★★★有限元分析單位問題new

1、有限元分析中的單位問題葛頌（浙江大學(xué)化機(jī)所）2004年11月版摘要：本文在前人基礎(chǔ)上對(duì)使用有限元軟件分析工程問題時(shí)的材料性能單位問題作了一些探討，通過實(shí)例說明了如何統(tǒng)一各物理量的單位，以保證分析結(jié)果的正確。關(guān)鍵詞：有限元、單位大多數(shù)有限元計(jì)算程序都不規(guī)定所使用的物理量的單位，不同問題可以使用不同的單位，只要在一個(gè)問題中各物理量的單位統(tǒng)一就可以。但是，由于在實(shí)際工程問題中可能用到多種不同單位的物理量，如果只是按照習(xí)慣采用常用的單位，表面上看單位是統(tǒng)一的，實(shí)際上單位卻不統(tǒng)一，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果。比如，在結(jié)構(gòu)分析中分別用如下單位：長(zhǎng)度 m；時(shí)間 s；質(zhì)量 kg；力 - N；壓力、應(yīng)力、彈性模量等

2、 Pa，此時(shí)單位是統(tǒng)一的。但是如果將壓力單位改為 MPa，保持其余單位不變，單位就是不統(tǒng)一的；或者同時(shí)將長(zhǎng)度單位改為 mm，壓力單位改為 MPa，保持其余單位不變，單位也是不統(tǒng)一的。由此可見，對(duì)于實(shí)際工程問題，我們不能按照手工計(jì)算時(shí)的習(xí)慣來選擇各物理量的單位，而是必須遵循一定的原則。物理量的單位與所采用的單位制有關(guān)。所有物理量可分為基本物理量和導(dǎo)出物理量，在結(jié)構(gòu)和熱計(jì)算中的基本物理量有：質(zhì)量、長(zhǎng)度、時(shí)間和溫度。導(dǎo)出物理量的種類很多，如面積、體積、速度、加速度、彈性模量、壓力、應(yīng)力、導(dǎo)熱率、比熱、熱交換系數(shù)、能量、熱量、功等等，都與基本物理量之間有確定的關(guān)系?；疚锢砹康膯挝淮_定了所用的單位制，

3、然后可根據(jù)相應(yīng)的公式得到各導(dǎo)出物理量的單位。具體做法是：首先確定各物理量的量綱，再根據(jù)基本物理量單位制的不同得到各物理量的具體單位?；疚锢砹考捌淞烤V：n 質(zhì)量 m; n 長(zhǎng)度 L; n 時(shí)間 t; n 溫度 T。導(dǎo)出物理量及其量綱：u 速度：v = L / t; u 加速度： a = L / t 2;u 面積： A = L 2; u 體積： V = L 3;u 密度：= m / L 3;u 力： f = m a = m L / t 2;u 力矩、能量、熱量、焓等： e = f L = m L 2 / t 2;u 壓力、應(yīng)力、彈性模量等： p = f / A = m / (t 2 L) ;u

4、熱流量、功率：= e / t = m L 2 / t 3;u 導(dǎo)熱率： k =/ (L T) = m L / (t 3 T);u 比熱： c = e / (m T) = L 2 / (t 2 T);u 熱交換系數(shù)： Cv = e / (L 2 T t) = m / (t 3 T)u 粘性系數(shù)： Kv = p t = m / (t L) ;u 熵： S = e / T = m l 2 / (t 2 T);u 質(zhì)量熵、比熵： s = S / m = l 2 / (t 2 T);在選定基本物理量的單位后，可導(dǎo)出其余物理量的單位，可以選用的單位制很多，下面舉兩個(gè)常用的例子。1 基本物理量采用如下單位制

