高考數(shù)學(xué)押題卷(限黃岡中學(xué))

1、2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料 高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)分類討論押題針對(duì)訓(xùn)練復(fù)習(xí)目標(biāo):1掌握分類討論必須遵循的原則2能夠合理，正確地求解有關(guān)問(wèn)題命題分析:分類討論是一種重要的邏輯方法，也是一種常用的數(shù)學(xué)方法，這可以培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和概括性，以及認(rèn)識(shí)問(wèn)題的全面性和深刻性，提高學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.因此分類討論是歷年數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).而且也是高考的一個(gè)難點(diǎn).這次的一?？荚囍?，尤其是西城與海淀都設(shè)置了解答題來(lái)考察學(xué)生對(duì)分類討論問(wèn)題的掌握情況.重點(diǎn)題型分析:例1解關(guān)于x的不等式:解:原不等式可分解因式為:(x-a)(x-a2)a2a2-a0即 0a1時(shí)，不等式的解為 x(a2, a).（2）

2、當(dāng)a0即a1時(shí)，不等式的解為:x(a, a2)（3）當(dāng)a=a2a2-a=0 即 a=0或 a=1時(shí)，不等式為x20或(x-1)20不等式的解為 x.綜上，當(dāng) 0a1時(shí)，x(a2, a)當(dāng)a1時(shí)，x(a,a2)當(dāng)a=0或a=1時(shí)，x.評(píng)述:抓住分類的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，此題分解因式后，之所以不能馬上寫(xiě)出解集，主要是不知兩根誰(shuí)大誰(shuí)小，那么就按兩個(gè)根之間的大小關(guān)系來(lái)分類.例2解關(guān)于x的不等式 ax2+2ax+10(aR)解:此題應(yīng)按a是否為0來(lái)分類.（1）當(dāng)a=0時(shí)，不等式為10, 解集為R.（2）a0時(shí)分為a0 與a0兩類時(shí)，方程ax2+2ax+1=0有兩根.則原不等式的解為.時(shí)，方程ax2+2ax+1=0沒(méi)

3、有實(shí)根，此時(shí)為開(kāi)口向上的拋物線，則不等式的解為（-，+）. 時(shí)，方程ax2+2ax+1=0只有一根為x=-1，則原不等式的解為(-,-1)(-1,+).時(shí)，方程ax2+2ax+1=0有兩根，此時(shí)，拋物線的開(kāi)口向下的拋物線，故原不等式的解為:.綜上:當(dāng)0a1時(shí)，解集為.當(dāng)a=1時(shí)，解集為(-,-1)(-1,+).當(dāng)a0時(shí)， 不等式化為，當(dāng)，即a0時(shí)，不等式解為.當(dāng)，此時(shí)a不存在. a0時(shí)，不等式化為，當(dāng)，即-2a0時(shí)，不等式解為當(dāng)，即a0時(shí)，x.-2a0時(shí)，x.a2時(shí)，t=1，解方程得:（舍）.(2)當(dāng)時(shí)，即-2a2時(shí)，,解方程為:或a=4（舍）.(3)當(dāng) 即a-2時(shí)， t=-1時(shí)，ymax=-

4、a2+a+5=2即 a2-a-3=0 , a0, 即 x(2,+).由(2)a1時(shí)，下面分為三種情況. 即a1時(shí)，解為.時(shí)，解為. 即0a1時(shí)，的符號(hào)不確定，也分為3種情況. a不存在. 當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解為:.綜上:a=1時(shí)，x(2,+).a1時(shí)，xa=0時(shí)，x.0a1時(shí)，x.評(píng)述:對(duì)于分類討論的解題程序可大致分為以下幾個(gè)步驟:10:明確討論的對(duì)象，確定對(duì)象的全體；20:確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確分類，不重不漏；30:逐步進(jìn)行討論，獲得結(jié)段性結(jié)記；40:歸納總結(jié)，綜合結(jié)記.課后練習(xí):1解不等式2解不等式3已知關(guān)于x的不等式的解集為M.（1）當(dāng)a=4時(shí)，求集合M:（2）若3M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5、4在x0y平面上給定曲線y2=2x, 設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,0), aR，求曲線上點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值d，并寫(xiě)成d=f(a)的函數(shù)表達(dá)式.參考答案:1. 2.3. (1) M為(2)4. .2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)函數(shù)押題針對(duì)訓(xùn)練復(fù)習(xí)重點(diǎn)：函數(shù)問(wèn)題專題，主要幫助學(xué)生整理函數(shù)基本知識(shí)，解決函數(shù)問(wèn)題的基本方法體系，函數(shù)問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn)，并提高學(xué)生靈活解決綜合函數(shù)問(wèn)題的能力。復(fù)習(xí)難點(diǎn)：樹(shù)立數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)方程的思想解決有關(guān)問(wèn)題。主要內(nèi)容：（一）基本問(wèn)題1.定義域 2.對(duì)應(yīng)法則 3.值域4.圖象問(wèn)題 5.單調(diào)性 6.奇偶性（對(duì)稱性）7.周期性 8.反函數(shù) 9.函數(shù)值比大小10.分段函數(shù) 11. 函

