第三講《柯西不等式的證明及應(yīng)用》教案(新人教選修4-5

1、柯西不等式的證明及應(yīng)用柯西（Cauchy）不等式 等號當(dāng)且僅當(dāng)或時成立（k為常數(shù)，）現(xiàn)將它的證明介紹如下：證明1：構(gòu)造二次函數(shù) = 恒成立即當(dāng)且僅當(dāng) 即時等號成立證明（2）數(shù)學(xué)歸納法 （1）當(dāng)時 左式= 右式=顯然 左式=右式當(dāng) 時， 右式 右式 僅當(dāng)即 即時等號成立故時 不等式成立 （2）假設(shè)時，不等式成立即 當(dāng) ，k為常數(shù)， 或時等號成立設(shè) 則 當(dāng) ，k為常數(shù)， 或時等號成立即 時不等式成立綜合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用運(yùn)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，這個不等式結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛，利用柯西不等式可處理以下問題：1） 證明相關(guān)命題

2、例1 用柯西不等式推導(dǎo)點到直線的距離公式。 已知點及直線 設(shè)點p是直線上的任意一點， 則 （1） （2）點兩點間的距離就是點到直線的距離，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得： 即 （3）當(dāng)且僅當(dāng) （3）式取等號 即點到直線的距離公式即2） 證明不等式例2已知正數(shù)滿足 證明 證明：利用柯西不等式 又因為 在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故3） 解三角形的相關(guān)問題例3 設(shè)是內(nèi)的一點，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。4） 求最值例4已知實數(shù)滿足， 試求的最值 解：由柯西不等式得，有即由條件可得， 解得，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，代入時， 時 5）利用柯西不等式解方程例5在實數(shù)集內(nèi)解方程解：由柯西不等式，得 又即不等式中只有等號成立從而由柯西不等式中等號成立的條件，得它與聯(lián)立，可得 6）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度越小?，F(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。現(xiàn)記，則，由柯西不等式有，當(dāng)時，此時，為常數(shù)。點 均在直線上，當(dāng)時，即而為常數(shù)。此時，此時，為常數(shù)點均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大當(dāng)時，不具備