小學(xué)奧數(shù)―同余問(wèn)題

1、數(shù)論之同余問(wèn)題 余數(shù)問(wèn)題是數(shù)論知識(shí)板塊中另一個(gè)內(nèi)容豐富，題目難度較大的知識(shí)體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)，所以學(xué)好本講對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)非常重要。 許多孩子都接觸過(guò)余數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，并有不少孩子說(shuō)“遇到余數(shù)的問(wèn)題就基本暈菜了！” 余數(shù)問(wèn)題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，和同余定理），及中國(guó)剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。 知識(shí)點(diǎn)撥： 一、帶余除法的定義及性質(zhì)： 一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,若有ab=qr，也就是abqr, 0rb；我們稱(chēng)上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里： r?0時(shí)：我們稱(chēng)a可以被b整除，當(dāng)q稱(chēng)為a除以b的商或完全商 (

2、1)r?0時(shí)：我們稱(chēng)a不可以被b整除，q稱(chēng)為a除以b的商或不完全商(2)當(dāng) 一個(gè)完美的帶余除法講解模型: 就可以理解為被除數(shù)，a如圖，這是一堆書(shū)，共有a本，這個(gè)就是除數(shù)的角色，經(jīng)過(guò)打包后b現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么就是dd本，這個(gè)共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余 余數(shù)。 個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4 二、三大余數(shù)定理： 1.余數(shù)的加法定理 c的余數(shù)。分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以ca與b的和除以的余數(shù)，等于a,b 的余數(shù)等除以53的余數(shù)分別是和1，所以23+16=3916例如：23，除以53+1. 4，即兩個(gè)余數(shù)的和于

3、 c的余數(shù)。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以的余數(shù)，5除以的余數(shù)等于除以故4351923例如：，除以的余數(shù)分別是和，23+19=4253+4=728 / 1 即2. 2.余數(shù)的乘法定理 a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。 例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以2316除以5的余數(shù)等于31=3。 當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。 例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以2319除以5的余數(shù)等于34除以5的余數(shù)，即2. 3.同余定理 若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱(chēng)a、b

4、對(duì)于模m同余，用式子表示為：ab ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。 同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論： 若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除 用式子表示為：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整數(shù)，即m|(ab) 三、棄九法原理： 在公元前9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫(xiě)有一本花拉子米算術(shù)，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的： 1234?1898?18922?678967?178902?889

5、923 例如：檢驗(yàn)算式1234除以9的余數(shù)為1 1898除以9的余數(shù)為8 18922除以9的余數(shù)為4 678967除以9的余數(shù)為7 178902除以9的余數(shù)為0 這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2 28 / 2 而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。 上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。 而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去，所

6、以這種方法被稱(chēng)作“棄九法”。 所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。 以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。 利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用 注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。 例如：檢驗(yàn)算式9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯(cuò)誤的 但是反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿(mǎn)足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問(wèn)題。 四、中國(guó)剩余定理： 1.中

7、國(guó)古代趣題： 中國(guó)數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)里有這樣的問(wèn)題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何？”答曰：“二十三。” 此類(lèi)問(wèn)題我們可以稱(chēng)為“物不知其數(shù)”類(lèi)型，又被稱(chēng)為“韓信點(diǎn)兵”。 韓信點(diǎn)兵又稱(chēng)為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問(wèn)大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說(shuō)，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。劉邦茫然而不知其數(shù)。 我們先考慮下列的問(wèn)題：假設(shè)兵不滿(mǎn)一萬(wàn)，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？ 28 / 3 首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故

8、其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3，得9948（人）。 孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過(guò)根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之后，以這個(gè)考證來(lái)說(shuō)上面這種問(wèn)題的解法，中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問(wèn)題的推廣及其解法，被稱(chēng)為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。 2.核心思想和方法： 對(duì)于這一類(lèi)問(wèn)題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以孫子算經(jīng)中的問(wèn)題為例，分析此方法: 今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何？ 題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除

9、以3，5，7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2，3，2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的公倍數(shù)。 5?7?35，即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看先由535?2?70是否可以，很顯然707的“下一個(gè)”倍數(shù)除以3余1 和類(lèi)似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1，同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。 最后再構(gòu)造除以7余1，同時(shí)又是3，5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算： 2?70?3?21?2?45?k3,5,7?233?k3,5,7，其中k是從1開(kāi)始的自然數(shù)。 也就是說(shuō)滿(mǎn)足上述關(guān)系的數(shù)有無(wú)窮多，如果根據(jù)實(shí)

10、際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。 例如對(duì)上面的問(wèn)題加上限制條件“滿(mǎn)足上面條件最小的自然數(shù)”， 2?70?3?21?2?45?2?3,5,7?23得到所求 那么我們可以計(jì)算如果加上限制條件“滿(mǎn)足上面條件最小的三位自然數(shù)”, 我們只要對(duì)最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128。 28 / 4 例題精講： 【模塊一：帶余除法的定義和性質(zhì)】 【例 1】 (第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)競(jìng)賽決賽)用某自然數(shù)去除，得到商是46，余數(shù)是，求和 1992aarr【解析】 因?yàn)槭堑谋哆€多,得到，得，所以， 14?r43a1992?46?199243?4614?1992?46?43.14ra【鞏

