傳染病模型SISIRSIS

1、數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)報(bào)告10學(xué)院： 專(zhuān) 業(yè)：姓 名：學(xué)號(hào)：_ 實(shí)驗(yàn)時(shí)間： 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)： _一、實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目：傳染病模型求解二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵骯. 求解微分方程的解析解b. 求解微分方程的數(shù)值解三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容問(wèn)題的描述各種傳染病給人類(lèi)帶來(lái)的巨大的災(zāi)難，長(zhǎng)期以來(lái)，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型 來(lái)描述傳染病的的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病 蔓延的手段等，一直是各國(guó)有關(guān)專(zhuān)家和官員關(guān)注的課題。不同類(lèi)型傳染病有各自不同的特點(diǎn)，在此以一般的傳播機(jī)理建立幾種3模型。分別對(duì)3種建立成功的模型進(jìn)行模型分析，便可以了解到該傳染病在 人類(lèi)間傳播的大概情況。模型一（SI模型）:（1）模型假設(shè)1. 在疾病傳播期內(nèi)所考

2、察地區(qū)的總?cè)藬?shù) N不變，人群分為健康人和病人，時(shí) 刻t這兩類(lèi)人在總?cè)藬?shù)中所占比例為 s（t ）和i （t ）。2. 每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù) a, a成為日接觸率，當(dāng)病人與健 康者有效接觸時(shí)，可使其患病。（2）建立模型根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每天可使as (t)個(gè)健康人變成病人，t時(shí)刻病人數(shù)為Ni(t)，所以每天共有aNs( t)i( t )個(gè)健康者被感染，即病人的增加率為:Ndi/dt二aNsi又因?yàn)?s(t)+i( t)=1再記時(shí)刻t=0時(shí)病人的比例為i0 則建立好的模型為:di不 ai(1 i)i(0)=i0(3)模型求解(代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果)syms a i t i0:日接

3、觸率，i :病人比例，s :健康人比例,i0 :病人比例在t=0時(shí)的值i=dsolve(Di=a*i*(1-i),i(0)=i0,t);y二subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y)SI 模型的it曲線FJiEIKV 2SI模型的di/dti 曲線(4)結(jié)果分析由上圖可知，在i=0:1內(nèi)，di/dt總是增大的，且在i=0.5時(shí)，取到最大 值，即在t-inf時(shí)，所有人都將患病。上述模型顯然不符合實(shí)際，為修正上述結(jié)果，我們重新考慮模型假設(shè)，建立SIS模型

4、模型二(SIS模型)(1)模型假設(shè)假設(shè)條件1.2與SI模型相同；3. 每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)u,成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然1/u是平均傳染期。(2)模型建立病人的增加率：Ndi/dt二aNsi-uNi且 i (t)+s(t)=1 ； 則有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定義k=a/b，可知k是整個(gè)傳染傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù), 成為接觸數(shù)。則建立好的模型為：: aii (1 1/k) dti(O)=iO;(2)模型求解(代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果) syms a i u t i0 % a:日接觸率，i :病人比例，u：日治愈率，i0 :

5、病人比例在t=0時(shí)的值 dsolve(Di=a*i*(1-i)-u*i,i(0)=i0,t)%的i t解析式 syms k% k k=a/u; i=dsolve(Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k),i(0)=i0,t)%的i t解析式%給k、a、i0指定特殊值，作出相關(guān)圖像 y二subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02);%為例 ezplot(y,0,100)pause%t的增加,i的變化 gtext(1/k)求用u表示:接觸數(shù)求用k表示k1的情況，以k=2作i t圖，分析隨時(shí)間legend(k1本例中 k=2) figure i=str2double(i); i=0:0.01

6、:1; y=-0.3*i.*i-1/2; plot(i,y) % gtext(1-1/k, 在此圖中為 0.5) legend(k=2) y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02); %k=0.8 為例 ezplot(y,0,100) %隨時(shí)間 t 增加， i 的變化 legend(kfigure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8); plot(i,y) %像 legend(k=0.8)作 di/dt i 的圖像k gtext(k1）SIS 模型的i t曲線（k1）SIS模型的di/dt i曲線（k1）SIS 模