6、數(shù)方程及不等式（二）基本問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn)及基本方法1集合與映射認(rèn)清集合中的代表元素有關(guān)集合運(yùn)算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的區(qū)別。還應(yīng)注意空集的情形，驗(yàn)算端點(diǎn)。2關(guān)于定義域復(fù)合函數(shù)的定義域，限制條件要找全。應(yīng)用問(wèn)題實(shí)際意義。求值域，研究函數(shù)性質(zhì)（周期性，單調(diào)性，奇偶性）時(shí)要首先考察定義域。方程，不等式問(wèn)題先確定定義域。3關(guān)于對(duì)應(yīng)法則注：分段函數(shù)，不同區(qū)間上對(duì)應(yīng)法則不同聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)求解析式4值域問(wèn)題基本方法：化為基本函數(shù)換元（新元范圍）?；癁槎魏瘮?shù)，三角函數(shù)，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，求值域。均值不等式：形如和，積，及形式。注意識(shí)別及應(yīng)用條件。幾何背景：解析幾何如斜率，曲線間位置關(guān)系

7、等等。易錯(cuò)點(diǎn)：考察定義域均值不等式使用條件5函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性。關(guān)注問(wèn)題：判定時(shí)，先考察定義域。用定義證明單調(diào)性時(shí)，最好是證哪個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，在哪個(gè)區(qū)間上任取x1及x2。求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)區(qū)間及定義域，有時(shí)需分類討論。由周期性及奇偶性（對(duì)稱性）求函數(shù)解析式?！捌媾夹浴?“關(guān)于直線x=k”對(duì)稱，求出函數(shù)周期。6比大小問(wèn)題基本方法：粗分。如以“0”，“1”，“-1”等為分界點(diǎn)。搭橋 結(jié)合單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合比差、比商 利用函數(shù)圖象的凸凹性。7函數(shù)的圖象基本函數(shù)圖象圖象變換 平移 對(duì)稱（取絕對(duì)值） 放縮易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)合變換時(shí)，有兩種變換順序不能交換。如下：取絕對(duì)值（對(duì)稱）與

8、平移例：由圖象，經(jīng)過(guò)如何變換可得下列函數(shù)圖象？ 分析： 評(píng)述：要由得到只能按上述順序變換，兩順序不能交換。平移與關(guān)于y=x對(duì)稱變換例：y=f(x+3)的反函數(shù)與y=f-1(x+3)是否相同？分析：的反函數(shù)。兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)（也可以用具體函數(shù)去驗(yàn)證。）（三）本周例題：例1判斷函數(shù)的奇偶性及周期性。分析：定義域： f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖：又 f(-x)=-f(x), f(x)周期p的奇函數(shù)。評(píng)述：研究性質(zhì)時(shí)關(guān)注定義域。例2設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且，又當(dāng)x-3,-2時(shí)，f(x)=2x，求f(113.5)的值。已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)=x+

9、1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解： ， f(x)周期T=6， f(113.5)=f(619-0.5)=f(-0.5).當(dāng)x(-1,0)時(shí)，x+3(2,3). x(2,3)時(shí)，f(x)=f(-x)=2x. f(x+3)=-2(x+3). , .（法1）（從解析式入手） x(1,2), 則-x(-2,-1), 2-x(0,1), T=2. f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. f(x)=3-x, x(1,2). 小結(jié)：由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間上問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上。（法2）（圖象）f(x)=f(x+2)如圖：x(0,1), f(x)=x+1.x(-1,0)

10、f(x)=-x+1.x(1,2)f(x)=-(x-2)+1=3-x.注：從圖象入手也可解決，且較直觀。例3若x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。 已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+5對(duì)任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在閉區(qū)間Zm,0上有最大值5，最小值1，求m的取值范圍。分析：設(shè) y1=(x-1)2, y2=logaxx(1,2)，即x(1,2）時(shí)，曲線y1在y2的下方，如圖： a=2時(shí)，x(1,2)也成立，a(1,2.小結(jié)：數(shù)形結(jié)合 變化的觀點(diǎn)注意邊界點(diǎn)，a=2，x取不到2， 仍成立。f(t)=f(-4-t), f(-2+t)=f(-2-t) f(x)圖