11、固】 (清華附中小升初分班考試)甲、乙兩數(shù)的和是，甲數(shù)除以乙數(shù)商余，求甲、乙兩數(shù) 11321088【解析】 (法1)因?yàn)?甲乙，所以 甲乙乙乙乙； 1088?12?11?32?11?32?32?則乙，甲乙 1000088?188 32)?12?(1088?(法2)將余數(shù)先去掉變成整除性問(wèn)題，利用倍數(shù)關(guān)系來(lái)做：從中減掉以后，就應(yīng)當(dāng)1056108832是乙數(shù)的倍，所以得到乙數(shù)，甲數(shù) 1000?88?12?881088?10561)(11?【鞏固】 一個(gè)兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)。 【解析】 本題為余數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，就是把余數(shù)問(wèn)題-即“不整除問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為

12、整除問(wèn)題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個(gè)“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)。 本題中310-37=273，說(shuō)明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3713，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿(mǎn)足比37大，符合條件的有39，91. 【例 2】 (年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是，余數(shù)是，已知被除數(shù)、13172003除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)是多少？ 2113【解析】 被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113，所以被除數(shù)除數(shù)=2083，由于被除?數(shù)是除數(shù)的17倍還多13，則由“和倍問(wèn)題”可得：除數(shù)=（2083-13）（17+1）=115

13、，所以被除數(shù)=2083-115=1968 【鞏固】 用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為40，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933，求這2個(gè)自然數(shù)各是多少？ 【解析】 本題為帶余除法定義式的基本題型。根據(jù)題意設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分別為x,y，可以得到 x?40y?16x?856?,解方程組得，即這兩個(gè)自然數(shù)分別是856，21. ?x?y?40?16?933y?21? 【例 3】 (2000年“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)三個(gè)不同的自然數(shù)的和為2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三個(gè)數(shù)是_，_，_。 28 / 5 【解析】 設(shè)所得的商為，除數(shù)為，由，19?b

14、?3b?b200173a2001)?(31a?b)(19a?b?(23a?b)a可求得，所以，這三個(gè)數(shù)分別是，。 847b?31a?b?523?23a?ba?27b?1063119a? 【鞏固】 (2004年福州市“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)一個(gè)自然數(shù)，除以11時(shí)所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時(shí)所得到的商是余數(shù)的3倍，這個(gè)自然數(shù)是_ 【解析】 設(shè)這個(gè)自然數(shù)除以11余，除以9余，則有，即，b?739?3b?bba11a?a9)(0?b?(0?a?11)a12?7?84。 只有，所以這個(gè)自然數(shù)為37?b?a 【例 4】 (1997年我愛(ài)數(shù)學(xué)少年數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題)有48本書(shū)分給兩組小朋友，已知第二組

15、比第一組多5人如果把書(shū)全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書(shū)不夠如果把書(shū)全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書(shū)不夠問(wèn)：第二組有多少人? 【解析】 由，知，一組是10或11人同理可知，知，二組是12?5?9.63?1644848?48?412?48?13、14或15人，因?yàn)槎M比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人 【鞏固】 一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，除以11所得的余數(shù)是6，求這個(gè)兩位數(shù) 【解析】 因?yàn)橐粋€(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，所以這個(gè)兩位數(shù)一定大于，并且小于；786?13?91?(6?1)13?又因?yàn)檫@個(gè)兩位數(shù)除以11余6，而78除以11余1，這個(gè)兩位數(shù)為 8

16、35?78? 【模塊二：三大余數(shù)定理的應(yīng)用】 【例 5】 有一個(gè)大于1的整數(shù)，除所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù). 45,59,101【解析】 這個(gè)題沒(méi)有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說(shuō)它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，的約數(shù)有，所以這個(gè)數(shù)可1414?45?10145?5659,2,7,14114?(56,14)能為。 2,7,14 【鞏固】 有一個(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3，求這個(gè)數(shù). 28 / 6 【解析】 (法1) ，12的約數(shù)是，因?yàn)橛鄶?shù)為3要小144147?363?39?

17、3,2,3,4,6,12112(36,144)?于除數(shù)，這個(gè)數(shù)是； 4,6,12(法2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說(shuō)它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)，所以這個(gè)數(shù)是 10839?39?12?147?514,6,1212(12,108)? 【鞏固】 在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?(余數(shù)可以為0) 【解析】 我們知道18，33的最小公倍數(shù)為18，33=198，所以每198個(gè)數(shù)一次 1198之間只有1，2，3，17，198(余O)這18個(gè)數(shù)除以18及33所得的余數(shù)相同， 而999198=59，所以共有518+9=99個(gè)這樣的數(shù)

