高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義-數(shù)學(xué)方法選講(1)

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專(zhuān)家1數(shù)學(xué)方法選講（1）同學(xué)們?cè)陂喿x課外讀物的時(shí)候，或在聽(tīng)老師講課的時(shí)候，書(shū)上的例題或老師講解的例題他都能聽(tīng)懂，但一遇到?jīng)]有見(jiàn)過(guò)面的問(wèn)題就不知從何處入手?？磥?lái)，要提高解決問(wèn)題的能力，要能在競(jìng)賽中有所作為，首先得提高分析問(wèn)題的能力，這就需要學(xué)習(xí)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。例題講解一、從簡(jiǎn)單情況考慮華羅庚先生曾經(jīng)指出：善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。從簡(jiǎn)單情況考慮，就是一種以退為進(jìn)的一種解題策略。1. 兩人坐在一張長(zhǎng)方形桌子旁，相繼輪流在桌子上放入同樣大小的硬幣。條件是硬幣一定要平放在桌子上，后放的硬幣不能壓

2、在先放的硬幣上，直到桌子上再也放不下一枚硬幣為止。誰(shuí)放入了最后一枚硬幣誰(shuí)獲勝。問(wèn)：先放的人有沒(méi)有必定取勝的策略？2線(xiàn)段AB上有1998個(gè)點(diǎn)（包括A，B兩點(diǎn)），將點(diǎn)A染成紅色，點(diǎn)B染成藍(lán)色，其余各點(diǎn)染成紅色或藍(lán)色。這時(shí)，圖中共有1997條互不重疊的線(xiàn)段。問(wèn)：兩個(gè)端點(diǎn)顏色相異的小線(xiàn)段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？31000個(gè)學(xué)生坐成一圈，依次編號(hào)為1，2，3，1000?，F(xiàn)在進(jìn)行1，2報(bào)數(shù)：1號(hào)學(xué)生報(bào)1后立即離開(kāi)，2號(hào)學(xué)生報(bào)2并留下，3號(hào)學(xué)生報(bào)1后立即離開(kāi)，4號(hào)學(xué)生報(bào)2并留下學(xué)生們依次交替報(bào)1或2，凡報(bào)1的學(xué)生立即離開(kāi)，報(bào)2的學(xué)生留下，如此進(jìn)行下去，直到最后還剩下一個(gè)人。問(wèn)：這個(gè)學(xué)生的編號(hào)是幾號(hào)？4

3、在66的正方形網(wǎng)格中，把部分小方格涂成紅色。然后任意劃掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1個(gè)是紅色的。那么，總共至少要涂紅多少小方格？二、從極端情況考慮從問(wèn)題的極端情況考慮，對(duì)于數(shù)值問(wèn)題來(lái)說(shuō)，就是指取它的最大或最小值；對(duì)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，指的是線(xiàn)段的端點(diǎn)，三角形的頂點(diǎn)等等。極端化的假設(shè)實(shí)際上也為題目增加了一個(gè)條件，求解也就會(huì)變得容易得多。5新上任的宿舍管理員拿著20把鑰匙去開(kāi)20個(gè)房間的門(mén)，他知道每把鑰匙只能打開(kāi)其中的一個(gè)門(mén)，但不知道哪一把鑰匙開(kāi)哪一個(gè)門(mén)，現(xiàn)在要打開(kāi)所有關(guān)閉的20個(gè)門(mén)，他最多要開(kāi)多少次？6有n名（n3）選手參加的一次乒乓球循環(huán)賽中，沒(méi)有一個(gè)全勝的。問(wèn)：是否能夠找到三名選手A，

4、B，C，使得A勝B，B勝C，C勝A？7n（n3）名乒乓球選手單打比賽若干場(chǎng)后，任意兩個(gè)選手已賽過(guò)的對(duì)手恰好都不完全相同。試證明，總可以從中去掉一名選手，而使余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過(guò)的對(duì)手仍然都不完全相同。8在一個(gè)88的方格棋盤(pán)的方格中，填入從1到64這64個(gè)數(shù)。問(wèn)：是否一定能夠找到兩個(gè)相鄰的方格，它們中所填數(shù)的差大于4？三、從整體考慮從整體上來(lái)考察研究的對(duì)象，不糾纏于問(wèn)題的各項(xiàng)具體的細(xì)節(jié)，從而能夠拓寬思路，抓住主要矛盾，一舉解決問(wèn)題。9右圖是一個(gè)44的表格，每個(gè)方格中填入了數(shù)字0或1。按下列規(guī)則進(jìn)行“操作”：每次可以同時(shí)改變某一行的數(shù)字：1變成0，0變成1。問(wèn)：能否通過(guò)若干次“操作”使

5、得每一格中的數(shù)都變成1？10有三堆石子，每堆分別有1998，998，98?！，F(xiàn)在對(duì)這三堆石子進(jìn)行如下的“操作”：每次允許從每堆中各拿掉一個(gè)或相同個(gè)數(shù)的石子，或從任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式進(jìn)行“操作”，能否把這三堆石子都取光？如行，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案；如不行，請(qǐng)說(shuō)明理由。11我們將若干個(gè)數(shù)x，y，z，的最大值和最小值分別記為max（x，y，z，）和min（x，y，z，）。已知a+b+c+d+e+f+g=1，求minmax（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）例題答案：1分析與解：如果桌子大小只能容納一枚硬幣，那么先放的人當(dāng)然能夠取勝。然后設(shè)想桌面變大

