最短路線題庫教師版

1、8-8最短路線教學目標1. 準確運用“標數(shù)法”解決題目.2. 培養(yǎng)學生的實際操作能力知識精講知識點說明從一個地方到另外一個地方，兩地之間有許多條路，就有許多種走法，如果你能從中選擇一條最近的路走，也就是指要選擇一條最短的路線走，這樣你就可以節(jié)省許多時間了，那么如何能選上最短的路線呢？親愛的小朋友們，你要記住兩點：兩點之間線段最短盡量不走回頭路和重復路，這樣的話，你就做到了省時省力例題精講【例 1】 一只螞蟻在長方形格紙上的點，它想去點玩，但是不知走哪條路最近小朋友們，你能給它找到幾條這樣的最短路線呢？【解析】 （方法一）從點走到點，不論怎樣走，最短也要走長方形的一個長與一個寬，因此，在水平方向

2、上，所有線段的長度和應等于；在豎直方向上，所有線段的長度和應等于這樣我們走的這條路線才是最短路線為了保證這一點，我們就不應該走“回頭路”，只能向右和向下走所有最短路線：、這種方法不能保證“不漏”如果圖形再復雜些，做到“不重”也是很困難的（方法二）遵循“最短路線只能向右和向下走”，觀察發(fā)現(xiàn)這種題有規(guī)律可循看點：只有從到的這一條路線同樣道理：從到、從到、從到也都只有一條路線我們把數(shù)字“”分別標在這四個點上看點：從點出發(fā)到，可以是，也可以是，共有兩種走法那么我們在點標上數(shù)字“”（）看點：從有三種走法，即：、在點標上數(shù)字“”（）看點：共有三種走法，即：、，在點標上“” （）看點：從上向下走是，從左向右

3、走是，那么從出發(fā)點有六種走法，即：、，在點標上“”（），觀察發(fā)現(xiàn)每一個小格右下角上標的數(shù)正好是這個小格右上角與左下角的數(shù)的和，這個和就是從出發(fā)點到這點的所有最短路線的條數(shù)此法能夠保證“不重”也“不漏”，這種方法叫“對角線法”或“標號法”【鞏固】 如圖所示，從點沿線段走最短路線到點，每次走一步或兩步，共有多少種不同走法？【解析】 這是一個較復雜的最短路線問題，我們退一步想想，先看看簡單的情況從到的各種不同走法中先選擇一條路線來分析：如果按路線來走，這條路線共有條線段，每次走一步或兩步，要求從走到，會有幾種走法？這不是“上樓梯”問題嗎根據(jù)“上樓梯”問題的解法可得在這條路線中有8種符合條件的走法而對

4、于從到的其他每條最短路線而言，每一條路線都有5條線段，所以每條路線都有8種走法進一步：從到共有多少條最短路線？這正是“最短路線”問題！用“標數(shù)法”來解決，有10條綜上所述，滿足條件的走法有種【鞏固】 從到的最短路線有幾條呢？【解析】 圖中從到的最短路線都為6條【鞏固】 有一只蝸牛從點出發(fā),要沿長方形的邊或?qū)蔷€爬到點,中間不許爬回點,也不能走重復的路，那么，它有多少條不同的爬行路線？最短的是哪條呢？【解析】 共有種，即：、 、 、 、 、 ,最短的路是:【例 2】 阿呆和阿瓜到少年宮參加北京奧運會志愿者培訓如果他們從學校出發(fā)，共有多少種不同的最短路線？【解析】 從學校到少年宮的最短路線，只能向

5、右或向下走我們可以先看點：從學校到點最短路線只有種走法，我們在點標上、點同理再看點：最短路線可以是、共條，我們在點標上我們發(fā)現(xiàn)正好是對角線點和點上的數(shù)字和所有的最短路線都符合這個規(guī)律，最終從學校到少年宮共有種走法【鞏固】 方格紙上取一點作為起點，再在的右上方任取一點作為終點，畫一條由到的最短路線，聰明的小朋友，你能畫出來嗎？總共能畫出幾條呢？ 【解析】 根據(jù)“標號法”可知共有種，如圖【鞏固】 如圖，從點出發(fā)到點，走最短的路程，有多少種不同的走法？【分析】 共有種【鞏固】 小聰明想從北村到南村上學，可是他不知道最短路線的走法共有幾種？小朋友們，快幫幫忙呀！【分析】 根據(jù)“對角線法”知共有種，如圖

6、【例 3】 “五一”長假就要到了，小新和爸爸決定去黃山玩聰明的小朋友請你找找看從北京到黃山的最短路線共有幾條呢？【解析】 采用對角線法（如圖）這道題的圖形與前幾題的圖形又有所區(qū)別，因此，在解題時要格外注意是由哪兩點的數(shù)之和來確定另一點的從北京到黃山最近的道路共有條【鞏固】 從甲到乙的最短路線有幾條？【解析】 有條【例 4】 古希臘有一位久負盛名的學者，名叫海倫他精通數(shù)學、物理，聰慧過人人一天一位將軍向他請教一個問題：如下圖，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為了使行走的路線最短，應該讓馬在什么地方飲水？【解析】 本題主要體現(xiàn)最值思想和對稱的思想，教師應充分引導孩子觀察