18、 【鞏固】 (2008年仁華考題)一個(gè)三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與余數(shù)的和那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？ 【解析】 設(shè)這個(gè)三位數(shù)為，它除以17和19的商分別為和，余數(shù)分別為和，則bnams nb?a?m?19s?17?n?b?ss?a?m，即，得所以根據(jù)題意可知，所以是9b8a?18?mb?n16a?b9a?a81的倍數(shù)，是8的倍數(shù)此時(shí)，由知nb?ab?m? a?a?a?n?ma?b? 99由于為三位數(shù)，最小為100，最大為999，所以，而， 16m1?a?m?999?100?17s所以，得到，而是9的倍數(shù)，所以58

19、16a5?100?17a?m?17a?999?17a1?17a?m?aa最小為9，最大為54 1當(dāng)時(shí)，54?a，而，所以，故此時(shí)最大為； 930?18?54m?12?1217ns6m?a?n 91當(dāng)時(shí)，9a?，由于，所以此時(shí)最小為 154?11?17?9m?s1a?n?m? 9所以這樣的三位數(shù)中最大的是930，最小的是154 baab ，求都余】 1兩位自然數(shù)，并且與 除以7【例 6ba?abba?ab 那么，能被 即7整除所以只能有【解析】能被7整除，7?abbaab?（10?ba(10?)b?a)?9?（a?b） 28 / 7 可能為92和81，驗(yàn)算可得當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題目要求， 2668?92

20、?29?29 ?ab?ab?92baba 【鞏固】 學(xué)校新買(mǎi)來(lái)118個(gè)乒乓球，67個(gè)乒乓球拍和33個(gè)乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個(gè)班級(jí)，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同請(qǐng)問(wèn)學(xué)校共有多少個(gè)班？ 【解析】 所求班級(jí)數(shù)是除以余數(shù)相同的數(shù)那么可知該數(shù)應(yīng)該為和 118,67,3334?67?118?67?5133的公約數(shù)，所求答案為17 【鞏固】 (2000年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)在除13511，13903及14589時(shí)能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是_ 13903?13511?39214589?13903?686， 因?yàn)? 【解析】 由于13511，13903，14589要被同一個(gè)數(shù)除時(shí)，余數(shù)相同，那

21、么，它們兩兩之差必能被同一個(gè)(392,686)?98，所以所求的最大整數(shù)是98數(shù)整除 22003的和除以7的余數(shù)是_與 【例 7】 (2003年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)試題) 20032【解析】 找規(guī)律用7除2，23456，的余數(shù)分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，,222222的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，用7除的余數(shù)為1；2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)，用7除的余數(shù)為2；2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多2時(shí)，用7除的余數(shù)為4因?yàn)?0033?667?22003除以7余4又兩，所以2?22個(gè)數(shù)的積除以7的余數(shù)，與兩個(gè)數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同而2003除以7余1，所以22003除以7余1故22003的和除以7的余

22、數(shù)是與 200351?4?2 【鞏固】 (2004年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)試題)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中幾個(gè)數(shù)的和被9除余7，則將這幾個(gè)數(shù)歸為一組這樣的數(shù)組共有_組 【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余數(shù)依次是6，0，2，3，5 因?yàn)椋?9?6?75?0?2?3?3022?5?5?72?5?6?2003,20002003,20001998 ， ，4所以這樣的數(shù)組共有下面?zhèn)€：?19952001,200320001998,2000200320011995,， 28 / 8 【例 8】 (2005年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)有一個(gè)

23、整數(shù)，用它去除70，110，160所得到的3個(gè)余數(shù)之和是50，那么這個(gè)整數(shù)是_ 【解析】 ，除數(shù)應(yīng)當(dāng)是290的大于17小于70的約數(shù)，只可能16.2?350290?(70110?160)?5052?50，所以除數(shù)不是，58 是29和58，1.52?5811012?23?15?50，所以除數(shù)是， ，295.152970?29?2.12?11029?3.23?160? 【鞏固】 (2002年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)用自然數(shù)n去除63，91，129得到的三個(gè)余數(shù)之和為 25，那么n=_ 63?91?129?25?258因?yàn)椋詎【解析】 n能整除是258大于8的約數(shù)顯然，n8.13?25?不 能

24、大于63符合條件的只有43 【鞏固】 號(hào)碼分別為101,126,173,193的4個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽,規(guī)定每?jī)扇吮荣惖谋P(pán)數(shù)是他們號(hào)碼的和被3除所得的余數(shù).那么打球盤(pán)數(shù)最多的運(yùn)動(dòng)員打了多少盤(pán)? 【解析】 本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理的巧用。計(jì)算101，126，173，193除以3的余數(shù)分別為2，0，2，1。那么任意兩名運(yùn)動(dòng)員的比賽盤(pán)數(shù)只需要用2，0，2，1兩兩相加除以3即可。顯然126運(yùn)動(dòng)員打5盤(pán)是最多的。 【例 9】 (2002年小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)六名小學(xué)生分別帶著14元、17元、18元、21元、26元、37元錢(qián)，一起到新華書(shū)店購(gòu)買(mǎi)成語(yǔ)大詞典一看定價(jià)才發(fā)現(xiàn)有5個(gè)人帶的錢(qián)不夠，但是其

