靜電學(xué)一章習(xí)題答案

1、靜電學(xué)一章習(xí)題答案習(xí)題71 半徑為R的均勻帶電球體的靜電場中各點(diǎn)的電場強(qiáng)度的大小E與距球心的距離r的關(guān)系曲線為：E r R E1/r2 (A) O E r R O E1/r2 (B) E O r R E1/r2 (C) E r O R E1/r2 E1/r (D) 習(xí)題71圖 習(xí)題72半徑為R的均勻帶電球面，總電量為Q，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為零，則該帶電體所產(chǎn)生的電場的電勢U隨離球心的距離r變化的分布曲線為：U r O U1/r R (A) U r O R U1/r (B) U r O R U1/r (C) U r O R U1/r2 (D) U r O R U1/r2 (E) 習(xí)題72圖 A a

2、b c d q 習(xí)題73圖 習(xí)題73 如圖所示，一個(gè)帶電量為q的點(diǎn)電荷位于立方體的A角上，則通過側(cè)面abcd的電場強(qiáng)度通量等于：解：可以設(shè)想再補(bǔ)上與圖示立方體完全相同的七個(gè)立方體，使得點(diǎn)電荷位于一個(gè)邊長擴(kuò)大一倍的新的立方體的中心，這樣，根據(jù)高斯定理，通過這個(gè)新立方體的六個(gè)面的總電通量為，通過其中任何一個(gè)面的電通量為，而因原abcd面只是新立方體一個(gè)面的四分之一，故通過abcd面的電場強(qiáng)度通量為。選擇答案(C)R1 R2 r P O Q1 Q2 習(xí)題74圖 習(xí)題74 如圖所示，兩個(gè)同心的均勻帶電球面，內(nèi)球面半徑為R1、帶電量Q1，外球面半徑為R2、帶電量為Q2。設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則在內(nèi)球面里

3、面，距球心為r的P點(diǎn)處的電勢為：(A) 。 (B) 。 (C) 0。(D) 。解：根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，內(nèi)球面單獨(dú)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為外球面單獨(dú)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為因此，P點(diǎn)最終的電勢為所以選擇答案(B)注：對典型電荷分布的場，應(yīng)用疊加原理可以非常方便地求得結(jié)果。X Y Z P O 習(xí)題75 有N個(gè)電量均為q的點(diǎn)電荷，以兩種方式分布在相同半徑的圓周上：一種是無規(guī)則的分布，另一種是均勻分布，比較這兩種情況下在過圓心O并垂直于圓平面的Z軸上任一點(diǎn)P的場強(qiáng)與電勢，則有：(A) 場強(qiáng)相等，電勢相等。 (B) 場強(qiáng)不等，電勢不等。 習(xí)題75圖 (C) 場強(qiáng)分量EZ相等，電勢相等。 (D) 場強(qiáng)分量EZ相等，電勢

4、不等。解：因?yàn)殡妱菔菢?biāo)量，而且僅與點(diǎn)電荷到場點(diǎn)的距離有關(guān)，所以各點(diǎn)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢都相等，與點(diǎn)電荷在圓周上的位置無關(guān)，這樣一來，根據(jù)電勢疊加原理，兩種情況下的電勢都一樣，都是對于場強(qiáng)，因?yàn)樗鞘噶?，即不僅有大小還有方向，各點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)方向與其在圓周上的位置有關(guān)，也就是說，P點(diǎn)的場強(qiáng)應(yīng)當(dāng)與各點(diǎn)電荷在圓周上的分布有關(guān)，所以兩種情況下的場強(qiáng)是不同的。但是，由于P點(diǎn)對于圓周上的各點(diǎn)是對稱的，各點(diǎn)電荷場強(qiáng)的Z分量(標(biāo)量)大小與其在圓周上的位置無關(guān)，因此，兩種情況下P點(diǎn)的場強(qiáng)分量EZ 都相同。綜上，應(yīng)該選擇答案(C)。習(xí)題76 如圖所示，邊長為a的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，放置著三個(gè)正的點(diǎn)電荷，電量