11、象關(guān)于x=-2對(duì)稱， a=4, f(x)=x2+4x+5. f(x)=(x+2)2+1, 動(dòng)區(qū)間：m,0, xm,0, f(x)max=5, f(x)min=1, m-4,0.小結(jié)：函數(shù)問(wèn)題，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，并應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問(wèn)題。如二次函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)問(wèn)題，定函數(shù)動(dòng)區(qū)間及動(dòng)函數(shù)和定區(qū)間，但兩類問(wèn)題若涉及函數(shù)最值，必然要考慮函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而二次函數(shù)的單調(diào)性研究關(guān)鍵在于其圖象對(duì)稱軸的位置。以發(fā)展的眼光看，還可解決一類動(dòng)直線定曲線相關(guān)問(wèn)題。例4已知函數(shù)(I)判定f(x)在x(-,-5)上的單調(diào)性，并證明。(II)設(shè)g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有實(shí)根，求a

12、的取值范圍。分析：(I)任取x1x2-5,則：, (x1-5)(x2+5)-(x1+5)(x2-5)=10(x1-x2)0 且(x1+5)(x2-5)0, 當(dāng)a1時(shí)，f(x1)-f(x2)0, f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0a0,f(x)單調(diào)遞減。(II)若f(x)=g(x)有實(shí)根，即：。 即方程：有大于5的實(shí)根。（法1） （ x5） .（法2）（實(shí)根分布）(1)有大于5的實(shí)根，方程(1)化為：ax2+(2a-1)x-15a+5=0. a0, =64a2-24a+10. 有一根大于5 .兩根均大于.小結(jié)：實(shí)根分布即利用二次函數(shù)圖象及不等式組解決問(wèn)題。用此數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題時(shí)，具體步驟為：二次函數(shù)圖象

13、開(kāi)口方向。圖象對(duì)稱軸的位置。圖象與x軸交點(diǎn)。端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)。此題(2)中，也可以用韋達(dá)定理解決。小結(jié)：函數(shù)部分是高考考察重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)對(duì)其予以充分的重視，并配備必要例題，理順基本方法體系。練習(xí)：已知f(x)是定義在-1，1上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若m,n-1,1，m+n0時(shí),有。用定義證明f(x)在-1，1上是增函數(shù)。若f(x)t2-2at+1對(duì)所有x-1,1，a-1,1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。參考答案：(2)|t|2或t=0.2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)排列與組合押題針對(duì)訓(xùn)練授課內(nèi)容：復(fù)習(xí)排列與組合考試內(nèi)容：兩個(gè)原理；排列、排列數(shù)公式；組合、組合數(shù)公式?？荚囈螅?）掌握加法原理

14、及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2）理解排列、組合的意義。掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。試題安排：一般情況下，排列組合為一道以選擇或填空題的形式出現(xiàn)的應(yīng)用題。有時(shí)還另有一道排列、組合與其他內(nèi)容的綜合題（大都與集合、立體幾何、不等式證明等相綜合）。重點(diǎn)：兩個(gè)原理尤其是乘法原理的應(yīng)用。難點(diǎn)：不重不漏。知識(shí)要點(diǎn)及典型例題分析：1加法原理和乘法原理兩個(gè)原理是理解排列與組合的概念，推導(dǎo)排列數(shù)及組合數(shù)公式；分析和解決排列與組合的應(yīng)用問(wèn)題的基本原則和依據(jù)；完成一件事共有多少種不同方法，這是兩個(gè)原理所要回答的共同問(wèn)題。而兩者的區(qū)別在于完成一件事可分幾類辦法和

15、需要分幾個(gè)步驟。例1書(shū)架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，5本不同的語(yǔ)文書(shū)，6本不同的英語(yǔ)書(shū)。（1）若從這些書(shū)中任取一本，有多少種不同的取法？ （2）若從這些書(shū)中取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書(shū)中取不同的科目的書(shū)兩本，有多少種不同的取法。解：（1）由于從書(shū)架上任取一本書(shū)，就可以完成這件事，故應(yīng)分類，由于有3種書(shū)，則分為3類然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種。（2）由于從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各1本，需要分成3個(gè)步驟完成，據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：356=90（種）。（3）由于從書(shū)架上任取不同科目的書(shū)兩本，可以有3類情況（數(shù)語(yǔ)各1本

