北京市聯(lián)考2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）

1、 整理于網(wǎng)絡(luò) 可修改北京市房山區(qū)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）本試卷共6頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題紙交回，試卷自行保存。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A. （0，2）B. （2，0）C. （0，4）D. （4，0）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求得，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】由題意，焦點(diǎn)在軸正方向上，坐標(biāo)為故選A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題解題時(shí)要掌握拋物線四種

2、標(biāo)準(zhǔn)方程形式2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是A. -1+iB. -1-iC. 1+iD. 1-i【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后寫出共軛復(fù)數(shù)【詳解】，其共軛復(fù)數(shù)為故選D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題3.已知雙曲線的離心率為，則m=A. 4B. 2C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)離心率公式計(jì)算【詳解】由題意，解得故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由方程確定4.如圖，在空間四邊形ABCD中，設(shè)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則+（-）等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算的法則計(jì)算【

3、詳解】-，+（-）故選C【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，掌握線性運(yùn)算的法則是解題基礎(chǔ)5.若=（4，2，3）是直線l的方向向量，=（-1，3，0）是平面的法向量，則直線l與平面的位置關(guān)系是A. 垂直B. 平行C. 直線l在平面內(nèi)D. 相交但不垂直【答案】D【解析】【分析】判斷直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系，從而得直線與平面的位置關(guān)系【詳解】顯然與不平行，因此直線與平面不垂直，又，即與不垂直，從而直線與平面不平行，故直線與平面相交但不垂直故選D【點(diǎn)睛】本題考查用向量法判斷直線與平面的位置關(guān)系，方法是由直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系判斷，利用向量的共線定理和數(shù)量積運(yùn)算判斷直線的方向向量與

4、平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直線與平面的位置關(guān)系6.“m0”是“方程=m表示的曲線為雙曲線”的A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷【詳解】時(shí)，方程表示兩條直線，時(shí)，方程可化為，時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線故選C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程7.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A. 平面平面B. 的取值范圍是（0，C. 的體積為定值D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)

5、線面位置關(guān)系進(jìn)行判斷【詳解】平面，平面平面，A正確；若是上靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)，可證此時(shí)為鈍角，B錯(cuò)；由于，則平面，因此的底面是確定的，高也是定值，其體積為定值，C正確；在平面上的射影是直線，而，因此，D正確故選B【點(diǎn)睛】本題考查空間線面間的位置關(guān)系，考查面面垂直、線面平行的判定，考查三垂線定理等，所用知識(shí)較多，屬于中檔題8.設(shè)F是橢圓=1的右焦點(diǎn)，橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)（i=1,2,3,），組成公差為d（d0）的等差數(shù)列，則d的最大值為A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出橢圓點(diǎn)到的距離的最大值和最小值，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得結(jié)論【詳解】橢圓中，而的最大值為，最小值為，故選B

6、【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，難度不大第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.已知a,bR,i是虛數(shù)單位，（a+bi）i=2+3i，則a=_,b=_【答案】 (1). 3 (2). -2【解析】【分析】求出【詳解】由題意，故答案（1）3；（2）2【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M（1，0，1），N（-1，1，2），則線段MN的長(zhǎng)度為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算【詳解】故答案為【點(diǎn)睛】本題考查空間兩點(diǎn)間距離公式，屬于基礎(chǔ)題11.若雙曲線的漸近線方程為y=x，則滿

7、足條件的一個(gè)雙曲線的方程為_【答案】=1（答案不唯一）【解析】【分析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線方程的關(guān)系可得【詳解】漸近線方程為y=x的雙曲線方程為，則就是其中之一故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)：漸近線，與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為，此方程對(duì)焦點(diǎn)沒有要求，即焦點(diǎn)可在軸上，也可在軸上12.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD-中，設(shè)AD=A=1，AB=2，則等于_【答案】1【解析】【分析】選取為基底，把其它向量都用基底表示后計(jì)算【詳解】由題意故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示后再進(jìn)行計(jì)算13.已知橢圓（ab0）的離心率為e，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓

8、上存在點(diǎn)P使得是鈍角，則滿足條件的一個(gè)e的值為_【答案】（答案不唯一，e1）【解析】【分析】當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，因此滿足題意時(shí)，此角必為鈍角【詳解】由題意當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，為鈍角，答案可為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)解題中注意性質(zhì)：是橢圓上任意一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大14.已知曲線W的方程為+-5x=0請(qǐng)寫出曲線W的一條對(duì)稱軸方程_曲線W上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_【答案】 (1). y=0（或x=） (2). 0,5【解析】【分析】由于曲線方程中變量是分開的，因此可只考慮縱坐標(biāo)的對(duì)稱性，也可只考慮橫坐標(biāo)的對(duì)稱性；解不等式可得【詳解】由方程知是曲線上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也是曲線上的