5、分別為q、2q、3q，若將另一點(diǎn)電荷Q從無窮遠(yuǎn)處移到三角形的中心O處，外力所作的功為：(A) (B) (C) (D) a a a q 2q 3q O 習(xí)題76圖 解：根據(jù)電勢疊加原理，三角形的中心O處的電勢為因?yàn)闊o窮遠(yuǎn)處電勢為零，所以外力的功為因此，應(yīng)當(dāng)選擇答案(C)。O a a q q X Y P (0，y) 習(xí)題77圖 習(xí)題77 如圖所示，在坐標(biāo)(a，0)處放置一點(diǎn)電荷+q，在坐標(biāo)(a，0)處放置另一點(diǎn)電荷q。P點(diǎn)是Y軸的一點(diǎn)，坐標(biāo)為(0，y)，當(dāng)ya時(shí)，該點(diǎn)場強(qiáng)的大小為：(A) (B) (C) (D) 解：由圖示，兩個(gè)點(diǎn)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的Y分量相抵消，P點(diǎn)最終的場強(qiáng)只是兩場強(qiáng)X分量的

6、疊加，因此，P點(diǎn)的場強(qiáng)為所以應(yīng)該選擇答案(C)。X E O (A) X E O Ex (B) X E O (C) X E O (D) 習(xí)題78圖 習(xí)題78 設(shè)有一“無限大”均勻帶正電荷的平面，取X軸垂直帶電平面，坐標(biāo)原點(diǎn)在帶電平面上，則其周圍空間各點(diǎn)的電場強(qiáng)度隨距離平面的位置坐標(biāo)x的變化的關(guān)系曲線為(規(guī)定場強(qiáng)方向沿X軸正方向?yàn)檎粗疄樨?fù))： 解：“無限大”均勻帶正電荷的平面產(chǎn)生的場強(qiáng)大小是與到平面的距離x無關(guān)的常量，但是平面兩側(cè)的場強(qiáng)方向不同：在x0區(qū)間，場強(qiáng)方向與X軸正向相同，應(yīng)為正；反之在x0區(qū)間，場強(qiáng)方向與X軸正向相反，應(yīng)為負(fù)。所以，應(yīng)該選擇答案(C)。R r E O E1/r2 習(xí)題

7、79圖 習(xí)題79 圖中所示曲線表示某種球?qū)ΨQ靜電場的場強(qiáng)大小E隨徑向距離r變化的關(guān)系，請指出該電場是由下列哪一種帶電體產(chǎn)生的。(A) 半徑為R的均勻帶電球面。(B) 半徑為R的均勻帶電球體。(C) 點(diǎn)電荷。(D) 外半徑為R，內(nèi)半徑為R/2的均勻帶電球殼體。解：容易看出該電場是由半徑為R的均勻帶電球面產(chǎn)生的，所以，應(yīng)該選擇答案(A)。O R r P q Q 習(xí)題710圖 習(xí)題710 真空中一半徑為R的球面均勻帶電Q，在球心O處有一帶電量為q的點(diǎn)電荷，如圖所示。設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則在球內(nèi)離球心O為r的P 處的電勢為：(A) (B) (C) (D) 解：根據(jù)電勢疊加原理，P點(diǎn)的電勢應(yīng)為均勻帶電

8、球面和球心處的點(diǎn)電荷各自單獨(dú)存在時(shí)所產(chǎn)生電勢的疊加，即所以，應(yīng)該選擇答案(B)。習(xí)題711 把一個(gè)帶電量為+Q的球形肥皂泡由半徑r1吹脹到r2，則半徑為R(r1Rr2)的高斯球面上任一點(diǎn)的場強(qiáng)大小E由變?yōu)?；電勢由變?yōu)?選無窮遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn))。解：在吹脹過程中，高斯球面上任一點(diǎn)先在球形肥皂泡外，后在肥皂泡內(nèi)，而帶電的球形肥皂泡可看作均勻帶電球面，因此，高斯球面上任一點(diǎn)的場強(qiáng)大小由變到 E = 0；該點(diǎn)的電勢由變到注：從本題求解可以看出，我們應(yīng)該對均勻帶電球面的場強(qiáng)和電勢公式非常熟悉才行S q1 q2 q3 q4 習(xí)題712圖習(xí)題712 點(diǎn)電荷q1、q2、q3和q4在真空中的分布如圖所示，圖中S為閉