25、中甲、乙、丙3人的錢(qián)湊在一起恰好可買(mǎi)2本，丁、戊2人的錢(qián)湊在一起恰好可買(mǎi)1本這種成語(yǔ)大詞典的定價(jià)是_元 【解析】 六名小學(xué)生共帶錢(qián)133元133除以3余1，因?yàn)榧?、乙、丙、丁、戊的錢(qián)恰好能買(mǎi)3本，所以他們五人帶的錢(qián)數(shù)是3的倍數(shù)，另一人帶的錢(qián)除以3余1易知，這個(gè)錢(qián)數(shù)只能是37元，所以每本成語(yǔ)大詞典的定價(jià)是 (元) 3226)211817(14?3? 28 / 9 【鞏固】 (2000年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)商店里有六箱貨物，分別重15，16，18，19，20，31千克，兩個(gè)顧客買(mǎi)走了其中的五箱已知一個(gè)顧客買(mǎi)的貨物重量是另一個(gè)顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是_千克 【解析】 兩個(gè)顧客買(mǎi)

26、的貨物重量是的倍數(shù) 3，剩下的一箱貨物重量除以3應(yīng)當(dāng)余2，只能39.22)?119?3?18?19?20?31)?(1?(1516是20 千克 【例 10】 求的余數(shù) 11?6047?2461?135【解析】 因?yàn)?，根?jù)同余定理(三)， 549.812.3?6047?112461?11?223.811135?的余數(shù)等于的余數(shù)，而， 1928?8?38?3?8?11?2461?135?6047?11，所以的余數(shù)為5 11?11?17.560472461?135192 【鞏固】 (華羅庚金杯賽模擬試題)求除以17的余數(shù) 351?296478【解析】 先求出乘積再求余數(shù)，計(jì)算量較大可先分別計(jì)算出各因

27、數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除 以17的余數(shù)除以17的余數(shù)分別為2，7和11， 478,296,3519.1?11)?17(2?7? 【鞏固】 求1997的最后兩位數(shù) 3【解析】 即考慮199739除以25余8余2，所以， 除以100的余數(shù)由于，由于除以253?2733254?100102022020能1；即除以4余余1；又因?yàn)橛喑?1，則除以25余24，那么25除以1?33333被4 和25整除，而4與25互質(zhì)，所以2020除以100余1，由于 能被100整除，即3?316171997除以100100除以100的余數(shù)即等于的余數(shù)，而除以，所以33729?317?20?99?1997余29

28、，176255173)3?(3除以100，所以余除以10043，的余數(shù)等于除以3243?343?2929100的余數(shù)，而除以100余63，所以36163?2929?4319971997的最后兩，即63除以100余33位數(shù)為63 28 / 10 【鞏固】 222?2除以13所得余數(shù)是_. ?2000個(gè)2【解析】 我們發(fā)現(xiàn)222222整除13，20006余2，所以答案為2213余9。 【鞏固】 求89除以7的余數(shù) 143【解析】 法一： ? (143被7由于除余3)， 7mod143?3?所以89898989被7除所得余數(shù)與除所得余數(shù)相等 () 被773143mod?3143 而?6（729除以7

29、的余數(shù)為1）， ，7mod729?17293? 所以8966655?mod7?3?L3?33?33?5?434421414個(gè)故89除以7的余數(shù)為5. 143 法二： 計(jì)算89被7除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表： 3 L 76234513333333 L 35mod736 142 ?為周期變化所以 于是余數(shù)以6589 7?3mod?53 【鞏固】 （2007年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題）2222除以7的余數(shù)是多少？ 2002?L1?2?32001?2002?2003?4005于由【解析】 22222，而1001是7的倍13352003?1?23?1001?L?20012002? 6數(shù)，所以這個(gè)乘積

30、也是7的倍數(shù)，故22222除以7的余數(shù)是0； 2002?20011?2?3L? ? 鞏固】【3130 被除所得的余數(shù)是多少？3031?13L，1813除所得余數(shù)分別是5，12，當(dāng)被【解析】 3113除所得的余數(shù)為5n取12，3被時(shí)5nL為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以，14以85，12，230，12除的余數(shù)相同，余被13除的余數(shù)與被1355則30 ；的余數(shù)為除以13123128 / 11 L時(shí)，被13除所得的余數(shù)分別是4，3，3，12，430被13除所得的余數(shù)是，當(dāng)n取1，2，4nLL以，6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以，312，9，109，10，1，4，311被除所得的余數(shù)等于被134413除所得的余數(shù)，即4，故

31、31除以13的余數(shù)為4； 30?所以3130 13除所得的余數(shù)是被30?313?12?4?13 已知2008年奧數(shù)網(wǎng)杯)鞏固】 (【 13所得的余數(shù)是多少？，問(wèn)：除以2008?20082008Laa34414442420082008個(gè)【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到； 200810000?20082008?2008?； 200810000?200820082008?20082008?； 200810000?2008200820082008?200820082008?LL 根據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律： 20082008除以13余，2除以13余，即2是13的

