初中數(shù)學換元法專題講座

1、初中數(shù)學換元法專題講座 一、相關概念1、換元就是引入輔助未知數(shù)，把題中某一個（些）字母的表達式用另一個（些）字母的表達式來代換，這種解題方法，叫做換元法，又稱變量代換法。2、換元的目的是化繁為簡，化難為易，連接已知和未知。例如通過換元來降次，或化分式、根式為整式等。換元的關鍵是選擇適當?shù)氖阶舆M行代換。3、換元要注意新舊元的取值范圍的變化。要避免代換的新變量的取值范圍被縮??；若新變量的取值范圍擴大了，則在求解之后要加以檢驗。4、二元對稱方程（組）二元對稱方程：方程中的未知數(shù)x、y互換后，方程保持不變的方程稱為二元對稱方程；二元對稱方程組：由兩個二元對稱方程組成的方程組稱為二元對稱方程組。解二元對

2、稱方程組，常用二元基本對稱式代換。5、倒數(shù)方程倒數(shù)方程：按未知數(shù)降冪排列后，與首、末等距離的項的系數(shù)相等。例如：一元四次倒數(shù)方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0。兩邊都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0。設x+=y, 那么x2+= y22, 原方程可化為ay2+by+c2=0。對于一元五次倒數(shù)方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0，必有一個根是1。原方程可化為 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0。ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，這是四次倒數(shù)方程。形如：ax4bx3+cx2bx+a=0 的方程，其特點是： 與首、末等距離的偶數(shù)次冪項的

3、系數(shù)相等，奇數(shù)次冪的系數(shù)是互為相反數(shù)。兩邊都除以x2, 可化為a(x2+)b(x)+c=0。設x=y, 則x2+=y2+2, 原方程可化為 ay2by+c+2a=0。二、例題講解例1 解方程=x。解：設=y, 那么y2=2x+2。原方程化為：yy2=0 。解得 y=0；或y=2。當y=0時，=0 (無解) 當y=2時，=2， 解得，x=。檢驗（略）。 例2 解方程：x4+(x4)4=626。解：（用平均值代換，可化為雙二次方程。）設 y= x2 ，則x=y+2。原方程化為(y+2)4+(y2)4=626。 (y+2)2(y2)222(y+2)2(y2)2626=0整理，得y4+24y2297=

4、0。 (這是關于y的雙二次方程)。(y2+33)(y29)=0。 當y2+33=0時，無實根 ； 當y29=0時，y=3。即x2=3， x=5；或x=1。例3 解方程：2x4+3x316x2+3x+2=0 。 解：這是個倒數(shù)方程，且知x0，兩邊除以x2,并整理得2(x2+)+3(x+)16=0。 設x+=y,則x2+=y22。原方程化為2y2+3y20=0。 解得y=4；或y=。由y=4得x=2+；或x=2。由y=得x=2；或x=。例4解方程組解：（這個方程組的兩個方程都是二元對稱方程，可用基本對稱式代換。）設x+y=u, xy=v。 原方程組化為：。 解得；或。即；或 。解得：；或；或；或。三、練習題 解下列方程和方程組：（113題）：1、 352x。2、(16x29)2+(16x29)(9x216)+(9x216)2=(25x225)2。3、(2x+7)4+(2x+3)4=32 。4、(2x2x6)4+(2x2x8)4=16。5、(2)4+(2)4=16。6、=。 7、2x43x3x23x+2=0。8、 9、。10、(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6。 11、。 12、。 13、 。14、 分解因式： (x+y2xy)(x+y2)+(1xy)2； a4+b4+(a+b)4 。 15、 已知：a+2=b2=c2=d2, 且a+b+c+d=1989。則a=_,b= _