9、點(diǎn)，因此是一條對(duì)稱軸，同樣點(diǎn)與也同時(shí)是曲線上的點(diǎn)，因此也是一條對(duì)稱軸；，故答案為（或）；【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程，考查用方程研究曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題三、解答題共6題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15.已知復(fù)數(shù)（aR,i為虛數(shù)單位）（I）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（II）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（）（II）【解析】【分析】（I）計(jì)算出，由其實(shí)部為0，虛部不為0可求得值；（II）計(jì)算出，由其實(shí)部小于0，虛部大于0可求得的取值范圍【詳解】解：（I）由復(fù)數(shù)得=（）（）=3a+8+（6-4a）i若是純虛數(shù)，則3a+8=0，（6-4a）0，解

10、得a=-（II）=若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則有解得-【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念與幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題16.如圖，三棱柱ABC-中，平面ABC，ACAB，AB=AC=2，C=4，D為BC的中點(diǎn)（I）求證：AC平面AB；（II）求證：C平面AD；（III）求平面與平面所成銳二面角的余弦值【答案】（）見解析（II）見解析（III）【解析】【分析】（I）C平面ABC，得A平面ABC，從而AAC，再結(jié)合已知可證得線面垂直；（II）連接，與A相交于點(diǎn)O，連接DO，可證DO，從而證得線面平行；（III）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩平面和平面的法向量，由法向量的夾

11、角余弦值求得二面角的余弦值【詳解】（I）C平面ABC，ACA平面ABC，AAC又ACAB，ABA=AAC平面AB（II）連接，與A相交于點(diǎn)O，連接DOD是BC中點(diǎn)，O是中點(diǎn)，則DO，平面AD，DO平面AD平面AD（III）由（I）知，AC平面AB，AAB如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz則A（0，0，0），B（2，0，0），（2，4，0），D（1，0，1），=（1，0，1），=（2，4，0）設(shè)平面AD的法向量為=（x,y,z），則，即取y=1，得=（-2，1，2）平面AC法向量為=（2，0，0）Cos=-則平面AD與平面AC所成銳二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定與線面平行的判定，考

12、查用向量法求二面角立體幾何中線面間的平行與垂直一般用判定定理進(jìn)行證明，而求空間角一般用空間向量法求解17.已知拋物線C：=2px（p0）的準(zhǔn)線方程為x=-,F為拋物線的焦點(diǎn)（I）求拋物線C的方程；（II）若P是拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（,2）,求的最小值；（III）若過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)?！敬鸢浮浚ǎ↖I）4（III）線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）【解析】【分析】（I）由準(zhǔn)線方程求得，可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程（II）把轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可得三點(diǎn)共線時(shí)得所求最小值（III）寫出直線方程，代入拋物線方程后用韋達(dá)定理可得中點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】（I）準(zhǔn)線方程x=-

13、,得=1，拋物線C的方程為（II）過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂直為B，則=要使+的最小，則P，A，B三點(diǎn)共線此時(shí)+=+=4（III）直線MN的方程為y=x-設(shè)M（），N（），把y=x-代入拋物線方程,得-3x+=0=9-4180+=3，=線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)解題時(shí)注意拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離常常轉(zhuǎn)化為這點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD底面ABCD，PDAD，PD=AD，E為棱PC中點(diǎn)（I）證明：平面PBC平面PCD；（II）求直線DE與平面PAC所成角的正弦值；（III）若

14、F為AD的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)M，使得FMBD？若存在，求的值，若不存在，說明理由?！敬鸢浮浚ǎ┮娊馕觯↖I）（III）存在，=【解析】【分析】（I）由面面垂直的性質(zhì)定理得PD底面ABCD，從而可得BC平面PCD，然后可證得面面垂直；（II）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量和直線的方向向量，平面的法向量和直線的方向向量的余弦的絕對(duì)值等于直線與平面所成角的正弦；（III）設(shè)=（01），由求得即可【詳解】（I）平面PAD底面ABCD，又PDAD，PD底面ABCDPDBC又底面ABCD為正方形，BCCDBC平面PCD平面PBC平面PCD，（II）由（I）知，PD底面AB

15、CD，ADCD如圖以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)PD=AD=2，可得D（0，0，0），A（2，0，0，），C（0，2，0），P（0，0，2），由E為棱PC的中點(diǎn)，得E（0，1，1），向量=（-2，2，0），=（2，0，-2），設(shè)=(x,y,z)為平面PAC的法向量，則，即不妨令x=1,可得=（1，1，1）為平面PAC的一個(gè)法向量設(shè)直線DE與平面PAC所成角為所以sin=所以，直線DE與平面PAC所成角的正弦值為（III）向量=（-2，-2，2），=（2，2，0），=（1，2，0）由點(diǎn)M在棱PB上，設(shè)=（01）故=+=（1-2，2-2，2）由FMDB，得=0因此（1-2）2+（2-2）2=0解得=，所以=【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直判定與性質(zhì)，考查直線與平面所成的角，考查立體幾何中的存在性問題解題時(shí)要注意線面間的位置關(guān)系的證明需用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去證明，用求空間的角（異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等）一般用空間向量法求解，這就要求先建立空間直角坐標(biāo)系19.已知橢圓M：=1（abc）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），焦距為2.若直線y=x+m與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B（I）求橢