32、倍數(shù) 0?1136?3?6?13?11?6?39?而除以3余1，所以除以13的余數(shù)與除以13的余數(shù)相同，為6. 20082008200820082008L?a3442414442008個(gè)2008 【鞏固】 除以41的余數(shù)是多少？77777?142431996個(gè)7【解析】 找規(guī)律：， 28?7777?41777?41?39?7?41?7?77?41?36可以，所以77777是41的倍數(shù)，而，所以1399?0L?5?199677777?41?77777?142431996個(gè)7分成399段77777和1個(gè)7組成，那么它除以41的余數(shù)為7 【鞏固】 12342005除以10所得的余數(shù)為多少？ 2005

33、2L?3?4?1L?【解析】 求結(jié)果除以10的余數(shù)即求其個(gè)位數(shù)字從1到2005這2005個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是10個(gè)一循環(huán)的，而對(duì)一個(gè)數(shù)的冪方的個(gè)位數(shù)，我們知道它總是4個(gè)一循環(huán)的，因此把所有加數(shù)的個(gè)位數(shù)按每20個(gè)(20是4和10的最小公倍數(shù))一組，則不同組中對(duì)應(yīng)的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是一樣的 首先計(jì)算12342020LL?421?3?的個(gè)位數(shù)字， 28 / 12 為的個(gè)位數(shù)字，為4， 940?7?4?9?39?0?1?6?6?5?651?4?7?6?6?3?6?由于2005個(gè)加數(shù)共可分成100組另5個(gè)數(shù)，100組的個(gè)位數(shù)字和是的個(gè)位數(shù)即0，400?100?4另外5個(gè)數(shù)為2001200220032004200

34、5，它們和的個(gè)、位數(shù)、字、是、20052003200220012004的個(gè)位數(shù) 3，所以原式的個(gè)位數(shù)字是3，即除以10的余數(shù)是3 231?4?7?6?5? 22也是質(zhì)數(shù)，使得 與 11】 求所有的質(zhì)數(shù)P【例1p?1?64p【解析】 如果，則5?p22都是質(zhì)數(shù)，所以5符合題意如果P不等于，5，那么P151?p1?1?1014p6除以5的余數(shù)為1、2、3或者4，22222除以5、或者、的余數(shù)，除以5的余數(shù)即等于p3421即1、4、9或者16除以5的余數(shù)，只有1和4兩種情況如果22那么1，除以5的余數(shù)為?pp14除以5的余數(shù)等于除以5的余數(shù)，為0，即此時(shí)51?4?1?22大于5，被5整除，而1?1p

35、p?44所以此時(shí)222不是質(zhì)數(shù)，所以P不等的余數(shù)為4不是質(zhì)數(shù)；如果，同理可知除以51p4p1?p6于5，22至少有一個(gè)不是質(zhì)數(shù)，所以只有滿(mǎn)足條件與 1?1?6p4p5p? 【鞏固】 在圖表的第二行中，恰好填上這十個(gè)數(shù)，使得每一豎列上下兩個(gè)因數(shù)的乘積除以11所9889得的余數(shù)都是3 9897 95 96 91 92 93 94 90因數(shù) 89 因數(shù) 的余數(shù)，等于因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的乘積除以11 【解析】 11的余數(shù)之積因此原題中的兩個(gè)數(shù)分別除以9889 3就容易計(jì)算了我們得到下面的結(jié)果：，這樣上下兩數(shù)的乘積除以11余可以改換為101 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因數(shù)3 7

36、 1 9 5 6 2 10 4 8 進(jìn)而得到本題的答案是： 因數(shù) 9291 9089 96 95 9493 9897 因 數(shù) 94 93 89 95 919792 98 9096 因28 / 13 數(shù) 在， 個(gè)三位數(shù)乘積的算式 (其中) (2000年“華杯賽”試題)3【鞏固】c?a?b234235286cab?abc?bca? 是6是正確的，問(wèn)原式中的校對(duì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是知道最后一位abc 多少？，由于【解析】 8(mod9)?8?63?5?2?2234235286?2?3?4? 3 ，(mod9)?c)cab?(a?bbcaabc?于是3) (用代入上式檢驗(yàn)，從而8(

37、mod9)c)?(a?b?,2,.,8(mod9)0,1a?b?c? (1)，對(duì)進(jìn)行討論：2,5,8(mod9)?c?a?ba，的個(gè)位數(shù)字為4的個(gè)位數(shù)字是，又6，所以如果，那么(2)c?c?ab?a9?b2,5,8(mod9)?b?c有驗(yàn)只(2)，經(jīng)檢，、其中只有符合能可為(4,1),(8,3)?(b,c)43?7?c268?b?14? 符合題意328245326?398983?839、7，則可能為那么(3)，又的個(gè)位數(shù)字為2或如果，1?23b?ca?84?b?c3,6,0(mod9)b?c 不合題意符合(3)，經(jīng)檢驗(yàn)，、，其中只有821abc?(2,1)?(b,c1?27?6?76 (4)的

