大學課件 高等數(shù)學下冊 第7章_多元函數(shù)微分學

1、1,音樂,第七章,多元函數(shù)微分法,2,前幾章討論的函數(shù)都只有一個自變量,稱一元函數(shù).但在實際問題中,往往牽涉到多方面的因素,反映到數(shù)學上,就是一個變量依賴于多個變量的情形,這就提出了多元函數(shù)以及多元函數(shù)微積分問題.本章將在一元微積分的基礎上,討論多元函數(shù)的微分法及其應用.主要討論二元的情況.,3,一、平面點集 n 維空間,平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合,稱為平面點集,記作,例如,平面上以原點為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點的集合可表示為,第一節(jié) 多元函數(shù)的概念,4,實例：,二、多元函數(shù)的概念,5,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念.,二、多元函數(shù)的概

2、念,6,解,所求定義域為,例1,7,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,二元函數(shù) 的圖形,8,三、多元函數(shù)的極限,定義,9,說明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限.,（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似,10,確定二重極限不存在的方法：,11,例2,解,沿 x 軸考察,12,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,定義,一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,13,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值.,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,1

3、4,第二節(jié) 多元函數(shù)的偏導數(shù),一、偏導數(shù)的定義及其計算法,或,15,偏導函數(shù):,記為,或,或,2.偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù).,說明:,1.偏導數(shù)實質(zhì)上仍然是一元函數(shù)的微分問題.,16,解,例1,17,解,例2,18,解,例3,19,偏導數(shù)的幾何意義,得的曲線,20,多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 連續(xù)，,偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系,？,但函數(shù)在該點處并不連續(xù).,21,混合偏導數(shù),二、高階偏導數(shù),22,解,例5,23,第三節(jié) 全微分及其應用,回顧:,能表示成,實際上,即,24,二元函數(shù)的可微和全微分,定義,如果可以表示為,25,證,同理可得,可微 可偏導,26,習慣上，記全微分為,27,解,例

4、1,解,例2,28,多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系,29,證略,第四節(jié) 多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法,一、復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形,多元復合函數(shù)的微分法,30,以上公式中的導數(shù) 稱為全導數(shù).,31,解,例1,32,二、復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形.,鏈式法則如圖示,33,二、復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形.,鏈式法則如圖示,34,35,解,例1,36,解,例2,37,解,例3,38,解,例4,解,例5,39,隱函數(shù)的微分法,一、一個方程的情形,一元隱函數(shù)存在定理,(證略),40,例1,求由方程,解,41,例2,解,則,所以,注: 用一元隱函數(shù)求導法更簡單:,方程兩邊關

5、于x求導,得,解得,42,二元隱函數(shù)存在定理,(證略),43,解法一,令,則,例3,44,第五節(jié) 多元函數(shù)的極值,播放,45,一、多元函數(shù)的極值及最值,極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,46,(1),(2),(3),例1,例,例,47,多元函數(shù)取得極值的條件,（稱駐點）,駐點,極值點,注意：,定理1（必要條件）,48,問題：如何判定一個駐點是否為極值點？,定理2（充分條件）,49,例4,解,值得指出的是，如果函數(shù)有不可導點，那不可導點也可能是極值點。,50,求最值的一般方法： 將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值

6、，最小者即為最小值.,多元函數(shù)的最值,51,解,例5,先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點，,解方程組,52,為最小值.,53,若根據(jù)實際問題,目標函數(shù)有最大值(或最小值),而在定義區(qū)域內(nèi)部有唯一的極大(小)值點,則可以斷定該極大(小)值點即為最大(小)值點.,例6,解,解方程組,54,55,用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容積為V,問怎么做用料最??？,二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法,實際問題中,目標函數(shù)的自變量除了受到定義域的限制外, 往往還受到一些附加條件的約束,這類極值問題稱條件極值問題.,例1,解,即表面積最小.,代入目標函數(shù),化為無條件極值問題：,56,內(nèi)部唯一駐點,且由實際問題S有最小值,故做成立方

7、體表面積最小.,這種做法的缺點：,1.變量之間的平等關系和對稱性被破壞；,2.有時解出隱函數(shù)困難甚至不可能.,同理，我們可以討論P153的問題！,57,拉格朗日乘數(shù)法,那么,58,59,60,拉格朗日乘數(shù)法,令,引入拉格朗日函數(shù),61,則構造拉格朗日函數(shù)為,令,62,用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求表面積為a2,問怎么做體積最大？,例2,解,由實際問題,即為最大值點.,63,例3,解,解得唯一駐點,即做成正三角形時面積最大.,64,三角形中,以正三角形面積為最大:,四邊形中,以正方形面積為最大：,65,例4,解,此橢圓的中心顯然是坐標原點,因此問題即求,下的最大值和最小值.,作拉格朗日函數(shù),66,由,67,68,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,69,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,70,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,71,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,72,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,73,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,74,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,75,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,76,第八節(jié) 多元函數(shù)的