導數(shù)在高中數(shù)學中的應用

1、導數(shù)在高中數(shù)學課程中的應用新鄉(xiāng)市一中數(shù)學組 李鳳德摘 要導數(shù)是聯(lián)系高等數(shù)學與初等數(shù)學的紐帶，高中階段引進導數(shù)的學習有利于學生更好地理解函數(shù)的性態(tài)，掌握函數(shù)思想，搞清曲線的切線問題，學好其他學科并發(fā)展學生的思維能力因而在中學數(shù)學教學及解題過程中，可以利用導數(shù)思想解決諸如函數(shù)（解析式、值域、最（極）值、單調(diào)區(qū)間等）問題、切線問題、不等式問題、數(shù)列問題以及實際應用等問題關(guān)鍵詞導數(shù) 新課程 應用一、 知識地位分析導數(shù)是高中數(shù)學新教材中新增的知識之一,體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學思想，在研究函數(shù)性質(zhì)時，有獨到之處?？v觀2010年各地的新課程高考試卷，大多數(shù)以一個大題的形式考察這部分內(nèi)容。內(nèi)容主要是與單調(diào)性、最值、切線

2、這三方面有關(guān)。今年是我省新教材實施的第一屆高考，雖然去年已然考察這方面的內(nèi)容，但作為新教材的新增內(nèi)容，仍應引起我們足夠的重視。復習中注重導數(shù)在解決科技、經(jīng)濟、社會中的某些實際問題中的應用。二、 導數(shù)在解題中的應用導數(shù)作為高中新教材的新增內(nèi)容之一，它給高中數(shù)學增添了新的活力，特別是導數(shù)廣泛的應用性，為解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列、實際等問題帶來了新思路、新方法，為我們展現(xiàn)出了一道亮麗的風景線，也使它成為新教材高考試題的熱點和命題新的增長點這幾年的高考命題趨勢表明：導數(shù)已經(jīng)由以往的“配角”地位上升到“主角”，成為分析問題和解決問題的重要工具將導數(shù)與傳統(tǒng)內(nèi)容結(jié)合，不僅能加強能力的考查力度，而且也使試

3、題具有更廣泛的實踐意義下面舉例探討導數(shù)的應用（一）利用導數(shù)解決函數(shù)問題利用導數(shù)求函數(shù)的解析式用解析式表示函數(shù)關(guān)系，便于研究函數(shù)的性質(zhì)，而利用導數(shù)求函數(shù)的解析式，函數(shù)的一些基本性質(zhì)就會顯得更加的明了例1 設(shè)函數(shù)的圖像與軸交點為點，且曲線在點處的切線方程為，若函數(shù)在處取得極值，試確定函數(shù)的解析式解 因為函數(shù)的圖像與軸交點為點，所以點的坐標為，又曲線在點處的切線方程為，點坐標適合方程，從而，又切線斜率，故在處的導數(shù)，而，從而，又函數(shù)在處取得極值，所以解得，所以所求函數(shù)解析式為利用導數(shù)求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域是中學數(shù)學中的重點，也是難點，方法因題而異，不易掌握但是，如果采用導數(shù)來求解，則較為容易，且一

4、般問題都可行例2 求函數(shù)的值域分析 先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)定義域判斷的正負，進而求出函數(shù)的值域解 顯然，定義域為，由于，又，可見當時，所以在上是增函數(shù)而，所以函數(shù)的值域是利用導數(shù)求函數(shù)的最（極）值求函數(shù)的最（極）值是高中數(shù)學的重點，也是難點，是高考經(jīng)常要考查的內(nèi)容之一，它涉及到了函數(shù)知識的很多方面，用導數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也容易掌握，從而進一步明確了函數(shù)的性態(tài)一般地，函數(shù)在閉區(qū)間上可導，則在上的最值求法：(1) 求函數(shù)在上的極值點；(2) 計算在極值點和端點的函數(shù)值；(3) 比較在極值點和端點的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值例3 求函數(shù)在上的最大值和最小值