38、，則可能為、，其中沒(méi)有符合(4)如果，那么24?37c6?b?a?4,7,1(mod9)b?c?)(b,c，因此，如果，那么4c?5a?6?b222334586?500210000000?abc?bca?cab?700?600 是本題唯一的解這時(shí)不可能符合題意綜上所述，983?abcabc ，則這個(gè)自然數(shù)是多少？290，235，200時(shí)，得余數(shù)分別為】【例 12 一個(gè)大于1的數(shù)去除5aa?2aa ），233195時(shí)，得到相同的余數(shù)（都為【解析】 根據(jù)題意可知，這個(gè)自然數(shù)去除290那么這個(gè)既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個(gè)數(shù)肯定余057因?yàn)?8的公約數(shù),因此就是的約

39、數(shù)，自然數(shù)是又是的約數(shù)，57和38233?290233?57195 19，所以這個(gè)自然數(shù)是的公約數(shù)只有19和1，而這個(gè)數(shù)大于1和38 后所得的余164、后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除22010】【鞏固 一個(gè)大于的自然數(shù)去除90 數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是多少？后所得的余164個(gè)自然數(shù)去除90、后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除這【解析】 25416490?28 / 14 數(shù)，所以254和220除以這個(gè)自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個(gè)自然數(shù)是的約34?254?220數(shù)，又大于10，這個(gè)自然數(shù)只能是17或者是34如果這個(gè)數(shù)是34，那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是22、28、16

40、，不符合題目條件；如果這個(gè)數(shù)是17，那么他去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是5、11、16，符合題目條件，所以這個(gè)自然數(shù)是17 【例 13】 甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393某數(shù)除甲數(shù)所得余數(shù)是除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，AAA除乙數(shù)所得余數(shù)是除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍求等于多少？ AA【解析】 根據(jù)題意，這三個(gè)數(shù)除以都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來(lái)： A rLKL393?A939?A?KLLrL603?A?KLr?322131由于，要消去余數(shù), , ,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減 rr2rrr?2r?r3312221這樣我們先把第二個(gè)式子乘以2，使得被除數(shù)和余

41、數(shù)都擴(kuò)大2倍，同理，第三個(gè)式子乘以4 于是我們可以得到下面的式子：? r2KL?2L?A?2939rLKL603?A?2211?這樣余數(shù)就處理成相同的最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被整除 r?2KLL?39344?AA33?51?31275,969?17， 969?6031275?393?4603939?2?51的約數(shù)有1、3、17、51，其中1、3顯然不滿(mǎn)足，檢驗(yàn)17和51可知17滿(mǎn)足，所以等于A17 【鞏固】 一個(gè)自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是、，求這個(gè)自然數(shù)和的值. a2a?5aa?，的數(shù)：、，這樣【解析】 將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為8482429?5?1000?

42、7912a2500這些數(shù)被這個(gè)自然數(shù)除所得的余數(shù)都是，故同余. a2將這三個(gè)數(shù)相減，得到、，所求的自然數(shù)一定是和的公約數(shù)，15215257?791?57?1000848?848?，所以這個(gè)自然數(shù)是的約數(shù)，顯然1是不符合條件的，那么只能是而19.經(jīng)過(guò)驗(yàn)1957,152?1911、，時(shí)成立,所、時(shí)，除證，當(dāng)這個(gè)自然數(shù)是、所得的余數(shù)分別為1266?a19429791500以這個(gè)自然數(shù)是，. 619?a 【模塊三：余數(shù)綜合應(yīng)用】 28 / 15 【例 14】 著名的裴波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2008個(gè)數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？ 【解析】 斐波那契數(shù)列的構(gòu)成規(guī)

43、則是從第三個(gè)數(shù)起每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，由此可以根據(jù)余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被3除所得余數(shù)的數(shù)列： 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0 第九項(xiàng)和第十項(xiàng)連續(xù)兩個(gè)是1，與第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的值相同且位置連續(xù)，所以裴波那契數(shù)列被3除的余數(shù)每8個(gè)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由于2008除以8的余數(shù)為0，所以第2008項(xiàng)被3除所得的余數(shù)為第8項(xiàng)被3除所得的余數(shù)，為0. 【鞏固】 （2009年走美初賽六年級(jí)）有一串?dāng)?shù)：1，1，2，3，5，8，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)之和，在這串?dāng)?shù)的前2009個(gè)數(shù)中，有幾個(gè)是5的倍數(shù)？ 【解析】 由于兩個(gè)數(shù)的和除以5的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)之和再除以

44、5的余數(shù) 所以這串?dāng)?shù)除以5的余數(shù)分別為：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以發(fā)現(xiàn)這串余數(shù)中，每20個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)中，每5個(gè)數(shù)中第五個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)由于，所以前2009個(gè)數(shù)中，有401個(gè)是54L52009?401的倍數(shù) 【例 15】 (圣彼得堡數(shù)學(xué)奧林匹克試題)托瑪想了一個(gè)正整數(shù)，并且求出了它分別除以3、6和9的余數(shù)現(xiàn)知這三余數(shù)的和是15試求該數(shù)除以18的余數(shù) 2?5?8?15，所以這三個(gè)余數(shù)的和永遠(yuǎn)不超過(guò) 53除以、6和9的余數(shù)分別不超過(guò)2，8【解析】 既然它們的和等于15，所以這三個(gè)余數(shù)分別就是2，5，8所以該數(shù)加

