高考數(shù)學(xué)解題之換元法

1、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換

2、元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件xyr（r0）時(shí)，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式

3、時(shí)，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t0和0,。、再現(xiàn)性題組：1.ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。2.設(shè)f(x1)log(4x) （a1），則f(x)的值域是_。3.已知數(shù)列a中，a1，aaaa，則數(shù)列通項(xiàng)a_。來源: 4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) log(22)2的解集是_?！竞喗狻?小題：設(shè)sinx+cosxt,，則yt，對(duì)稱軸t1，當(dāng)t，y；2小題：設(shè)x1

4、t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域?yàn)?,log4；3小題：已知變形為1,設(shè)b，則b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小題：設(shè)xyk，則x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小題：設(shè)3y，則3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設(shè)log(21)y，則y(y1)2，解得2y0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值?！窘狻?設(shè)sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinxcosx得：sinxcosx f(x)g(t)(t2a) （a0），t-,t-時(shí)，取最小值：2a2a當(dāng)2a時(shí)，t，取最大值：2a2a ；來源: 當(dāng)0

5、0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理）【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項(xiàng)有何聯(lián)系？進(jìn)行對(duì)數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法?！窘狻?設(shè)logt，則loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式簡化為（3t）x2tx2t0，它對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以：，解得 t0即log001，解得0a0恒成立，求k的范圍?！痉治觥坑梢阎獥l件1，可以發(fā)現(xiàn)它與ab1有相似之處，于是實(shí)施三角換元?！窘狻坑?，設(shè)cos，sin，即： 代入不等式xyk0得：3cos4sink0，即k3cos4sin5sin(+) 所以k0 k 平面區(qū)域來源:本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思

6、想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式axbyc0 (a0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€axbyc0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面上xyk0的區(qū)域。即當(dāng)直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，方程組有相等的一組實(shí)數(shù)解，消元后由0可求得k3,所以k0)，則f(4)的值為_。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函數(shù)y(x1)2的單調(diào)增區(qū)間是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 設(shè)等差數(shù)列a的公差d，且S145，則aaaa的值為_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x4y4x，則xy的范圍是_。5. 已知a0，b0，ab1，則的范圍是_。6. 不等式ax的解集是(4,b)，則a_，b_。7. 函數(shù)y2x的值域是_。8. 在等比數(shù)列a中，aaa2，a