5、： n 質(zhì)量 m kg； （應(yīng)該采用Mg單位才統(tǒng)一，具體可以參考MSC.MARC中的材料庫統(tǒng)一單位，推導(dǎo)）n 長(zhǎng)度 L mm； n 時(shí)間 S； n 溫度 K (溫度 K與 C 等價(jià))。各導(dǎo)出物理量的單位可推導(dǎo)如下，同時(shí)還列出了與 kg-m-S 單位制或一些常用單位的關(guān)系：u 速度： v = L / t = mm / S = 10-3 m / S; u 加速度： a = L / t 2 = mm / S 2 = 10-3 m / S 2;u 面積：A = L 2 = mm 2 = 10-6 m 2; u 體積：V = L 3 = mm 3 = 10-9 m 3;u 密度：= m / L 3 =

6、kg / mm 3 = 10-9 kg / m 3 = 10-6 g / cm 3;u 力： f = m L / t 2 = kg mm / S 2 = 10 3 kg m / S 2 = mN (牛);u 力矩、能量、熱量、焓等：e = m L 2 / t 2 = kg mm 2 / S 2 = 10 6 kg m 2 / S 2 = J (焦耳);u 壓力、應(yīng)力、彈性模量等：p = m / (t 2 L) = kg / (S 2 mm) = 10 3 kg / (S 2 m) = kPa (帕);u 熱流量、功率：= m L 2 / t 3 = kg mm 2 / S 3 = 10 6 k

7、g m 2 / S 3 = w (瓦);u 導(dǎo)熱率：k = m L / (t 3 T) = kg mm / (S 3 K) = 10 3 kg m / (S 3 K); u 比熱：c = L 2 / (t 2 T) = mm 2 / (S 2 K) = 10 6 m 2 / (S 2 K);u 熱交換系數(shù)：Cv = m / (t 3 T) = kg / (S 3 K);u 粘性系數(shù)：Kv = m / (t L) = kg / (S mm) = 10 3 kg / (S mm); u 熵：S = m L 2 / (t 2 T) = kg mm 2 / (S 2 K ) = 10 -6 kg m

8、2 / (S 2 K );u 質(zhì)量熵、比熵：s= L2 / (t 2 T) = mm 2 / (S 2 K ) = 10 -6 m 2 / (S 2 K );2 基本物理量采用如下單位制：n 質(zhì)量 m g； n 長(zhǎng)度 L m (10 6 m)； n 時(shí)間 mS (10 3 S)； n 溫度 K (K與 C 等價(jià))。各導(dǎo)出物理量的單位可推導(dǎo)如下，同時(shí)還列出了與 kg-m-S 單位制或一些常用單位的關(guān)系：u 速度：v = L / t = m / mS = 10-3 m / S; u 加速度：a = L / t 2 = m / mS 2 = m / S 2;u 面積：A = L 2 = m 2 =

9、10-12 m 2; u 體積：V = L 3 = m 3 = 10-18 m 3;u 密度：= m / L 3 = g / m 3 = 10-21 kg / m 3 = 10-12 g / cm 3;u 力： f = m L / t 2 = g m / mS 2 = 10 3 kg m / S 2 = mN (牛);u 力矩、能量、熱量、焓等：e = m L 2 / t 2 = g m 2 / mS 2 = 10 9 kg m 2 / S 2 = 10 9 J (焦耳);u 壓力、應(yīng)力、彈性模量等： p = m / (t 2 L) = g / (mS 2 m) = 10 9 kg / (S

10、2 m) = 10 9 Pa (帕) = GPa;u 熱流量、功率：= m L 2 / t 3 = g m 2 / mS 3 = 10 6 kg m 2 / S 3 = 10 6 w (瓦);u 導(dǎo)熱率：k = m L / (t 3 T) = g m / (mS 3 K) = kg m / (S 3 K); u 比熱：c = L 2 / (t 2 T) = m 2 / (mS 2 K) = 10 6 m 2 / (S 2 K);u 熱交換系數(shù)： Cv = m / (t 3 T) = g / (mS 3 K) = 10 3 kg / (S 3 K);u 粘性系數(shù)： Kv = m / (t L)