45、1后能被3，6，9整除，而，設(shè)該數(shù)為，則，即（為非零自然數(shù)），所以它除1ma?18?173,6,9?18(m1)?18a?ma以18的余數(shù)只能為17 【鞏固】 (2005年香港圣公會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)一個(gè)家庭，有父、母、兄、妹四人，他們?nèi)我馊说臍q數(shù)之和都是3的整數(shù)倍，每人的歲數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)，四人歲數(shù)之和是100，父親歲數(shù)最大，問(wèn)：母親是多少歲? 28 / 16 【解析】 從任意三人歲數(shù)之和是3的倍數(shù)，100除以3余1，就知四個(gè)歲數(shù)都是型的數(shù)，又是質(zhì)數(shù)只1?3k有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43歲，母37歲，兄13歲， 歲妹7 小明像玩跳棋)，(不到100個(gè) 16】 (

46、華杯賽試題)如圖，在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔【例A孔出發(fā)沿著逆時(shí)針?lè)较?，每隔幾孔跳一步，希望一圈以后能跳回那樣，從BA孔孔跳一步，結(jié)果只能跳到B孔他又試著每隔4到A孔他先試著每隔2孔，你知道這個(gè)圓圈上共有孔最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A跳一步，也只能跳到B? 多少個(gè)孔嗎 設(shè)想圓圈上的孔已按下面方式編了號(hào)：A孔編號(hào)為1，然后沿逆時(shí)針?lè)较蝽槾尉幪?hào)【解析】 ，B孔的編號(hào)就是圓圈上的孔數(shù)，3，4，為2上，也就是，4，7，10?我們先看每隔2孔跳一步時(shí)，小明跳在哪些孔上很容易看出應(yīng)在1的倍孔，因此總孔數(shù)是3小明跳到的孔上的編號(hào)是3的倍數(shù)加1按題意，小明最后跳到B說(shuō)， 數(shù)加1 同樣道理，每隔4孔跳一步最后

47、跳到B孔，就意味著總孔數(shù)是5的倍數(shù)加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味著總孔數(shù)是7的倍數(shù) 如果將孔數(shù)減1，那么得數(shù)既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，因而是15的倍數(shù)這個(gè)15的倍數(shù)加上1 就等于孔數(shù)，設(shè)孔數(shù)為，則（為非零自然數(shù)）而且能被7整除注意15被71?15ma?ama除余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除我們還可以看出，15的其他(小615?于的7)倍數(shù)加1都不能被7整除，而已經(jīng)大于1007以上的倍數(shù)都不必考慮，因此，105?7?15總孔數(shù)只能是 91?115?6? 【鞏固】 (1997年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)將依次寫(xiě)到第1997個(gè)數(shù)字，組成一123456789101112

48、13.個(gè)1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是 _ 【解析】 本題第一步是要求出第1997個(gè)數(shù)字是什么，再對(duì)數(shù)字求和 共有9個(gè)數(shù)字，共有90個(gè)兩位數(shù)，共有數(shù)字： (個(gè)), 共900999919910290?10018028 / 17 個(gè)三位數(shù)，共有數(shù)字： (個(gè)),所以數(shù)連續(xù)寫(xiě)，不會(huì)寫(xiě)到999,從100開(kāi)始是3位數(shù)，27003?900?每三個(gè)數(shù)字表示一個(gè)數(shù)，即有602個(gè)三位數(shù)，第603個(gè)三位數(shù)只602.2?(1997?9?180)?3寫(xiě)了它的百位和十位從100開(kāi)始的第602個(gè)三位數(shù)是701，第603個(gè)三位數(shù)是9，其中2未寫(xiě)出來(lái)因?yàn)檫B續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和能被9整除，所以排列起來(lái)的9個(gè)自然數(shù)也能被9整除，

49、702個(gè)數(shù)能分成的組數(shù)是： (組)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫(xiě)出78?702?9來(lái)，所以余數(shù)為 7 9-2?222被除所得的余數(shù)各不相同，】 設(shè)是質(zhì)數(shù)，證明： ，【例 1712n2n?1?n21【解析】 假設(shè)有兩個(gè)數(shù)、，()，它們的平方n?a?1?bba22被除余數(shù)相同那么，由， ba1n?2同余定理得22，即，由于是質(zhì)數(shù)，所以1)b?0(mod(2an?1)n?b)?0(mod(2(a?b)(a1?2n由于，可知，或，均小于且大于0，1)?0(mod(2n?1)na?b?0(mod(2a?b?a?b1?ba?b2n?a與互質(zhì)，也與互質(zhì)，即，都不能被整除，產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)

