八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)幾何變換法練習(xí)北師大版

1、第四十講 幾何變換法利用幾何圖形的變換解答幾何題的方法叫做幾何變換法。 在實(shí)際生產(chǎn)和生活中，幾何形體往往不是以標(biāo)準(zhǔn)的形狀出現(xiàn)，而是以比較復(fù)雜的組合圖形出現(xiàn)，很難直接利用公式計(jì)算其面積或體積。如果在保持圖形的面積或體積不變的前提下，對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，就容易找出計(jì)算其面積或體積的方法。（一）添輔助線法有些組合圖形按一般的思考方法好像已知條件不足，很難解答。如果在圖形中添加適當(dāng)?shù)妮o助線，就可能找到解題的途徑。輔助線一般用虛線表示。*例1 求圖40-1陰影部分的面積。（單位：平方米） 解：圖40-1中，右邊兩個(gè)部分的面積分別是20平方米和30平方米，所以可如圖40-2那樣添上三條輔助線，把整個(gè)長方

2、形分成5等份。這樣圖中右邊的五個(gè)小長方形的面積相等。同時(shí)，左邊五個(gè)小長方形的面積也相等。左邊每個(gè)小長方形的面積是：252=12.5（平方米）所以，陰影部分的面積是：12.53=37.5（平方米）答略。*例2 如圖40-3，一個(gè)平行四邊形被分成兩個(gè)部分，它們的面積差是10平方厘米，高是5厘米。求EC的長。（單位：厘米）解：如圖40-4，過E點(diǎn)作AB的平行線EF，則AEF與ABE是等底等高的三角形。所以，AEF的面積與ABE的面積相等。 小平行四邊形EFDC的面積就是10平方厘米。因?yàn)樗母呤?厘米，所以，EC=105=2（厘米）答：EC長2厘米。*例3 如圖40-5，已知圖中四邊形兩條邊的長度和

3、三個(gè)角的度數(shù)，求這個(gè)四邊形的面積。（單位：厘米）解：這是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，無法直接計(jì)算它的面積。如圖40-6，把AD和BC兩條線段分別延長，使它們相交于E點(diǎn)。這樣，四邊形ABCD的面積就可以轉(zhuǎn)化為ABE的面積與DCE的面積之差。 在ABE中，A是直角，B=45，所以E=45，即ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7（厘米），則ABE的面積是：772=24.5（平方厘米）在DCE中，DCE是直角，E=45，所以，CDE=45，即DCE是等腰直角三角形。所以，CD=CE=3厘米，則DCE的面積是：332=4.5（平方厘米）所以，四邊形ABCD的面積是：24.5-4.5=20（平方厘米）答略。

4、（二）分割法分割法是在一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形中，添上一條或幾條輔助線，把圖形分割成若干個(gè)已學(xué)過的基本圖形，然后分別計(jì)算出各圖形的面積或體積，再將所得結(jié)果相加的解題方法。例1 計(jì)算圖40-7的面積。（單位：厘米）解：如圖40-8，在圖中添上一條輔助線，把圖形分割為一個(gè)梯形和一個(gè)長方形，分別計(jì)算出它們的面積，再把兩個(gè)面積相加。 2+（8-4）（6-4）2+48=6+32=38（平方厘米）答：圖形的面積是38平方厘米。例2 圖40-9中，ABCD是長方形，AB=40厘米，BC=60厘米，E、F、G、H是各邊的中點(diǎn)。求圖中陰影部分的面積。解：如圖40-10，在圖中添加輔助線EG，使陰影部分被分割成為兩個(gè)面

5、積相等的三角形。先計(jì)算出一個(gè)三角形的面積，再把它的面積乘以2。三角形的底是長方形的長，高是長方形的寬的一半。 60（402）22=6020=1200（平方厘米）答：陰影部分的面積是1200平方厘米。*例3 求圖40-11中各組合體的體積。（單位：厘米）解：如圖40-12，把各組合體分割為幾個(gè)基本形體，然后分別求出每個(gè)基本形體的體積，再用加法、減法算出各組合體的體積。（三）割補(bǔ)法在計(jì)算一些不規(guī)則的幾何圖形的面積時(shí)，把圖形中凸出來的部分割下來，填補(bǔ)到相應(yīng)的凹陷處，或較適當(dāng)?shù)奈恢茫箞D形組合成一個(gè)或幾個(gè)規(guī)則的形狀，再計(jì)算面積的解題方法叫做割補(bǔ)法。例1 求圖40-13陰影部分的面積。（單位：厘米）成了

6、一個(gè)梯形如圖40-14，這個(gè)梯形的面積就是圖40-13中的陰影部分的面積。 答：陰影部分的面積是45平方厘米。*例2 求圖40-15中陰影部分的面積。（單位：米）16162=512（平方米）答：陰影部分的面積是512平方米。*例3 圖40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。求圖中陰影部分的面積。解：經(jīng)割補(bǔ)，把圖40-17組合成圖40-18。很容易看出，只要從正方形的面積中減去空白扇形的面積，便得到陰影部分的面積。 答：圖中陰影部分的面積是2.43平方厘米。（四）平移法在看不出幾何圖形面積的計(jì)算方法時(shí)，通過把圖形的某一部分向某一方向平行移動(dòng)一定的距離，使圖形重新組合成可以看出計(jì)