7、型的i t曲線（k1時(shí)，i （t）的增減性取決 于i0的大小，但其極限值i（ 乂）=1-1/k隨k的增加而增加；當(dāng)k0)和i0(i00)(不妨設(shè)移出者的初始值r0=0)，則SIR模型的方程可以寫(xiě)作dtdsdtsi i,i(0) tosi, s(0)So(3) 模型求解我們無(wú)法求出解析解，先做數(shù)值計(jì)算:設(shè) 1，03i(0) 0.02，s(0) 0.98，用 MATLA軟件編程:functiony二ill(t，x)a=1;b=0.3;y二a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0二0.02,0.98;t,x=ode45(i11,ts,x0);t,xplo

8、t(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)i(t),s(t)的圖形s圖形(相軌線)表1i(t), s(t)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果t012345678i(t)0.0200.0390.0730.1280.2030.2790.3310.3440.324002535247s(t)0.9800.9520.9010.8160.6020.5430.3990.2830.202059978597t91015202530354045i(t)0.2860.2410.0780.0220.0060.0010.0000.000038731751s(t)0.1490.1140.

9、0540.0430.0400.0400.0390.0390.039353481998(4)結(jié)果分析i(t)，s(t)的圖形見(jiàn)左圖，is的圖形見(jiàn)右圖，稱(chēng)為相軌線，隨著t的增加，(s,i)沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng)。由上圖結(jié)合表1可知，i(t)由初值增長(zhǎng)至約t 7時(shí)達(dá)到最大值，然后減少，t ，t；s(t)則單調(diào)減少t ，s O.0398進(jìn)行相軌線分析，可得：si平面稱(chēng)為相平面，相軌線在相平面上的定義域(s，i) D為D (s,t)|s ,i,s i 1在方程(3)中消去dt，并注意到 的定義，可得di 11dt s I |s s i容易求出它的解為(4)1 si(s i) s In -s(5)在定義域D內(nèi)

10、，上式表示的曲線即為相軌線1不論初始條件s，io如何，病人終將消失，即i (6)ds其證明如下，首先，由(3)，dt0而 s(t)dr0故s存在；由(2)，dt0，而 r(t)dr _故r存在，再由(1)，對(duì)于充分大的t有dt 2，這將導(dǎo)致，與r存在相矛盾2最終未被感染的健康者的比例是s，在(5)式中令i 0得到，s是方程s0 i0 ss0(7)在(0,1/ )內(nèi)的根。在圖形上，s是相軌線與s軸在(01/ )內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3若50 1/，則i(t)先增加，當(dāng)s 1/時(shí)，i(t)達(dá)到最大值(8)isoio (1 In So)然后哇）減小且趨近于0, s（t）則單調(diào)減小至s。4若so 1/ ，則單

11、調(diào)減少至0, s（t）單調(diào)減少至s。如果僅當(dāng)病人比例 唯）有 一段增長(zhǎng)的時(shí)期才認(rèn)為傳染病在蔓延，那么1/是一個(gè)閾值，當(dāng)so 1/ （即1/so）時(shí)傳染病就會(huì)蔓延。而減小傳染期接觸數(shù)，即提高閾值1/ ，使得s。1/ （即1/so），傳染病就不會(huì)蔓延（健康者比例的初始值 s是一定的，通?？烧J(rèn)為so接近1）。并且，即使so 1/ ，從（7），（8）式可以看出， 減少時(shí)，s增加（通過(guò)作 圖分析），im降低，也控制了蔓延的程度，我們注意到，在/中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率 越?。会t(yī)療水平越高，日治愈率 越大，于是 越 小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延。從另一方面看，s s?1/是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱(chēng)為交換數(shù)，其含義是一個(gè)病人被s個(gè)健康者交換，所以當(dāng)so 1/，即S