高中數(shù)學(xué)函數(shù)的基本概念

1、.函數(shù)的基本概念章節(jié)結(jié)構(gòu)圖二、復(fù)習(xí)指導(dǎo)函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終，函數(shù)又是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接內(nèi)容，因此在歷屆高考中都占有很大的比例，成為數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考察的內(nèi)容涉及函數(shù)的概念，定義域、值域，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性，圖象的變換和函數(shù)知識的綜合運(yùn)用等，考察的數(shù)學(xué)思想或方法有函數(shù)與方程、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法和換元法等做好函數(shù)的復(fù)習(xí)將有利于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)按照新課標(biāo)的要求，復(fù)習(xí)中要始終強(qiáng)化函數(shù)的對應(yīng)、運(yùn)動(dòng)變化等本質(zhì)特征，重視對函數(shù)概念的理解；以簡單的函數(shù)為載體，全面復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，再利用函數(shù)的性質(zhì)研究較復(fù)

2、雜的函數(shù)，在復(fù)習(xí)中應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合的訓(xùn)練，關(guān)注函數(shù)與其他知識的聯(lián)系函數(shù)的基本概念（一)函數(shù)的定義1、傳統(tǒng)定義:設(shè)在某一變化過程中有兩個(gè)變量x和y,如果對于某一范圍內(nèi)x的每一個(gè)值,y都有唯一的值和它對應(yīng),那么就說y是x的函數(shù),x叫做自變量,y叫做因變量(函數(shù)).2、現(xiàn)代定義:設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x ,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱 f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y=f(x),xA.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域

3、.3、認(rèn)知:注意到現(xiàn)代定義中“A、B是非空數(shù)集”,因此,今后若求得函數(shù)定義域或值域?yàn)?則此函數(shù)不存在.函數(shù)對應(yīng)關(guān)系、定義域和值域是函數(shù)的三要素,缺一不可.在函數(shù)的三要素中,對應(yīng)關(guān)系是核心,定義域是基礎(chǔ),當(dāng)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則確定之后,其值域也隨之確定.(二).映射的概念將函數(shù)定義中的兩個(gè)集合從非空數(shù)集擴(kuò)展到任意元素的集合,便得到映射概念.1、定義1：設(shè)A、B是兩個(gè)集合,如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中任何一個(gè)元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)(包括集合A、B及集合A到集合B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射,記作 f：AB2、定義2：給定一個(gè)集合A到集合B的映射

4、f：AB,且aA,bB,如果在此映射之下元素a和元素b對應(yīng),則將元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在給定映射下有 f：ab,則b叫做a的象,a叫做b的原象.3、認(rèn)知:映射定義的精髓在于“任一(元素)對應(yīng)唯一(元素)”,即A中任一元素在B中都有唯一的象.在這里,A中元素不可剩,允許B中有剩余；不可“一對多”,允許“多對一”.因此,根據(jù)B中元素有無剩余的情況,映射又可分為“滿射”和“非滿射”兩類.集合A到集合B的映射 f：AB是一個(gè)整體,具有方向性； f：AB 與 f：BA 一般情況下是不同的映射.（三）、函數(shù)的表示法表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法、圖象法和口頭描述法.1

5、、解析法:把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系,用一個(gè)等式來表示,這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式,簡稱解析式.2、列表法:列出表格表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法.運(yùn)用列表法表示的,多是理論或?qū)嶋H生活中偏于實(shí)用的函數(shù).3、圖象法:用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.圖象法直現(xiàn)形象地表示出函數(shù)的變化情況,是數(shù)形結(jié)合的典范.只是它不能精確表示自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系.認(rèn)知:函數(shù)符號的意義在函數(shù)的概念中,我們用符號“y=f(x)”表示“y是x的函數(shù)”這句話.其中,對于運(yùn)用解析法給出的函數(shù)y=f(x),其對應(yīng)法則“f”表示解析式蘊(yùn)含的對自變量x施加的“一套運(yùn)算的法則”,即一套運(yùn)算的框架.具體地,對于函數(shù)f(x)=

