QC,?,MC,又,，所以,QC,EC,2,1,1,1,所以,PQ,?,MC,?,MC,?,MC,2,3,6,所以,S,SPQR,1,2,?,?,1,?,(1,?,1,?,2),?,cm,2,6,3,【例,18,】如圖，面積為,1,的三角形,ABC,中，,D,、,E,、,F,、,G,、,H,、,I,分別是,AB,、,BC,、,CA,的三等分點,求陰影部分面積,.,A,A,D,D,E,I,E,N,M,I,H,P,Q,H,B,F,G,C,B,F,G,C,【解析】令,BI,與,CD,的交點為,M,，,AF,與,CD,的交點為,N,，,BI,與,AF,的交點為,P,BI,與,CE,的交點為,Q,連接,AM,、,BN,、,CP,。,S,:,S,?,AI,:,CI,?,1:,2,S,四邊形