11、= g / (mS m) = 10 6 kg / (S mm); u 熵： S = m L 2 / (t 2 T) = g m 2 / (mS 2 K ) = 10 -9 kg m 2 / (S 2 K );u 質(zhì)量熵、比熵： s = L2 / (t 2 T) = m 2 / (mS 2 K ) = 10 -6 m 2 / (S 2 K );由此可見，掌握了單位之間變換的方法，就可以根據(jù)自己的需要來選擇合適的單位制。更多的例子見表1。表2給出了幾種單位制與 kg-m-S 單位制之間的換算因子1 不同單位制的物理量單位序號(hào)參數(shù)名單位量綱Kg-m-s單 位 制Kg-mm-s單 位 制T-mm-s-

12、Mpa單 位 制g-mm-s單 位 制1長(zhǎng)度LLmMm(10 -3 m)Mm(10 -3 m)Mm(10 -3 m)2質(zhì)量MMKgKgT(10 3 Kg)g(10 -3 Kg)3時(shí)間ttssss4溫度TTKKKK5面積AL 2m 2mm 2(10 -6 m 2)mm 2(10 -6 m 2)mm 2(10 -6 m 2)6體積VL 3m 3mm 3(10 -9 m 3)mm 3(10 -9 m 3)mm 3(10 -9 m 3)7力FM L / t 2N (牛) =Kg m / s 2Kg mm / s 2(10 -3 N)T mm / s 2(N)g mm / s 2(10 -6 N)8密度

13、rM / L 3Kg / m 3(10 -3 g / cm 3)Kg / mm 3(10 6 g / cm 3)T / mm 3(10 9 g / cm 3)g / mm 3(10 3 g / cm 3)9能量、焓、熱量M L 2 / t 2J (焦耳) = N m= Kg m 2 / S 2Kg mm 2 / S 2(10 -6 J)T mm 2 / S 2(10 -3 J)g mm 2 / S 2(10 -9 J)10功率、熱流量m L 2 / t 3w (瓦) = J / S= kg m 2 / S 3kg mm 2 / S 3(10 6 w)T mm 2 / S 3(10 3 w)g

14、mm 2 / S 3(10 9 w)11壓力、應(yīng)力、模量M / (t 2 L)Pa = N / m 2= Kg / (s 2 m)Kg / (s 2 mm)(kPa)T / (s 2 mm) (MPa)g / (s 2 mm) (Pa)12導(dǎo)熱率kM L / (t 3 K)J / (m s K) =(Kg m / (s 3 K)Kg mm / (s 3 K)(10 -3 Kg m / (s 3 K)T mm / (s 3 K)(Kg m / (s 3 K)g mm / (s 3 K)(10 -6 Kg m / (s 3 K)13比熱cL 2 / (t 2 K)J / (Kg K) =(m 2

15、/ (s 2 K) mm 2 / (s 2 K )(10 -6 m 2 / (s 2 K ) ) mm 2 / (s 2 K )(10 -6 m 2 / (s 2 K ) ) mm 2 / (s 2 K )(10 -6 m 2 / (s 2 K ) )14體熱源hM / (t 2 L)J / m 3 =(Kg / (s 2 m)Kg / (s 2 mm)(10 3 Kg / (s 2 m) )T / (s 2 mm)(10 6 Kg / (s 2 m) )g / (s 2 mm)(1.0 Kg / (s 2 m) )15換熱系數(shù)CvM / (t 3 K)J / (m 2 s K) =(Kg /