9、合曲面，則通過該閉合曲面的電通量，式中是點(diǎn)電荷在閉合曲面上任一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。解：根據(jù)靜電場高斯定理，通過該閉合曲面的電通量等于被閉合曲面包圍的電荷之代數(shù)和的分之一，即 =高斯定理中的是高斯面上任一點(diǎn)的場強(qiáng)，它是由高斯面內(nèi)、外的所有電荷共同產(chǎn)生的，即由q1、q2、q3和q4共同產(chǎn)生的。S1 S2 S3 q q 習(xí)題713圖 習(xí)題713 在點(diǎn)電荷+q和q的靜電場中，作出如圖所示的三個(gè)閉合面S1、S2、S3，則通過這些閉合面的電場強(qiáng)度通量分別為1= ；2= ；3=。解：根據(jù)高斯定理容易知道，通過三個(gè)閉合曲面的電通量分別為、0、。l 2l A B C D q q 習(xí)題714圖 O 習(xí)題714

10、如圖，A點(diǎn)與B點(diǎn)間距離為2l，OCD是以B為中心、以l為半徑的半圓路徑，A、B兩處各放有一點(diǎn)電荷帶，電量分別為+q和-q，則把另一帶電量為Q(Q0)的點(diǎn)電荷從D點(diǎn)沿路徑DCO移到O點(diǎn)的過程中，電場力所作的功為。解：放在A、B兩處的點(diǎn)電荷+q和-q是場源電荷，設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則D點(diǎn)的電勢為同理，O點(diǎn)的的電勢為因此，把另一帶電量為Q(Q2R)。求兩球心間的電勢差。解：選擇兩球心連線為積分路徑，在該路徑上距O1為r的某點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為電場強(qiáng)度的方向是從O1指向O2。兩個(gè)非導(dǎo)體球殼都在表面上均勻帶電，它們均可視為均勻帶電球面，因此每個(gè)球殼各自都是個(gè)等勢體，故而兩球心間的電勢差即為兩球表面間的電

11、勢差，所以有注：此題原來給出的答案可能是錯(cuò)的。習(xí)題727 電荷Q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)，設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，試證明離球心r(rR)處的電勢為：證明：由高斯定理容易算出該球體內(nèi)外的場分布：0rRrR因此，離球心為r(rR)處的電勢為習(xí)題728 一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度分布為式中q為一正的常數(shù)。試求：(1) 帶電球體的總電量；(2) 球內(nèi)、外各點(diǎn)的電場強(qiáng)度；(3) 球內(nèi)、外各點(diǎn)的電勢。解：(1) 帶電球體的總電量為(2) 取半徑為r的同心球形高斯面，則有在rR區(qū)間：所以場強(qiáng)分布為 (3) 根據(jù)場強(qiáng)與電勢的積分關(guān)系在rR區(qū)間：所以電勢分布為X O d 習(xí)題729圖 x x S 習(xí)題7

12、29 圖示一厚度為d 的“無限大”均勻帶電平板，電荷體密度為。試求板內(nèi)外的場強(qiáng)分布并畫出場強(qiáng)在X軸的投影值隨坐標(biāo)x變化的圖線，即Exx圖線( 設(shè)原點(diǎn)在帶電平板的中央平面上，OX軸垂直于平板)。解：以X軸為軸線取一閉合圓柱面S，使其兩個(gè)端面距帶電平板的中央平面等距，即兩端面分別在x和x處，同時(shí)設(shè)端面積為，根據(jù)高斯定理在平板內(nèi)有： ()在平板外有：X E O d/2 d/2 題解729圖 ()場強(qiáng)在X軸的投影值隨坐標(biāo)x變化的圖線如圖所示。靜電場一章補(bǔ)充習(xí)題及答案O R 窄條面元 題解1552圖1 習(xí)題1552(2000.1習(xí)題集) 一“無限長”均勻帶電半圓柱面，半徑為R，若半圓柱面沿軸線單位長度上