5、分析 先求出的極值點，然后比較極值點與區(qū)間端點的函數(shù)值，即可得該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值解 由于，則當或時，所以，為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當時，所以為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間又因為，所以，當時，取得最小值；當時，取得最大值利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時經(jīng)常要注意的一個性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)密切相關(guān)，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，只需考慮的正負即可，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減此方法簡單快捷而且適用面廣例4 求的單調(diào)區(qū)間分析 應先確定函數(shù)的定義域，再利用導數(shù)討論其單調(diào)區(qū)間解 顯然，定義域為，又，由，得或；又由，得或，所以的增區(qū)間為和，

6、減區(qū)間為和（二）利用導數(shù)解決切線問題求過某一點的切線方程此種題型分為點在曲線上和點在曲線外兩種情況，的幾何意義就是曲線在點處切線的斜率，過點的切線方程為，但應注意點在曲線上，否則易錯例5(2009衡陽模擬)求曲線f(x)x33x22x過原點的切線方程解f(x)3x26x2.設(shè)切線的斜率為k.分析 此類題型為點不在曲線上求切線方程，應先設(shè)出切點坐標，表示出切線方程，把已知點代入方程，求出切點坐標后，再求切線方程(2009衡陽模擬)求曲線f(x)x33x22x過原點的切線方程解f(x)3x26x2.設(shè)切線的斜率為k.(1)當切點是原點時kf(0)2，所以所求曲線的切線方程為y2x.(2)當切點不是

7、原點時，設(shè)切點是(x0，y0)，則有y0x3x2x0，kf(x0)3x6x02，又kx3x02，由得x0，k.所求曲線的切線方程為yx.求兩曲線切線方程例6 已知拋物線和，如果直線同時是和的切線，稱是和的公切線，求公切線的方程分析 本題也可用常規(guī)方法求解，但運算量大，過程煩瑣，而利用導數(shù)知識無疑為解決這類問題提供了新的，簡捷的方法，即先分別求出兩曲線的切線，利用它們是同一直線來建立關(guān)系求解解 由，得，所以曲線在點的切線方程是，即 (1)由，得，所以曲線在點的切線方程是，即 (2)若是過與的公切線，則(1)(2)表示的是同一直線，所以消去，得，由題意知，所以，則，即點與重合，此時曲線和有且僅有一

8、條公切線，且公切線方程為（三）利用導數(shù)解決不等式問題縱觀這幾年的高考，凡涉及到不等式證明的問題，其綜合性強、思維量大，因此歷來是高考的難點利用導數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應的函數(shù)通過導數(shù)運算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題例7 求證：不等式在上成立分析 通過作差，構(gòu)造函數(shù)，和，再通過對和求導來判斷證明 構(gòu)造函數(shù)，則得知在上單調(diào)遞增，又因為，所以，即成立又構(gòu)造函數(shù)，則得知在上單調(diào)遞增，又因為，所以，即成立綜上所述，原命題成立（四）利用導數(shù)解決數(shù)列問題數(shù)列是高中數(shù)學中的一個重要部分，而數(shù)列求和是中學階段數(shù)列部分的

9、重要內(nèi)容之一，有許多初等解決方法事實上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，再運用導數(shù)來解決數(shù)列求和的有關(guān)問題例8 求和：(其中，)解 注意到是的導數(shù)，即，可先求數(shù)列的前和，然后等式兩邊同時對求導，有例9 求和：解 因為上式兩邊對求導，有，再令，可以得到（五）利用導數(shù)解決實際問題利用導數(shù)，不僅可以解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列問題，而且還可以解決一些實際應用問題學習的最終目的，是要求學生具有運用導數(shù)知識解決實際問題的意識、思想方法以及能力近幾年，高考越來越注重對實際問題的考查，比如最優(yōu)化問題、最低成本問題等，而利用導數(shù)解決這些問題非常方便例10 甲乙兩個村子在一條河的同側(cè)，甲村位于河岸的岸邊處，乙村位于離河岸的處，乙村到河岸的垂足與相距兩村要在岸邊合建一個供水站，從供水站到甲村、乙村的水管費用分別為、，問供水站建在何處才能使水管費用最??？(圖1)圖1分析 本題難點是如何把實際問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式技巧與方法主要有：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變化，構(gòu)造相應的函數(shù)關(guān)系，隨后用導數(shù)的知識來解決問題解 如圖1，設(shè)點距點，則，總的水管費用為()又，令，則在上，只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，知處取得最小值，此時所以供水站建在距甲村處才能使水管費用最省三、