高等數(shù)學(xué)（2015級(jí)版）：2_1 導(dǎo)數(shù)的概念

1、第二章,微積分學(xué)的創(chuàng)始人:,德國(guó)數(shù)學(xué)家 Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),描述函數(shù)變化快慢,微分,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具,(從微觀上研究函數(shù)),導(dǎo)數(shù)與微分,導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó),數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究,極值問(wèn)題中提出.,英國(guó)數(shù)學(xué)家 Newton,2.1.1 實(shí)踐中的變化率問(wèn)題,2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義,2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,2.1.4 求導(dǎo)舉例,2.1.5 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,2.1導(dǎo)數(shù)的概念,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,第二章,2.1.6 單側(cè)導(dǎo)數(shù),2.1.1 實(shí)踐中的變化率,a. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在

2、 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,自由落體運(yùn)動(dòng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,b. 曲線的切線斜率,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線,割線 M N 的極限位置 M T,(當(dāng) 時(shí)),割線 M N 的斜率,切線 MT 的斜率,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,兩個(gè)問(wèn)題的共性:,瞬時(shí)速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .,類(lèi)似問(wèn)題還有:,加速度,角速度,線密度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限,變化率問(wèn)題,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱(chēng)此極限為,記作:,即,則稱(chēng)函數(shù),

3、若,的某鄰域內(nèi)有定義 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線斜率,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,若上述極限不存在 ,在點(diǎn) 不可導(dǎo).,若,也稱(chēng),在,若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱(chēng)為導(dǎo)函數(shù).,記作:,注意:,就說(shuō)函數(shù),就稱(chēng)函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo).,的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,注意：,函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù),區(qū)別:,是函數(shù) ,是數(shù)值;,聯(lián)系:,注意:,有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?,？,與導(dǎo)函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義(曲線光滑與否),若,曲線過(guò),上

4、升;,若,曲線過(guò),下降;,若,切線與 x 軸平行,稱(chēng)為駐點(diǎn);,若,切線與 x 軸垂直 .,切線方程:,法線方程:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 問(wèn)曲線,哪一點(diǎn)有垂直切線 ? 哪一點(diǎn)處,的切線與直線,平行 ? 寫(xiě)出其切線方程.,解:,令,得,對(duì)應(yīng),則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線,平行的切線方程分別為,即,故在原點(diǎn) (0 , 0) 有垂直切線,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,原式,是否可按下述方法作:,例2. 證明函數(shù),在 x = 0 不可導(dǎo).,證:,不存在 ,例3. 設(shè),存在, 求極限,解: 原式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在點(diǎn),2.1.4 單側(cè)導(dǎo)數(shù),的定

5、義是極限,函數(shù),而極限存在的充要條件是左右極限都存在且相等，從而,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,的導(dǎo)數(shù),存在當(dāng)且僅當(dāng) 左、右極限,則稱(chēng)此左（右）極限為左（右）導(dǎo)數(shù)，記作,記作：,定理2. 函數(shù),在點(diǎn),且,存在,簡(jiǎn)寫(xiě)為,若函數(shù),與,都存在,則稱(chēng),在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,可導(dǎo)的充分必要條件,是,且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例如,在 x = 0 處有, 則,在 x = 0 處,不可導(dǎo),例4.,求,在x=1處的導(dǎo)數(shù).,解:,在x=1處不可導(dǎo).,例5.,設(shè),其中,在,處連續(xù),求,解:,2.1.5 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理1.,證:略（圖像上看，切線存在則一定連續(xù)）

6、.,注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo).,反例:,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定理2. 函數(shù),(左),在 點(diǎn) 和,存在,判斷可導(dǎo)：,定義 左右可導(dǎo)且相等 不連續(xù)，則一定不可導(dǎo),例6.,有,設(shè),對(duì)任意實(shí)數(shù),求,且,解:,例7.,討論,在,處的連續(xù)與,可導(dǎo)性.,解:,又,在,處連續(xù),在,處連續(xù),在,處不可導(dǎo),例8.討論,在,處的可導(dǎo)性.,解:,在,處不可導(dǎo),例9.設(shè),求,為何值時(shí)，,在,處可導(dǎo).,解:,在,處可導(dǎo),在,處連續(xù),又,綜上所述,時(shí),在,處可導(dǎo),內(nèi)容小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5

7、. 已學(xué)求導(dǎo)公式 :,6. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù), 一定不可導(dǎo).,直接用導(dǎo)數(shù)定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,2.,增量比的極限;,切線的斜率;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1. 設(shè),存在 , 則,2. 已知,則,3. 若,時(shí), 恒有,問(wèn),是否在,可導(dǎo)?,解:,由題設(shè),由夾逼準(zhǔn)則,故,在,可導(dǎo), 且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,4. 設(shè), 問(wèn) a 取何值時(shí),在,都存在 , 并求出,解:,故,時(shí),此時(shí),在,都存在,顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,作業(yè),P77 4(3) ; 5;7; 9,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,牛頓(1642 1727),偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文,學(xué)家和自然科學(xué)家.,他在數(shù)學(xué)上的卓越,貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.,1665年他提出正,流數(shù) (微分) 術(shù) ,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671,年完成流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)一書(shū) (1736年出版).,他,還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等 .,萊布尼茲(1646 1716),德