13、的電量為，試求軸線上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。分析：該題求解的關(guān)鍵在如何取“元電荷”，根據(jù)“無限長”的對稱性，應(yīng)當(dāng)在柱面上、沿軸線方向取 “無限長” 窄條元電荷，這樣的“窄條”可以看成是“無限長”均勻帶電直線。R X Y O 題解1552圖2 解：如圖所示是該半圓柱面的垂直于軸線的橫截面（在XOY平面內(nèi)），軸線沿Z軸方向。設(shè)所取“窄條”寬度為，其電荷線密度為其在軸線上某點(diǎn)的元場強(qiáng)的大小為元場的方向如圖所標(biāo)?，F(xiàn)把進(jìn)行分解由于對稱性，。因此，軸線上最終的場強(qiáng)為 寫成矢量式有習(xí)題1561(2000.1習(xí)題集) 一錐頂角為的圓臺(tái)，上下底面半徑分別為R1和R2，在它的側(cè)面上均勻帶電，電荷面密度為，求頂點(diǎn)O的電勢

14、。(以無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn))O R1 r R2 dr dl dl 題解1561圖 分析：此題的關(guān)鍵仍是取“元電荷”的問題，根據(jù)帶電體的形狀，應(yīng)該在圓臺(tái)面上取與其共軸的窄圓環(huán)（球帶），該球帶可視為均勻帶電圓環(huán)。解：如圖，取半徑為r()、母線長為dl的球帶（環(huán)形電荷元），其側(cè)面積為，帶電量為，由于，因此，其在O點(diǎn)產(chǎn)生的元電勢為故頂點(diǎn)O的電勢為O 習(xí)題1569圖 習(xí)題1569(2000.1習(xí)題集) 如圖所示，在一個(gè)電荷體密度為的均勻帶電球體中，挖出一個(gè)以為球心的球狀小空腔，空腔的球心相對于帶電球體中心O的位置矢量用表示，試證明球形空腔內(nèi)的電場是均勻電場，其表達(dá)式為分析：均勻帶電球體中挖去一個(gè)球狀空腔，

15、電荷分布及場分布已經(jīng)不具有對稱性，所以不能直接用高斯定理求解，但是可以間接使用高斯定理求解。如圖所示，該球體可以看成一個(gè)與其等大的、電荷體密度為的完整無損的均勻帶電球體和另一個(gè)與球形小空腔等大的、電荷體密度為的完整無損的均勻帶電小球體疊加而成，按疊加原理，空間任一點(diǎn)的場應(yīng)等于上述兩個(gè)帶電球體各自單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的場之疊加。 題解1569圖 解：設(shè)空腔內(nèi)任一點(diǎn)P對O點(diǎn)的位置矢量為，電荷體密度為的完整無損的均勻帶電球體單獨(dú)存在時(shí)在P點(diǎn)產(chǎn)生的場為同理，電荷體密度為的完整無損的均勻帶電小球體單獨(dú)存在時(shí)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場為式中為場點(diǎn)P對點(diǎn)的位置矢量。所以，P點(diǎn)最終的場為注：對這樣“破缺”型問題，應(yīng)當(dāng)考慮采用

16、反號電荷補(bǔ)償法進(jìn)行拆分，拆分原則是能方便地應(yīng)用疊加原理求得結(jié)果，類似問題在磁學(xué)中還會(huì)遇到，不過在那里是采用反向電流補(bǔ)償法進(jìn)行拆分處理。習(xí)題78(李子芳主編的教材，第七章) 半徑為R的球體內(nèi)電荷體密度為，式中為常量，r為球內(nèi)某點(diǎn)到球心的距離。試求球內(nèi)、外的場強(qiáng)分布。分析：電荷在球體內(nèi)盡管分布不均勻，但因只是r的函數(shù)，所以仍為球?qū)ΨQ分布，仍然可以用高斯定理；不過計(jì)算面內(nèi)電荷時(shí)需積分，因?yàn)檫@時(shí)并非常數(shù)。解：取同心球形高斯面，半徑為r。在rR區(qū)間： 而 (rR)在區(qū)間：而()習(xí)題1533(2000.1習(xí)題集) 一“無限長”均勻帶電直線沿Z軸放置，線外某區(qū)域的電勢表達(dá)式為，式中A為常數(shù)，則該區(qū)域場強(qiáng)的兩個(gè)為：Ex=；Ey=。解：由場強(qiáng)與電勢的微分關(guān)系可得習(xí)題152(2000.1習(xí)題集) 電荷面密度為和的兩塊“