16、 (s 3 K)Kg / (s 3 K)(Kg / (s 3 K)T / (s 3 K)(10 3 Kg / (s 3 K)g / (s 3 K)(10 -3 Kg / (s 3 K)16粘性系數(shù)KvM / (L t)Kg / (m s)Kg/(mm s)(10 3 Kg /(m s) )T / (mm s)(10 6 g / (m s) )g / (mm s)(1.0 g / (m s) )17熵SM L 2 / (t 2 K)J / K = (Kg m 2 / S 2 K)Kg mm 2 / S 2 K(10 -6 Kg m 2/ S 2 K)T mm 2 / S 2 K(10 -3 Kg

17、 m 2/ S 2 K)g mm 2/S 2 K(10 -9 Kg m 2/ S 2 K)18比熵s質(zhì)量熵L 2 / (t 2 K)J / (Kg K )= (m 2 / S 2 K)mm 2 / S 2 K(10 -6 m 2 / S 2 K)mm 2 / S 2 K(10 -6 m 2 / S 2 K)mm 2 / S 2 K(10 -6 m 2 / S 2 K)表2 不同單位制的物理量與Kg-m-s單位制的換算因子注序號(hào)參數(shù)名公制單位(Kg-m-s單位)其它單位轉(zhuǎn)換到Kg-m-s 單位制kg-m-s單位轉(zhuǎn)換到Kg-mm-s單位制kg-m-s單位轉(zhuǎn)換到T-mm-s-Mpa單位制kg-m-s

18、單位轉(zhuǎn)換到g-mm-s單位制1長(zhǎng)度LmKg-mm-s數(shù)值 10 -3Kg-m-s數(shù)值 10 3Kg-m-s數(shù)值 10 3Kg-m-s數(shù)值 10 32質(zhì)量MKgg-cm-s數(shù)值 10 3Kg-m-s數(shù)值 1.0Kg-m-s數(shù)值 10 -3Kg-m-s數(shù)值 10 33時(shí)間tsKg-mm-s數(shù)值 1.0Kg-m-s數(shù)值 1.0Kg-m-s數(shù)值 1.0Kg-m-s數(shù)值 1.04溫度TKKg-mm-s數(shù)值 1.0Kg-m-s數(shù)值 1.0Kg-m-s數(shù)值 1.0Kg-m-s數(shù)值 1.05面積L 2m 2Kg-mm-s數(shù)值 10 -6Kg-m-s數(shù)值 10 6Kg-m-s數(shù)值 10 6Kg-m-s數(shù)值 10

19、 66體積L 3m 3Kg-mm-s數(shù)值 10 -9Kg-m-s數(shù)值 10 9Kg-m-s數(shù)值 10 9Kg-m-s數(shù)值 10 97力M L / t 2N=Kg m / s 2Kg-mm-s數(shù)值 10 -3Kg-m-s數(shù)值 10 3Kg-m-s數(shù)值 1.0Kg-m-s數(shù)值 10 68密度M / L 3Kg / m 3g-cm-s數(shù)值 10 3g-cm-s數(shù)值 10 -6g-cm-s數(shù)值 10 -9g-cm-s數(shù)值 10 -39能量、焓熱流M L 2 / t 2J=Kg m 2 / s 2Kg-mm-s數(shù)值 10 -6Kg-m-s數(shù)值 10 6Kg-m-s數(shù)值 10 3Kg-m-s數(shù)值 10 910功率、熱流量m L 2 / t 3w = kg m 2 /S 3Kg-mm-s數(shù)值 10 -6Kg-m-s數(shù)值 10 6Kg-m-s數(shù)值 10 3Kg-m-s數(shù)值 10 911壓力、應(yīng)力、模量M / (t 2 L) Pa=Kg/(s 2 m)Kg-mm-s數(shù)值 10 6Kg-m-s數(shù)值 10 -3Kg-m-s數(shù)值 10 -6Kg-m-s數(shù)值 1.012導(dǎo)熱率M L / (t 3 K) Kg m/ (s 3 K)Kg-m-s數(shù)值 10 -3Kg-m-s數(shù)值 10 3Kg-m-s數(shù)值1.0Kg-m-