7、算方法的圖形，從而計(jì)算出圖形面積的解題方法叫做平移法。例1 計(jì)算圖40-19中陰影部分的周長。（單位：厘米）（適于六年級(jí)程度）解：把圖40-19中右邊正方形中的陰影部分向左平移5厘米，圖40-19中的陰影部分便轉(zhuǎn)化為圖40-20中的正方形。圖40-20中陰影正方形的面積就是圖40-19陰影部分的面積。 55=25（平方厘米）（5+4）2+22（五）旋轉(zhuǎn)法將看不出計(jì)算方法的圖形的一部分以某一點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，使圖形重新組合成能看出計(jì)算方法的形狀，從而計(jì)算出圖形面積的解題方法叫旋轉(zhuǎn)法。*例1 計(jì)算圖40-27陰影部分的面積。（單位：分米）圖40-27便轉(zhuǎn)化為圖40-28。圖40-28中梯形的面

8、積就是圖40-27中的陰影面積。 答略。例2 圖40-29中，小圓的半徑是10厘米，中圓的半徑是20厘米，大圓的半徑是30厘米。求圖中陰影部分的面積。（適于六年級(jí)程度）解：把圖40-29中的小圓向逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度，把中環(huán)向順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度，圖40-29便轉(zhuǎn)化為圖40-30。很明顯，圖40-29陰影部分的面積就是整個(gè)大圓面積的四分之一。答略。*例3 計(jì)算圖40-31的陰影面積。（單位：厘米）（適于六年級(jí)程度）解：把圖40-31右邊的半圓以兩個(gè)半圓的公共點(diǎn)為中心，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180度，與左邊的半圓組成一個(gè)圓（圖40-32）。 此時(shí)，兩個(gè)空白的三角形組成一個(gè)等腰直角三角形。這個(gè)等腰直角三角

9、形的底邊等于圓的直徑10厘米，高等于圓的半徑5厘米，三角形的面積可求，接著也就可以求出圖中陰影部分的面積了。答略。（六）擴(kuò)倍法擴(kuò)倍法就是把組合圖形擴(kuò)大幾倍后，先求擴(kuò)大倍數(shù)后的面積或體積，然后再求原來的面積或體積。*例1 求圖40-33的面積。（單位：厘米）（適于三年級(jí)程度） 解：此題用分割法計(jì)算比較麻煩，而用擴(kuò)倍法解答就容易多了。如圖40-34那樣把圖40-33擴(kuò)大為原來的2倍，就會(huì)看出圖40-33的面積是：（30+40）302=1050（平方厘米）答略。例2 計(jì)算圖40-35木塊的體積。（單位：分米）（適于五年級(jí)程度）解：在圖40-35的木塊上再扣上同形狀、同體積的木塊，如圖40-36。圖4

10、0-35木塊的體積就是圖40-36長方體木塊體積的一半兒。 310（3+2）2=1502=75（立方分米）答略。（七）縮倍法縮倍法與擴(kuò)倍法正好相反，它是先將圖形的面積縮小若干倍，計(jì)算出面積，再把面積擴(kuò)大為原來那么大。例1 圖40-37中，每個(gè)小正方形的面積都是2平方厘米，求圖中陰影部分的面積。（適于五年級(jí)程度）解：將圖40-37中小正方形的面積先縮小2倍，則每個(gè)小正方形的面積都是1平方厘米，邊長都是1厘米。從大長方形面積減去三個(gè)空白三角形的面積（即、三個(gè)部分的面積），得陰影部分面積。35-332-212-522=15-4.5-1-5=4.5（平方厘米）把4.5平方厘米擴(kuò)大2倍，得陰影部分的實(shí)際

11、面積。4.52=9（平方厘米）答略。例2 圖40-38正方形的面積是18平方厘米。求圖中陰影部分的面積。（適于六年級(jí)程度）解：先將正方形面積縮小2倍，18平方厘米被轉(zhuǎn)化為9平方厘米，則正方形的邊長是3厘米。先算出已經(jīng)縮小的正方形中的陰影面積，然后再把它擴(kuò)大2倍，就得到題中所求。答略。（八）剪拼法有些幾何圖形比較抽象，不適于用割補(bǔ)、分割、平移等方法解答。如果把這類圖形剪成若干部分，再重新組合、拼接，就有可能找到解答方法。*例1 計(jì)算圖40-39、圖40-40、圖40-41的陰影部分的面積。（單位：厘米）（適于六年級(jí)程度） 解：沿各圖中的虛線，把各圖剪成上、下兩部分，再把下半部分翻過來，以它的背面

12、與上半部分的正面拼接，圖40-39、圖40-40、圖40-41便轉(zhuǎn)化為圖40-42、圖40-43、圖40-44的形狀。 很容易看出，圖40-39的陰影面積等于大圓面積的一半。圖40-40的陰影面積等于從大圓面積減去小圓的面積。圖40-41的陰影面積等于從大圓面積減去中圓的面積，加上小圓的面積。答略。*例2 圖40-45中每個(gè)大正方形的邊長都是2厘米，求（1）（10）各圖陰影部分的面積。（適于六年級(jí)程度）解：作圖40-46，并把圖40-46中的（1）畫在一張透明紙上剪成（2）那樣的4個(gè)小正方形。如果畫出兩個(gè)（1），就可以剪出8個(gè)（2）那樣的小正方形。用（2）的4個(gè)小正方形，可以組合、拼接出圖40-45中（1）（5）中的任何一個(gè)圖形。這時(shí)可清楚地看出，圖40-45