50、1nb?12a?b12n?a?ba2n?不成立，原題得證 【鞏固】 試求不大于100，且使374nn能被11整除的所有自然數(shù)n的和 ?【解析】 通過(guò)逐次計(jì)算，可以求出被11除的余數(shù)， 3n依次為：12345為1，5， ，為3為為9，4為33333因而被11除的余數(shù)5個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，；類(lèi)似地， 3n可以求出被11除的余數(shù)10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，； 7n于是374nn被11除的余數(shù)也是10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，； ?這就表明，每一個(gè)周期中，只有第3、4、6個(gè)這三個(gè)數(shù)滿(mǎn)足題意， 即時(shí)374

51、3,4,6,13,14,16,.,93,94,96n?nn能被11整除，所以， ?所有滿(mǎn)足條件的自然數(shù)n的和為： 1480?283.4313969493.161413643? 28 / 18 【鞏固】 若為自然數(shù)，證明a 20051949 )(aa?10【解析】 ，由于5?210 2005194919492005 與的奇偶性相同，所以)?aa2(aa19495656194920051949 ；如果不能被5整除，如果能被5整除，那么那么1)(a5a?1)(aa?aa?aaa被5除的余數(shù)為1、2、3或者4，44444被5除的余數(shù)，即為5除的余數(shù)為、1、被3a41216、81、256被5除的余數(shù)，而

52、這四個(gè)數(shù)除以5均余1，所以不管為多少，a4被5除的余數(shù)a為1，而5641445656能被5，則均余個(gè)1相乘，所以整除，有除以5，即14)aa?(1?aaa 56194920051949所以 1)?(a5a)?5(aa 由于2與5互質(zhì)，所以 20051949 )?10(aa n，k被7除余數(shù)為2，k被11 設(shè)n為正整數(shù)，除余數(shù)為3，求n的最小值 】【例 182004k?【解析】 2004被7除余數(shù)為2，被11除余數(shù)也為2，所以被7除余數(shù)為2，被11除余數(shù)為3 2n由于31被7除余1，所以n除以3被7除余2，而的余數(shù)為1； 8?22?2由于810被11除余1，所以n除以除余3，10的余數(shù)為8 被1

53、1102422256?，所以n的最小值為28 可見(jiàn)是3和10的公倍數(shù)，最小為303,10?2?n 【鞏固】 有三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中最小的能被15整除，中間的能被17整除，最大的能被19整除，請(qǐng)寫(xiě)出一組這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù) 【解析】 設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè)為n，則其余兩個(gè)自然數(shù)分別為， 2n?n?1?2|?n?1n1917|，根據(jù)整除的性質(zhì)對(duì)這三個(gè)算式進(jìn)行變換：， 依題意可知：，n|15?15?2n?15|n|15n?15|2? ?1515,17,19|?|22n?1517|nn?1?17|22n?17?1524n?19|19|n?2?19|2n?從上面可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)為15、17、19的公倍數(shù)

54、 15?2n?1k?4845?22n?15 (因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以由于)，可得 2415k?n?4845152n?4845?15,17,19當(dāng)時(shí)，所以其中的一組自然數(shù)為2430、2431、2432 2432?k1n2430n12431n2? 28 / 19 【例 19】 (2008年西城實(shí)驗(yàn)考題)從1，2，3，n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，則n的最大值為多少？ 【解析】 被13除的同余序列當(dāng)中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66，其中只要取到兩個(gè)相鄰的，這兩個(gè)數(shù)的差為13；如果沒(méi)有兩個(gè)相鄰的數(shù)，則沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的差為13，不同的同余x?序列當(dāng)中不可能有兩個(gè)數(shù)的差

55、為13，對(duì)于任意一條長(zhǎng)度為x的序列，都最多能取個(gè)數(shù)，?x? 2?使得取出的數(shù)中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的差為13，即從第1個(gè)數(shù)起隔1個(gè)取1個(gè) nn?基于以上，n個(gè)數(shù)分成13個(gè)序列，每條序列的長(zhǎng)度為或，兩個(gè)長(zhǎng)度差為1的序列，1? 1313?要使取出的數(shù)中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的差為13，能夠被取得的數(shù)的個(gè)數(shù)之差也不會(huì)超過(guò)1，所以為使57個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于13，則這57個(gè)數(shù)被分配在13條序列中，在每條序列被分配的數(shù)的個(gè)數(shù)差不會(huì)超過(guò)1，那么13個(gè)序列有8個(gè)序列分配了4個(gè)數(shù)，5個(gè)序列分配了5個(gè)數(shù)，則這13個(gè)序列中8個(gè)長(zhǎng)度為8，5個(gè)長(zhǎng)度為9，那么當(dāng)n最小為時(shí)，可以取出57109?9?58?8?個(gè)數(shù)，其中任兩個(gè)數(shù)的差不為13，所以要使任取57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，那么n的最大值為108 【鞏固】 從1，2，3，4，2007中取N個(gè)不同的數(shù)，取出的數(shù)中任意三個(gè)的和能被15整除N最大為多少？ 【解析】 取出的N個(gè)不同的數(shù)中，任意三個(gè)的和能被15整除，則其中任意兩個(gè)數(shù)除以15的余數(shù)相同，且這個(gè)余數(shù)的3倍能被15整除，所以這個(gè)余數(shù)只能是