16、，數(shù)英各1本，語(yǔ)英各1本）而在每一類情況中又需分2個(gè)步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法兩個(gè)原理計(jì)算出共得到的不同的取法種數(shù)是：35+36+56=63（種）。例2已知兩個(gè)集合A=1，2，3，B=a,b,c,d，從A到B建立映射，問(wèn)可建立多少個(gè)不同的映射？分析：首先應(yīng)明確本題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對(duì)A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)。”因A中有3個(gè)元素，則必須將這3個(gè)元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，應(yīng)分3個(gè)步驟，當(dāng)這三個(gè)步驟全進(jìn)行完，一個(gè)映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同的映射數(shù)目為：555=53（種）。2排列數(shù)與組合數(shù)的兩個(gè)公式排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，

17、一是連乘積的形式，這種形式主要用于計(jì)算；二是階乘的形式，這種形式主要用于化簡(jiǎn)與證明。連乘積的形式 階乘形式Pnm=n(n-1)(n-2)(n-m+1) =Cnm=例3求證：Pnm+mPnm-1=Pn+1m證明：左邊= 等式成立。評(píng)述：這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問(wèn)題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)。n!(n+1)=(n+1)!.可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化。例4解方程.解：原方程可化為： 解得x=3.評(píng)述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時(shí)，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號(hào)時(shí)，要注意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這重要限定寫(xiě)在脫掉符號(hào)之前。3排列與組合的應(yīng)用題歷屆

18、高考數(shù)學(xué)試題中，排列與組合部分的試題主要是應(yīng)用問(wèn)題。一般都附有某些限制條件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應(yīng)用問(wèn)題的內(nèi)容和情景是多種多樣的而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。一般方法有：直接法和間接法（1）在直接法中又分為兩類，若問(wèn)題可分為互斥各類，據(jù)加法原理，可用分類法；若問(wèn)題考慮先后次序，據(jù)乘法原理，可用占位法。（2）間接法一般用于當(dāng)問(wèn)題的反面簡(jiǎn)單明了，據(jù)A=I且A=的原理，采用排除的方法來(lái)獲得問(wèn)題的解決。特殊方法：（1）特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。（2）捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”

19、，緊密結(jié)合粘成小組，組內(nèi)外分別排列。（3）插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法”，不需分離的站好實(shí)位，在空位上進(jìn)行排列。（4）其它方法。例57人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。（1）甲排中間；（2）甲不排兩端；（3）甲，乙相鄰；（4）甲在乙的左邊（不要求相鄰）；（5）甲，乙，丙連排；（6）甲，乙，丙兩兩不相鄰。解：（1）甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故共有：1=720種不同排法。（2）甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問(wèn)題，優(yōu)先安置甲在中間五個(gè)位置上任何一個(gè)位置則有種，其余6人可任意排列有種，故共有=3600種不同排法。（3）甲、乙相

20、鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個(gè)“元素”，連同其余5人共6個(gè)元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有=1400種不同的排法。（4）甲在乙的左邊?？紤]在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左邊”與“甲在乙右邊”的排法是一一對(duì)應(yīng)的，在不要求相鄰時(shí)，各占所有排列的一半，故甲在乙的左邊的不同排法共有=2520種。（5）甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆綁法”，先將甲、乙、丙合為一個(gè)“元素”，連同其余4人共5個(gè)“元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交換位置，故共有=720種不同排法。（6）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空法”，先將甲、乙、丙外的4人

21、排成一行，形成左、右及每?jī)扇酥g的五個(gè)“空”。再將甲、乙、丙插入其中的三個(gè)“空”，故共有=1440種不同的排法。例6用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)的個(gè)數(shù)：（1）奇數(shù)；（2）5的倍數(shù)；（3）比20300大的數(shù)；（4）不含數(shù)字0，且1，2不相鄰的數(shù)。解：（1）奇數(shù)：要得到一個(gè)5位數(shù)的奇數(shù)，分成3步，第一步考慮個(gè)位必須是奇數(shù)，從1，3，5中選出一個(gè)數(shù)排列個(gè)位的位置上有種；第二步考慮首位不能是0，從余下的不是0的4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)排在首位上有種；第三步：從余下的4個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)排在中間的3個(gè)數(shù)的位置上，由乘法原理共有=388（個(gè)）。（2）5的倍數(shù)：按0作

22、不作個(gè)位來(lái)分類第一類：0作個(gè)位，則有=120。第二類：0不作個(gè)位即5作個(gè)位，則=96。則共有這樣的數(shù)為：+=216（個(gè)）。（3）比20300大的數(shù)的五位數(shù)可分為三類：第一類：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3個(gè)；第二類：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4個(gè)；第三類：203xx, 204xx, 205xx, 有3個(gè)，因此，比20300大的五位數(shù)共有：3+4+3=474（個(gè)）。（4）不含數(shù)字0且1，2不相鄰的數(shù)：分兩步完成，第一步將3，4，5三個(gè)數(shù)字排成一行；第二步將1和2插入四個(gè)“空”中的兩個(gè)位置，故共有=72個(gè)不含數(shù)字0，且1和2不相鄰的五位數(shù)。例7直線與圓相

