第九章SECTION3線性變換

1、Comment Lovely1: Page: 1 3 線性變換線性變換 一、基本概念 線性變換 設(shè)和是同一域 F 上的兩個(gè)線性空間，映射滿足下面兩個(gè)條V V :VV L 件： (i) ，對(duì)任意;)()()( 2121 LLLV 21, (ii) ，對(duì)任意；)()( 11 LLaaVFa 1 , 則稱L L為線性映射或線性變換，又稱同態(tài). 若與是同一線性空間，則稱 L 為空間 V 到V V 自身的線性變換，或稱為自同態(tài). 例 1 在一個(gè)線性空間 V 上的一個(gè)線性函數(shù)（見(jiàn)本節(jié)三）是 V 到域 F（考慮FV : 為一維線性空間）的一個(gè)線性變換. 例 2 設(shè)是線性空間 V 上的線性函數(shù)，則由 n ,

2、21 V m ), (,), (), ( 21 所確定的映射是 V 到 m 維空間的一個(gè)線性變換. m F 例 3 設(shè) V 是區(qū)間a，b上所有連續(xù)函數(shù)組成的實(shí)線性空間. 若令 )(d)()(xFttfxf x a L 則 L 就是 V 的一個(gè)線性變換. 事實(shí)上，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù) b，c，有 )()(d)(d)(d)()()()(xgcxfbttgcttfbttcgtbfxcgxbf x a x a x a LLL 例 4 設(shè) V 為一切實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 f（x）組成的線性空間. 若令 （為的導(dǎo)數(shù)）)()(Lxfxf)(x f )(xf 則 L 是 V 的一個(gè)線性變換. 線性變換的性質(zhì) 1o線性變換定

3、義中的條件(i)，(ii)等價(jià)于：對(duì)任意VFba 21, , ) () ()( 2121 LLLbaba 重復(fù)應(yīng)用這公式，導(dǎo)出 )()()()( 22112211nnnn aaaaaaLLLL 2o若是線性無(wú)關(guān)的，是一個(gè)線性變換，則V r , 21 :VV L )(,),(),( 21r LLL 也是線性無(wú)關(guān)的. 3o若構(gòu)成 V 的一個(gè)基底，又設(shè)，則唯一地存在一個(gè)線性 m , 21 21 ,V m 變換 L，使. ), 2 , 1()(mi ii L 零變換恒等變換逆變換 將線性空間 V 的任一矢量都變?yōu)榫€性空間的零矢 V 量的變換，稱為零變換記作 O. 即對(duì)任一，有V （為的零矢量） )(0

4、 0 O 0 0 V 將線性空間 V 中任一矢量都變?yōu)樽约旱淖儞Q，稱為恒等變換. 記作 I，即對(duì)任一 ，有V )(I 零變換和恒等變換都是線性變換. 對(duì)的線性變換 L，若存在上的線性變換 M，使，則稱 M 為 L 的 VV VV ILM 逆變換，記作. 1 L 線性變換的矩陣 設(shè)是線性空間 V 的一組基底，是的基 n , 21 m , 21 V 底，是線性變換，那末可表為 :VV L), 2 , 1(mi i nmnmmm nn nn aaa aaa aaa 2211 22221212 12121111 由系數(shù)所組成的矩陣 mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 112

5、11 稱為線性變換 L 關(guān)于基和的矩陣. n , 21 m , 21 特別，當(dāng) V 與的維數(shù)相同，或 L 是 V 自身的線性變換，則A為方陣. V 在基底確定之后，線性變換和它的矩陣建立了一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 零變換的矩陣是零矩 陣，恒等變換的矩陣是單位矩陣. 線性變換的特征值與特征矢量 如果存在，使得自同態(tài)滿足VF , :VV L )(L 那末稱為線性變換 L 的特征值（特征根） ，稱為對(duì)應(yīng)于的特征矢量. 一個(gè)線性變換的特征值與特征矢量分別等于該變換的矩陣的特征值與特征矢量. 象象源核線性變換的秩 若是一個(gè)線性變換，則稱為 V 的象，稱 :VV LVL V 為象源，稱為核. 的維數(shù)稱為 L 的

6、秩，的維數(shù)稱為退化次數(shù). )( 1 0 0 LVL)( 1 0 0 L 一個(gè)線性變換的核與象分別為 V 和的線性子空間，核的維數(shù)與 :VV L)( 1 0 0 LVL V 象的維數(shù)之和等于象源的維數(shù). 即 VVdimdim)(dim 1 LL0 0 一個(gè)線性變換的秩等于該變換的矩陣的秩. 二、線性變換的運(yùn)算 線性變換的和與數(shù)乘 從空間 V 到空間的線性變換的集，記作 V ),Hom( VV 設(shè)，按照下列公式定義:VFaVV ,),Hom(, MLLMLa， )()(),()()( LLMLMLaa 這兩個(gè)新的變換都是線性的，并且 LMML 分別稱為線性變換的和與數(shù)乘. LMLa， 按上面定義的

