與橢圓有關的最值問題

1、與橢圓有關的最值問題圓錐曲線在高考中占很重要的地位，每年必考。對橢圓、雙曲線、拋物線的研究方法基本相同，橢圓 為三曲線之首，對橢圓的學習就更為重要了。而橢圓中的最值問題是比較重要的課題，它主要體現(xiàn)了轉化 思想及數(shù)形結合的應用，涉及到的知識有橢圓定義、標準方程、參數(shù)方程、三角函數(shù)、二次函數(shù)、不等式 等內容。能夠考查學生的分析能力、理解能力、知識遷移能力、解決問題的能力等等。下面介紹幾種常見 的與橢圓有關的最值問題的解決方法。1 定義法2 2例1。P(-2, 3 ),F2為橢圓=1的右焦點，點M在橢圓上移動，求丨MP| + | MF2 |的最大值M1M22516和最小值。分析：欲求丨MP| + |

2、 MF丨的最大值和最小值可轉化為距離差再求。由此想到橢圓第一定義| MF | =2a- | MF | , F 1為橢圓的左焦點。解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 連接 PR 延長 PF1交橢圓于點M1,延長F1P交橢圓于點M2由三角形三邊關系知-| PF |蘭| MP| - | MF |蘭| PR |當且僅當M與M1重合時取右等號、M與M2重合時取左等號。因為2a=10,|PF1| =2所以(|MP|+ | MF |)ma=12,(| MP |+ | MF | )min=82 2Xy結論1：設橢圓二 2 =1的左右焦點分別為F1、F2, P(xo,yo)

3、為橢圓內一點，M(x,y)為橢圓上任意ab一點，則| MP | + | MF |的最大值為 2a+ | PF1 |，最小值為2a- | PR |。例2：2 2P(-2,6),F2為橢圓x y =1的右焦點，點 M在橢圓上移動，求|MP | + | MF |的最大值和2516最小值。分析：點P在橢圓外，PF2交橢圓于M，此點使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 1。解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- | MF |連接PF1并延長交橢圓于點 皿仆則M在M 1處時| MP | - | MF|取最大值| PF1 |。二| MP | + | MF |最大值是

4、10+ , 37，最小值是41。2 2xy結論2:設橢圓一2- =1的左右焦點分別為F1、F2, P(xo,yo)為橢圓外一點，M(x,y)為橢圓上任意一點，ab則| MP | + | MF |的最大值為 2a+ | PF1 |，最小值為 PF?。2. 二次函數(shù)法2 2例3求定點A(a,0)到橢圓務 =1上的點之間的最短距離。a b分析：在橢圓上任取一點，由兩點間距離公式表示|PA |，轉化為x,y的函數(shù)，求最小值。11解：設 P(x,y)為橢圓上任意一點，| PA | 2=(x-a) 2+y2 =(x-a) 2+1-x2= (x_ 2a)2+1d 由橢圓方22程知x的取值范圍是卜.2, ,

5、2 (1) 若丨 a,則 x=2a 時丨 PA | min=1 _a22(2) 若 a ,則 x= . 2 時 I PA| min= I a-2 I2(3) 若 a-二,則 | PA | min= | a+ 2 I22 2結論3：橢圓y- =1上的點M(x,y)到定點A(m,O)或B(O,n)距離的最值問題，可以用兩點間距離公式a2b2表示| MA |或| MB |,通過動點在橢圓上消去y或x,轉化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。3. 三角函數(shù)法2X2例4 :橢圓一-y =1上的點M(x,y)到直線I: x+2y=4的距離記為d,求d的最值4分析：若按例3那樣d=X*2?-4轉化為x或

6、y的函數(shù)就太麻煩了，為了統(tǒng)一變量，可以用橢圓、5的參數(shù)方程，即三角換元d=d=x 2y-42x 2 -2 y =14x = 2c O s令y = sien甘R)2 cost 2sin v-425V5v2 sin(日 +匸)_2當 sin (寸.一)=1 日寸,dmin：44 5 -2 105當 sin (二 )= 1 日寸,dmax=44 52 1052 2結論4:若橢圓務-y- =1上的點到非坐標軸上的定點的距離求最值時，可通過橢圓的參數(shù)方程,a b統(tǒng)一變量轉化為三角函數(shù)求最值。4. 判別式法例4的解決還可以用下面方法把直線平移使其與橢圓相切，有兩種狀態(tài)，一種可求最小值，另一種求最大值。解。令直線 m： x+2y+c=0將x = 2y c代入橢圓方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由 =0解得c= 22 , c=- 2 2時直線m： x+2y- 2. 2 =0與橢圓切于點P則P至憤線I的距離為最小值，且最小值就是兩平行直線m與l的距離,所以dmin =4 -2.105c=2 一 2時直線m： x+2y+2. 2 =0與橢圓切于點Q,則Q到直線I的距離為最大值，且最大值就是兩平行直線m與I的距離，所以dmax= 4 52 10。5結論5:橢圓上的點到定直線I距離的最值問題，可轉化為與I平行的直線m與橢圓相切的問題，利用判 別式求岀直線m方程，再利用平行線間的距離