23、離，直線上六點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，A6，圓上四點(diǎn)B1，B2，B3，B4，任兩點(diǎn)連成直線，問(wèn)所得直線最多幾條？最少幾條？解：所得直線最多時(shí)，即為任意三點(diǎn)都不共線可分為三類：第一類為已知直線上與圓上各取一點(diǎn)連線的直線條數(shù)為=24；第二類為圓上任取兩點(diǎn)所得的直線條數(shù)為=6；第三類為已知直線為1條，則直線最多的條數(shù)為N1=+1=31（條）。所得直線最少時(shí)，即重合的直線最多，用排除法減去重合的字?jǐn)?shù)較為方便，而重合的直線即是由圓上取兩點(diǎn)連成的直線，排除重復(fù)，便是直線最少條數(shù)：N2=N1-2=31-12=19（條）。2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義與三角變換押題針對(duì)訓(xùn)練內(nèi)容：三角函數(shù)的

24、定義與三角變換重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)定義難點(diǎn)：三角變換公式的應(yīng)用內(nèi)容安排說(shuō)明及分析：本部分內(nèi)容分為兩大塊，一塊是三角的基礎(chǔ)與預(yù)備知識(shí)，另一塊是三角變換公式及其應(yīng)用。把三角變換公式提到三角函數(shù)圖象與性質(zhì)之前來(lái)復(fù)習(xí)，其目的是突出“工具提前”的原則。即眾多的三角變換公式是解決三角學(xué)中一系列典型問(wèn)題的工具，也是進(jìn)一步研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的重要工具。由于本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性與工具性，這是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，因此，最近幾年的高考試題中占有一定的比例，約占13%左右。有試題多為選擇題，有時(shí)也有解答題，難度多為容易題與中等題。知識(shí)要點(diǎn)及典型例題分析：一、三角函數(shù)的定義1角的概念（1）角的定義及正角，負(fù)角

25、與零角（2）象限角與軸上角的表達(dá)（3）終邊相同的角（4）角度制（5）弧度制2任意角的三角函數(shù)定義任意角的6個(gè)三角函數(shù)定義的本質(zhì)是給角這個(gè)幾何量以代數(shù)表達(dá)。借助直角坐標(biāo)系這個(gè)工具，把角放進(jìn)直角坐標(biāo)系中完成的。由任意角的三角函數(shù)定義直接可以得到：（1）三角函數(shù)的定義域（2）三角函數(shù)值在四個(gè)象限中的符號(hào)（3）同角三角函數(shù)的關(guān)系（4）單位圓中的三角函數(shù)線：要充分利用三角函數(shù)線在記憶三角函數(shù)性質(zhì)與公式以及解決三角函數(shù)問(wèn)題中的作用。3誘導(dǎo)公式總共9組共36個(gè)公式，記憶口決為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，并弄清口決中的字詞含義，并根據(jù)結(jié)構(gòu)總結(jié)使用功能?！捌孀儭笔侵杆婕暗妮S上角為的奇數(shù)倍時(shí)（包括4組：a，a）

26、函數(shù)名稱變?yōu)樵瓉?lái)函數(shù)的余函數(shù)；其主要功能在于：當(dāng)需要改變函數(shù)名稱時(shí)，比如：由于“和差化積”公式都是同名函數(shù)的和差。使用時(shí)，對(duì)于不同名的函數(shù)先化為同名函數(shù)，又如：復(fù)數(shù)化三角形式，有時(shí)也需要改變函數(shù)名稱，如：sina-icosa=cos(+a)+isin(+a)?！芭疾蛔儭笔侵杆婕暗妮S上角為的偶數(shù)倍時(shí)（包括5組：2kp+a, pa, 2p-a, -a）, 函數(shù)名稱不變，其主要功能在于：求任意角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)及某些證明問(wèn)題。二、典型例題分析：例1（1）已知-ab, 求a+b與a-b的范圍。（2）已知a的終邊在第二象限，確定p-a所在象限。解：（1）-ab, -pa+bp，-pa-b0.（2）有