7、行走路線的變化情況逐步引導學生通過對稱來找到相應的點，進一步了解圖形最值問題中應該如何解決問題【例 5】 學校組織三年級的小朋友去幫助農(nóng)民伯伯鋤草，大家從學校乘車出發(fā)，去往的李家村（如圖）愛動腦筋的嘟嘟就在想，從學校到李家村共有多少種不同的最短路線呢？ 【解析】 我們采用對角線法（如圖），從學校到李家村共有種不同的最短路線拓展 親愛的小朋友們，你們覺得從到共有幾條最短路線呢？ 【解析】 此題與上題不同，但方法相同我們采用對角線法（如圖）可知：可以選擇的最短路線共有條【例 6】 阿花和阿紅到少年宮參加北京奧運會志愿者培訓他們從學校出發(fā)到少年宮最多有多少種不同的行走路線？【解析】 采用對角線法（如

8、圖）可得從學校到少年宮共有種走法鋪墊 小海龜在小豬家玩，它們想去游樂場坐碰碰車，愛動腦筋的小朋友，請你想一想，從小豬家到游樂場共有幾條最短路線呢？【解析】 “對角線”法（如圖），共條【例 7】 阿強和牛牛結(jié)伴騎車去圖書館看書，第一天他們從學校直接去圖書館；第二天他們先去公園看大熊貓再去圖書館；第三天公園修路不能通行咱們學而思的小朋友都很聰明，請你們幫阿強和牛牛想想這三天從學校到圖書館的最短路線分別有多少種不同的走法？【解析】 仍然用對角線法求解第一天（無限制條件）共有條；第二天（必須經(jīng)過公園）共有條；第三天（必須不經(jīng)過公園）共有條【鞏固】 大熊和美子準備去看望養(yǎng)老院的李奶奶，可是市中心在修路(

9、城市的街道如圖所示),他們從學校到養(yǎng)老院最短路線共有幾條呢？聰明的小朋友，請你們快想想吧！ 【解析】 （方法一）用“對角線法”求出：從學校到養(yǎng)老院共條必經(jīng)過市中心的條，所以可行的路有：（條） （方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有條【例 8】 如圖，從到最短路線總共有幾種走法？【分析】 如圖，共有種【例 9】 如圖，從到沿網(wǎng)格線不經(jīng)過線段和的最短路徑的條數(shù)是多少條？【解析】 由于不能經(jīng)過線段和，所以我們必須先在網(wǎng)絡(luò)圖中拆除和，然后再在拆除了和以后的網(wǎng)絡(luò)圖中進行標數(shù)(如下圖所示)運用標數(shù)法可求出滿足條件的最短路徑有78條【鞏固】 下圖為某城市的街道示意圖，處正在挖下水道，不能通車

10、，從到處的最短路線共有多少條？【解析】 從到的最短路線有條.【例 10】 按圖中箭頭所指的方向行走，從到共有多少條不同的路線？【解析】 本題中的運動方向已經(jīng)由箭頭標示出來，所以關(guān)鍵要分析每一點的入口情況通過標數(shù)法我們可以得出從到共有條不同的路徑【例 11】 按圖中箭頭方向所指行走，從到有多少種不同的路線？【解析】 運用標數(shù)法原理進行標數(shù)，整個標數(shù)流程如下圖從到共有條不同的路線【鞏固】 按下圖左箭頭方向所指，從到有多少種不同的路線？如下圖右所示，這個問題有一個規(guī)則：只能沿著箭頭指的方向走，你能否根據(jù)規(guī)則算出所有從入口到出口的路徑共有多少條？分析 利用標數(shù)法求得到有種不同的路線，如下圖左所示由題將

11、路線圖轉(zhuǎn)化為下圖右所示，根據(jù)標數(shù)法求得從入口到出口的路徑共有10條 【例 12】 如下圖左，如果只允許向下移動，從點到點共有多少種不同的路線？如下圖右，要從點到點，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，問共有多少種不同的走法？【解析】 按題目要求，只能向下移動，利用標數(shù)法求得到共有路線種，如下圖左所示按題目要求，只能走下圖右的3個方向，利用標數(shù)法求得共有22種不同的走法，如下圖右【鞏固】 圖中有10個編好號碼的房間，你可以從小號碼房間走到相鄰的大號碼房間，但不能從大號碼房間走到小號碼房間，從1號房間走到10號房間共有多少種不同走法？【分析】 圖中并沒有標出行走的方向，但題中“你可以從小號碼房間走

12、到相鄰的大號碼房間，但不能從大號碼房間走到小號碼房間”這句話實際上就規(guī)定了行走的方向如下圖所示，我們可以把原圖轉(zhuǎn)化成常見的城市網(wǎng)絡(luò)圖，然后再根據(jù)標數(shù)法的思想標數(shù)：從圖中可以看出，從1號走到10號房間共有22種不同的走法【例 13】 一只密蜂從處出發(fā)，回到家里處，每次只能從一個蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準逆行，共有多少種回家的方法？【解析】 蜜蜂“每次只能從一個蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準逆行”這意味著它只能從小號碼的蜂房爬進相鄰的大號碼的蜂房明確了行走路徑的方向，就可運用標準法進行計算如圖所示，小蜜蜂從出發(fā)到處共有種不同的回家方法【例 14】 在圖中，用水平或垂直的線段連接相鄰的字母，當沿著這些線段行走時，正好拼出“”的路線共有多少條？分析 要想拼出英語“”的單詞，必須按照“”的次序拼寫在圖中的每一種拼寫方式都對應著一條最短路徑如下圖所示，運用標數(shù)法原理標數(shù)不難得出共有31種不同的路徑鋪墊 圖中的“我愛希望杯”有多少種不同的讀法分析 從我（個）、愛（個）、希（個）、望（個）、杯（個）中組成“我愛希望杯”即