6、5 -2x+3(x1) 對應(yīng)法則“f”表示這樣一套運(yùn)算的框架:5() 2（）3，（）即f: 5() -2( )+3,( )1.據(jù)此,我們可分別對函數(shù)值與函數(shù)表達(dá)式作以詮釋和辯析:f(a):對自變量x的取值a實(shí)施上述運(yùn)算后的結(jié)果,故有f(a)=5 -2a+3 (a1);f(x):對自變量x實(shí)施上述運(yùn)算后的結(jié)果,故有f(x)=5 -2x+3 (x1);f(g(x):對函數(shù)g(x)實(shí)施上述運(yùn)算后的結(jié)果,于是有f(g(x)=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)1 ) 感悟:函數(shù)符號意義之下的產(chǎn)物或推論有比較才能有鑒別,有品味才能有感悟.我們仔細(xì)地比較和品味、,不難從中悟出這樣的代換規(guī)律:f(x)的

7、解析式fg(x)的表達(dá)式我們將上述替換形象地稱之為“同位替換”.顯然,同位替換是在函數(shù)符號的意義下產(chǎn)生的函數(shù)特有的替換,它源于“等量替換”，又高于“等量替換”，對于同位替換,在兩式不可能相等的條件下仍可操作實(shí)施,這是“等量替換”所不能比擬的.由f(x)的解析式導(dǎo)出f(x+1)的解析式,便是辯析兩種替換的一個(gè)很好的范例.三、典型例題例1設(shè)A=x:0x2，B=y:2y2則從A到B能構(gòu)成映射的一個(gè)是( )(A)(B)(C)(D)例2試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)(2)f(x)=lgx2，g(x)=2lgx(4)f(x)=x3，g(t)=t3例3已知f：AB，其中A=BR，對應(yīng)法則f:xy=x2+

8、2x()對于實(shí)數(shù)kB，在集合A中存在不同的兩個(gè)原象，求k的取值范圍()若對于實(shí)數(shù)pB，在A中不存在原象，求p的取值范圍例4從集合a，b，c到集合m，n，p可構(gòu)成多少個(gè)映射，其中一一映射有多少個(gè)?例5函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a(aR)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )(A)0(B)1(C)0或1(D)可多于1例 題 解 析例1解：對于選項(xiàng)A，x=0時(shí)沒有意義，即A中的元素0在B中沒有對應(yīng)元素選項(xiàng)B中，2A，但22B，即A中的元素2在B中沒有對應(yīng)元素選項(xiàng)C中，雖然通過在N中都有對應(yīng)元素，但不能保證對應(yīng)元素的唯一性而對于選項(xiàng)D，當(dāng)x0，2時(shí)，保證了A中的每一個(gè)元素在B中都有對應(yīng)元素，同時(shí)通過，對應(yīng)元素又是唯

9、一的，故選D例2解：(1)由于，顯然兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)法則不同，它們不是同一個(gè)函數(shù)(2)兩個(gè)函數(shù)的定義域分別為xRx0，xRx0顯然不同，所以它們不是同一個(gè)函數(shù)(3) 與y=x2的定義域不同，所以它們也不是同一個(gè)函數(shù)(4)y=x3與S=t3不僅定義域相同，而且對應(yīng)法則也相同，所以它們是同一個(gè)函數(shù)小結(jié)：函數(shù)的定義主要包括定義域和定義域到值域的對應(yīng)法則，因此只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全一致時(shí)，它們才是相同的函數(shù)例3解：()令y=k得x22xk=0，此方程有兩個(gè)不同的解，需=(2)24k0，解之得k1()解法一：由y=x22x=(x1)211可知，映射f：xx22x的象的集合為(，1，對于實(shí)數(shù)pB，在A中不存在原象，p(，1，所以p的取值范圍為p1解法二：令y=p，得x22xp=0，此方程沒有實(shí)數(shù)解=(2)24p0，解得p1例4解：按照映射的定義，a，b，c中的每一個(gè)元素，在m，n，p中都有唯一確定的對應(yīng)元素，而a，b，c的每一個(gè)元素在m，n，p中都有3種對應(yīng)方式，所以從集合a，b，c到集合m，n，p可構(gòu)成33=27個(gè)映射對于一一映射，要求a，b，c中的每一個(gè)元素，在m，n，p中都有唯一確定的對應(yīng)元素，并且m，n，p中的每一個(gè)元素在a，b，