27、兩種思路：其一是先把a(bǔ)的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱放到-a的終邊（在第三象限），再將-a的終邊按逆時(shí)方向旋轉(zhuǎn)p放到p-a的終邊即-a的終邊的反向延長(zhǎng)線，此時(shí)p-a的終邊也在第二象限。思路2：是先把a(bǔ)的終邊（第二象限）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)p，得到a+(-p)（第四象限），再將它關(guān)于x軸對(duì)稱得到-(a-p)=p-a的終邊，此時(shí)也在第一象限。例2若A=x|x=, kZ, B=x|x=+, kZ, 則A _B。解：由B中的x=+=可視為的奇數(shù)倍所構(gòu)成的集合。而A中的x=是的所有奇數(shù)倍，因此AB。例3設(shè)0q2p, 問(wèn)5q與角q終邊相同，求q。解：由已知 5q=2kp+q, kZ,有q=， 0q2p, k=1時(shí)，q=；

28、k=2時(shí)，q=p；k=3時(shí)，q=.例4若=ctgq-cscq，求q取值范圍。解：先看一看右邊=ctgq-cscq=-=，這樣就決定了左邊的變形方向。=，=， q無(wú)解， 不存在這樣的q使所給等式成立。例5已知sin(p-a)-cos(p+a)=, ap.求：（1）sina-cosa的值 （2）sin3(+a)+cos3(+a)的值解：（1）由已知，得sina+cosa=,平方得：1+2sinacosa=, 2sinacosa=-, ap, sina-cosa=.（2）sin3(+a)+cos3(+a)=cos3a-sin3a=(cosa-sina)(cos2a+sinacosa+sin2a)=-

29、(1-)=-.例6已知sin(a-p)=2cos(a-2p),求下列三角函數(shù)的值：（1） （2）1+cos2a-sin2a.解：由已知：-sina=2cosa，有 tga=-2, 則（1）原式=-。（2）1+cos2a-sin2a=.評(píng)述：對(duì)于形如為關(guān)于sina與cosa的一次分式齊次式，處理的方法，就是將分子與分母同除以cosa，即可化為只含tga的式子。而對(duì)于1+cos2a-sin2a屬于關(guān)于sina與cosa的二次齊次式。即sin2a+2cos2a-5sinacosa. 此時(shí)若能將分母的“1”用sin2a+cos2a表示的話，這樣就構(gòu)成了關(guān)于sina與cosa的二次分式齊次式，分子分母同

30、除以cos2a即可化為只含有tga的分式形式。例7求函數(shù)y=+logsinx(2sinx-1)的定義域。解：使函數(shù)有意義的不等式為： 將上面的每個(gè)不等式的范圍在數(shù)軸上表示出來(lái)，然后，取公共部分，由于x-5,5，故下面的不等式的范圍只取落入-5，5之內(nèi)的值，即因此函數(shù)的定義域?yàn)椋?5,-)(-,-)()()。例8求證：=.證法一（左邊化弦后再證等價(jià)命題）左邊=要證 =只需證：(1+sina+cosa)cosa=(1-sina+cosa)(1+sina)左邊=cosa+sinacosa+cos2a右邊=1-sin2a+cosa+cosasina=cos2a+cosa+sinacosa左邊=右邊，原

31、等式成立。或證等價(jià)命題：-=0證法二（利用化“1”的技巧）左邊=seca+tga=右邊。證法三（利用同角關(guān)系及比例的性質(zhì)）由公式 sec2a-tg2a=1(seca-tga)(seca+tga)=1=.由等比定理有：=seca+tga=.證法四（利用三角函數(shù)定義）證seca=, tga=, sina=, cosa=.然后代入所證等式的兩邊，再證是等價(jià)命題。其證明過(guò)程同學(xué)自己嘗試一下。評(píng)述：證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)，就是逐步消除等號(hào)兩邊結(jié)構(gòu)差異的過(guò)程，而“消除差異”的理論依據(jù)除了必要三角公式以外，還需要有下列等式的性質(zhì)：(1)若A=B，B=C則A=C（傳遞性）(2)A=BA-B=0(3)A=B=1

32、(B0)(4)= AD=BC (BD0)(5)比例：一些性質(zhì)，如等比定理：若=，則=。1如果q是第二象限角，則所在的象限是（）A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限 D、第二或第四象限2在下列表示中正確的是（）A、終邊在y軸上的角的集合是a|a=2kp+, kZB、終邊在y=x的直線上的角的集合是a|a=kp+, kZC、與(-)的終邊相同的角的集合是a|a=kp-, kZD、終邊在y=-x的直線上的角的集合是a|a=2kp-, kZ3若pqp, 則等于（）A、sin(q-p) B、-sinq C、cos(p-q) D、-cscq4函數(shù)y=2sin()在p，2p上的最小值是（）A、2