7、線性變換的和與數(shù)乘，集組成 F 上的線性空間. 它的維數(shù)等于),Hom( VV V 和的維數(shù) n 和 m 的積. Vmn 線性變換的乘積 設(shè)為三個(gè)線性空間，若， VVV，),Hom( VVL 則定義),Hom( VVM )()( LMLM)(V 顯然是從的線性變換，稱為線性變換的乘積. LM VV LM 線性變換的乘積滿足： 1o分配律 若則),Hom(),Hom(, 21 VVVVMLL MLMLMLL 2121 )( 2o結(jié)合律 若. ),Hom(),Hom(),Hom( VVVVVVNML NLMMNL)()( 冪等變換 如果 L 是線性空間 V 到自身的線性變換，滿足等式 LLLL 2

8、 那末稱 L 為冪等變換. 同構(gòu)與自同構(gòu) 若線性變換是一對(duì)一的，則稱 L 是同構(gòu)，或稱 L 是正則的. :VV L V 到自身的一個(gè)同構(gòu)稱為自同構(gòu). 若 V 到自身的線性變換不是自同構(gòu)，則稱它為奇異線性變 換，否則就稱為非奇異線性變換（或正則自同態(tài)）. 同構(gòu)有以下性質(zhì)： 1o是一個(gè)同構(gòu)的充分必要條件是： :VV L 0 00 0 )( 1 L 2o若 L 和 M 是同構(gòu)的，則 :VV L :VV M 111 )( LMLM 特別，對(duì)自同構(gòu)，上式也成立. VVV 3o域 F 上線性空間 V 的一切自同構(gòu)所成的集 G 在乘法之下構(gòu)成一個(gè)群. 稱 G 為 V 的線 性變換群，記作，其中 n 為 V

9、的維數(shù). ),/(FnG 4o域 F 上線性空間 V 的一切線性變換（自同態(tài)）所成的集 R 在加法和乘法之下構(gòu)成一 個(gè)環(huán)，稱 R 為 A 的線性變換環(huán). 三、對(duì)偶空間與對(duì)偶映射 數(shù)量積與對(duì)偶空間 設(shè) V 和是兩個(gè)實(shí)（復(fù)）線性空間. 若對(duì)任意一對(duì)矢量 * V 確定了一個(gè)數(shù)量，并滿足下列條件：),(, * VV ),( * (i),(),(),( * baba ),(),(),( * baba (ii) 對(duì)一個(gè)固定的和一切,若則；反之，對(duì)一個(gè)固定的V * V 0),( * 0 0 和一切,若則.則稱函數(shù)為數(shù)量積. * V V 0),( * * 0 0 ),( * 若，則稱是正交的. (ii)表明，

10、一個(gè)空間中一個(gè)矢量與另一個(gè)空間中一0),( * * , 切矢量正交，只當(dāng)它是零矢量時(shí)才成立. 定義了數(shù)量積的兩個(gè)線性空間稱為對(duì)偶空間. 對(duì)偶空間的維數(shù)相等. 對(duì)偶基底 若 V 和的兩個(gè)基底和滿足關(guān)系式： * V, 21n , * 2 * 1n )(0 )(1 ,),( * ji ji ijijji 則稱它們?yōu)閷?duì)偶基底. V和是對(duì)偶空間，則對(duì)于V的一個(gè)已知基底，恰有一個(gè)對(duì)偶基底 * V, 21n * V . , * 2 * 1n 正交補(bǔ)空間 設(shè)是 V 的一個(gè)子空間，則空間 V 中與的一切矢量都正交的矢量 1 V 1 V 組成的集合是 V 的一個(gè)子空間，稱為的正交補(bǔ)空間，記作. * * 1 V *

11、 1 V 1 V 1 V 正交補(bǔ)空間有以下性質(zhì)： 1o空間和的維數(shù)之和等于空間 V 的維數(shù)，即 1 V 1 V VVVdimdimdim 11 2o 11 )(VV 3o若，則；而且和是一對(duì)對(duì)偶空間，和也是一對(duì) 21 VVV 21 * VVV 1 V 2 V 2 V 1 V 對(duì)偶空間. 共軛空間 設(shè) V 是域 F 上的線性空間，若對(duì)，在 F 上有唯一的一個(gè)數(shù)與V )( 對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系為定義在 V 上的一個(gè)函數(shù). 函數(shù) FV : 若對(duì)任二矢量與任意，都有V ,Fba, )()()( baba 則稱為線性函數(shù)，又稱為線性泛函. 令，則有，因此又稱線性函數(shù)為線0 ba0)0( 性齊次函數(shù)或線性型. V 中線性函數(shù)的集的兩個(gè)函數(shù)，的和與數(shù)乘按通常的方式定義如下：)(VL Vaa ),()(),()()( 則構(gòu)成一個(gè)線性空間，稱為 V 的共軛空間，的零矢量是一個(gè)恒等于零的函數(shù). )(VL)(VL)(VL 可以證明和 V 是一對(duì)對(duì)偶空間，若是 V 的一組基底，則由下列方程)(VL n , 21 定義的函數(shù)為的一個(gè)基底： n aaa, 21 )(VL ijj i a)( 因而又是的共軛基底. n aaa, 21 n , 21 對(duì)偶映射 設(shè) V，與 W，是兩對(duì)對(duì)偶空間；若兩個(gè)線