33、B、1 C、-1 D、-25已知函數(shù)y=cos(sinx)，下列結(jié)論中正確的是（）A、它的定義域是-1，1 B、它是奇函數(shù)；C、它的值域是0, 1 D、它是周期為p的函數(shù)6設(shè)0x，下列關(guān)系中正確的是（）A、sin(sinx)sinxsin(tgx) B、sin(sinx)sin(tgx)sinxC、sin(tgx)sinxsin(sinx) D、sinxsin(tgx)B B、AB C、Acosx成立的x取值范圍為（ ）。A、 B、C、 D、解：在內(nèi)，sinxcosx，在內(nèi)sinxcosx；在內(nèi)，sinxcosx；綜上， 應(yīng)選C。2（2001年全國(guó)） 的值為（ ）。A、 B、 C、 D、解：

34、應(yīng)選B。3（1998年全國(guó)）已知點(diǎn)P(sina-cosa,tga)在第一象限，則在0，2p內(nèi)a的取值范圍是（ ）A、 B、C、 D、解：由題設(shè)，有 在0，2p）的范圍內(nèi)，在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx和y=cosx的圖像，可在a時(shí)，sinacosa。a應(yīng)選B。4（1998年全國(guó)）sin600的值是（ ）。A、 B、 C、 D、解：sin600=sin(360+240)=sin240=sin(180+60)=-sin60=應(yīng)選D。2006年考前必練數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題 數(shù)列經(jīng)典題選析數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位.一、等差數(shù)列與等比數(shù)列例1A遞

35、增等比數(shù)列的公比，B遞減等比數(shù)列的公比，求AB解：設(shè)qA，則可知q0（否則數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列）由an1ana1qna1qn1a1qn1(q1)0，得當(dāng)a10時(shí)，那么q1；當(dāng)a10時(shí)，則0q1從而可知Aq | 0q1若qA，同樣可知q0由an1ana1qna1qn1a1qn1(q1)0，得當(dāng)a10時(shí)，那么0q1；當(dāng)a10時(shí)，則q1亦可知Bq | 0q1故知ABq | 0q1說(shuō)明：貌似無(wú)法求解的問(wèn)題，通過(guò)數(shù)列的基本量，很快就找到了問(wèn)題的突破口！例2求數(shù)列1，(12)，(1222)，(12222n1)，前n項(xiàng)的和分析：要求得數(shù)列的和，當(dāng)務(wù)之急是要求得數(shù)列的通項(xiàng)，并從中發(fā)現(xiàn)一定規(guī)律而通項(xiàng)又是一等比數(shù)列的和

36、設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，則an12222n12n1從而該數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn(21)(221)(231)(2n1)(222232n)nn2n1n2說(shuō)明：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.1、 等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、4、5、常用的數(shù)列求和方法有：利用常用求和公式求和；錯(cuò)位相減法求和；反序相加法求和；分組法求和；裂項(xiàng)法求和；合并法求和；利用數(shù)列的通項(xiàng)求和等等。例3已知等差數(shù)列an的公差d，S100145設(shè)S奇a1a3a5a99，Sa3a6a9a99，求S奇、S解：依題意，可得S奇S偶145，即S奇(S奇50d)145，即2 S奇25145，解得，S奇120又由

37、S100145，得 145，故得a1a1002.9Sa3a6a9a991.73356.1說(shuō)明：整體思想是求解數(shù)列問(wèn)題的有效手段！例4在數(shù)列an中，a1b(b0)，前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列。（1）求證：數(shù)列an不是等比數(shù)列；（2）設(shè)bna1S1a2S2anSn，|q|1，求bn。解：（1）證明：由已知S1a1bSn成等比數(shù)列，且公比為q。Snbqn1，Sn1bqn2(n2)。當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1bqn1bqn2b(q1)qn2故當(dāng)q1時(shí)，q，而q1q，an不是等比數(shù)列。當(dāng)q1，n2時(shí)，an0，所以an也不是等比數(shù)列。綜上所述，an不是等比數(shù)列。（2）|q|1，由（1）知n2，a2，

38、a3，a4，an構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，a2S2，a3S3，anSn是公比為q2的等比數(shù)列。bnb2a2S2(1q2q4q2n4)S2bq，a2S2S1bqba2S2b2q(q1)bnb2b2q(q1)|q|1q2n20bnb2b2q(q1)說(shuō)明： 1q2q4q2n4的最后一項(xiàng)及這個(gè)式子的項(xiàng)數(shù)很容易求錯(cuò)，故解此類題時(shí)要細(xì)心檢驗(yàn)。數(shù)列的極限與數(shù)列前n項(xiàng)和以及其他任何有限多個(gè)項(xiàng)無(wú)關(guān)，它取決于n時(shí)，數(shù)列變化的趨勢(shì)。二、數(shù)列應(yīng)用題例5 (2001年全國(guó)理)從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè). 根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈?/p>

39、游業(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加。()設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元. 寫(xiě)出an，bn的表達(dá)式()至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?解：第1年投入800萬(wàn)元，第2年投入800(1)萬(wàn)元，第n年投入800(1)n1萬(wàn)元所以總投入an800800(1)800(1)n140001()n同理：第1年收入400萬(wàn)元，第2年收入400(1)萬(wàn)元，第n年收入400(1)n1萬(wàn)元bn400400(1)400(1)n11600()n1(2)bnan0，1600()n140001()n0化簡(jiǎn)得，5()n2()

40、n70設(shè)x()n，5x27x20 x，x1(舍) 即()n，n5.說(shuō)明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)用題重點(diǎn)在過(guò)好三關(guān)：(1)事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容；(2)文理關(guān)：將“問(wèn)題情景”中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；(3)數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答。例6某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到2001年底全縣的綠化率已達(dá)30%。從2002年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時(shí)，由

41、于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。(1)設(shè)全縣面積為1，2001年底綠化面積為a1，經(jīng)過(guò)n年綠化總面積為an1求證an1an(2)至少需要多少年(年取整數(shù)，lg20.3010)的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？(1)證明：由已知可得an確定后，an1表示如下：an1= an(14%)(1an)16%即an1=80% an +16%=an +(2)解：由an1=an+可得：an1=(an)=()2(an1)=()n(a1)故有an1()n，若an1，則有()n即()n1兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得lg2(n1)(2lg2lg5)(n1)(3lg21)故n14，故使得上式成立的最小nN為5，故最少

42、需要經(jīng)過(guò)5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.三、歸納、猜想與證明例7已知數(shù)列 an滿足Snan(n23n2)，數(shù)列 bn滿足b1a1，且bnanan11(n2).(1)試猜想數(shù)列 an的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論;解：（1）Snan(n23n2)，S1a1，2a1(1312)1，a11.當(dāng)n2時(shí)，有2a2(22322)4， a22猜想，得數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為ann(2)若cnb1b2bn，求的值.當(dāng)n3時(shí)，有3a38， a33.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1時(shí)，a11，等式成立.假設(shè)nk時(shí)，等式akk成立，那么nk1時(shí)，ak1Sk1Skak1ak,.2 ak1k2ak， 2 ak1k2(k

43、)，ak1(k1)，即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.綜上、知，對(duì)一切自然數(shù)n都有ann成立.(2)b1a1，bnanan11n(n1)1.cnb1b2bn1()n， 1()n1.例8已知數(shù)列an滿足a12，對(duì)于任意的nN，都有an0，且(n1) an2an an1n an120.又知數(shù)列bn滿足：bn2n11.()求數(shù)列an的通項(xiàng)an以及它的前n項(xiàng)和Sn；()求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn；()猜想Sn和Tn的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.解：(n1) an2an an1n an120.是關(guān)于an和an1的二次齊次式，故可利用求根公式得到an與an1的更為明顯的關(guān)系式，從而求出an ()an0（nN），且(n1)

44、 an2an an1n an120， (n1)()2()n01或an0（nN），n又a12,所以，an2nSna1a2a3an2(123n)n2n()bn2n11，Tnb1b2b3 bn2021222n1n2nn1() TnSn2nn21當(dāng)n1時(shí)，T1S1 0，T1S1；當(dāng)n2時(shí)，T2S21，T2S2；當(dāng)n3時(shí)，T3S32，T3S3；當(dāng)n4時(shí)，T4S41，T4S4；當(dāng)n5時(shí)，T5S56，T5S5；當(dāng)n6時(shí)，T6S627，T6S6；猜想：當(dāng)n5時(shí)，TnSn.即2nn21.下用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 當(dāng)n5時(shí)，前面已驗(yàn)證成立；2 假設(shè)nk（k5）時(shí)命題成立，即2kk21.成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，2k122k2(k21)k2k22k25k2k22k2(k1)21即nk1(k5)時(shí)命題也成立由以上1、2可知，當(dāng)n5時(shí)，有TnSn.；綜上可知：當(dāng)n1時(shí)，T1S1；當(dāng)2n5時(shí)，TnSn.，當(dāng)n5時(shí)，有TnSn.說(shuō)明：注意到2n的增長(zhǎng)速度大于n21的增長(zhǎng)速度，所以，在觀察與歸納的過(guò)程中，不能因?yàn)閺膎1到n4都有TnSn.就得出TnSn.的結(jié)論，而應(yīng)該堅(jiān)信：必存在，使得2nn21，從而使得觀察的過(guò)程繼續(xù)下去例9 已知函數(shù)f(x)，(x3)(1)求f(x)的