6、，注意到長(zhǎng)方形有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，先放者將第一枚硬幣放在桌子的中心，繼而把硬幣放在后放者所放位置的對(duì)稱(chēng)位置上，這樣進(jìn)行下去，必然輪到先放者放最后一枚硬幣。2分析：從最簡(jiǎn)單的情況考慮：如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色，這時(shí)異色線(xiàn)段只有1條，是一個(gè)奇數(shù)。然后我們對(duì)這種染色方式進(jìn)行調(diào)整：將某些紅點(diǎn)改成藍(lán)點(diǎn)并注意到顏色調(diào)整時(shí)，異色線(xiàn)段的條數(shù)隨之有哪些變化。由于顏色的調(diào)整是任意的，因此與條件中染色的任意性就一致了。解：如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色，這時(shí)異色線(xiàn)段僅有1條，是一個(gè)奇數(shù)。將任意一個(gè)紅點(diǎn)染成藍(lán)色時(shí)，這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若同色，則異色小線(xiàn)段的條數(shù)或者增加2條（相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為

7、紅色），或者減少2條（相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為藍(lán)色）；這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若異色，則異色小線(xiàn)段的條數(shù)不變。綜上所述，改變?nèi)我鈧€(gè)點(diǎn)的顏色，異色線(xiàn)段的條數(shù)的改變總是一個(gè)偶數(shù)，從而異色線(xiàn)段的條數(shù)是一個(gè)奇數(shù)。3分析：這個(gè)問(wèn)題與上一講練習(xí)中的第8題非常相似，只不過(guò)本例是報(bào)1的離開(kāi)報(bào)2的留下，而上講練習(xí)中相當(dāng)于報(bào)1的留下報(bào)2的離開(kāi)，由上講練習(xí)的結(jié)果可以推出本例的答案。本例中編號(hào)為1的學(xué)生離開(kāi)后還剩999人，此時(shí)，如果原來(lái)報(bào)2的全部改報(bào)1并留下，原來(lái)報(bào)1的全部改報(bào)2并離開(kāi)，那么，問(wèn)題就與上講練習(xí)第8題完全一樣了。因?yàn)槭Ｏ?99人時(shí)，第1人是2號(hào)，所以最后剩下的人的號(hào)碼應(yīng)比上講練習(xí)中的大1，是975

8、1=976（號(hào)）。為了加深理解，我們重新解這道題。解：如果有2n個(gè)人，那么報(bào)完第1圈后，剩下的是2的倍數(shù)號(hào)；報(bào)完第2圈后，剩下的是22的倍數(shù)號(hào)報(bào)完第n圈后，剩下的是2n的倍數(shù)號(hào)，此時(shí)，只剩下一人，是2n號(hào)。如果有（2nd）（1d2n）人，那么當(dāng)有d人退出圈子后還剩下2n人。因?yàn)橄乱粋€(gè)該退出去的是（2d1）號(hào)，所以此時(shí)的第（2d1）號(hào)相當(dāng)于2n人時(shí)的第1號(hào)，而2d號(hào)相當(dāng)于2n人時(shí)的第2n號(hào)，所以最后剩下的是第2d號(hào)。由1000=29488知，最后剩下的學(xué)生的編號(hào)是4882=976（號(hào)）。4分析與解：先考慮每行每列都有一格涂紅，比較方便的涂法是在一條對(duì)角線(xiàn)上涂6格紅色的，如圖1。任意劃掉3行3列，

9、可以設(shè)想劃行劃列的原則是：每次劃掉紅格的個(gè)數(shù)越多越好。對(duì)于圖1，劃掉3行去掉3個(gè)紅格，還有3個(gè)紅格恰在3列中，再劃掉3列就不存在紅格了。所以，必然有一些行有一些列要涂2個(gè)紅格，為了盡可能地少涂紅格，那么每涂一格紅色的，一定要使多出一行同時(shí)也多出一列有兩格紅色的。先考慮有3行中有2格涂紅，如圖2。顯然，同時(shí)也必然有3個(gè)列中也有2格涂紅。這時(shí)，我們可以先劃掉有2格紅色的3行，還剩下3行，每行上只有一格涂紅，每列上也只有一格涂紅，那么在劃掉帶紅格的3列就沒(méi)有紅格了。為了使得至少余下一個(gè)紅格，只要再涂一格。此紅格要使圖中再增加一行和一列有兩個(gè)紅格的，如圖3。結(jié)論是：至少需要涂紅10個(gè)方格。5. 解：從

10、最不利的極端情況考慮：打開(kāi)第一個(gè)房間要20次，打開(kāi)第二個(gè)房間需要19次共計(jì)最多要開(kāi)2019181=210（次）。6. 解：從極端情況觀察入手，設(shè)B是勝的次數(shù)最多的一個(gè)選手，但因B沒(méi)獲全勝，故必有選手A勝B。在敗給B的選手中，一定有一個(gè)勝A的選手C，否則，A勝的次數(shù)就比B多一次了，這與B是勝的次數(shù)最多的矛盾。所以，一定能夠找到三名選手A，B，C，使得A勝B，B勝C，C勝A。7. 證明：如果去掉選手H，能使余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過(guò)的對(duì)手仍然都不完全相同，那么我們稱(chēng)H為可去選手。我們的問(wèn)題就是要證明存在可去選手。設(shè)A是已賽過(guò)對(duì)手最多的選手。若不存在可去選手，則A不是可去選手，故存在選手B和C

11、，使當(dāng)去掉A時(shí)，與B賽過(guò)的選手和與C賽過(guò)的選手相同。從而B(niǎo)和C不可能賽過(guò)，并且B和C中一定有一個(gè)（不妨設(shè)為B）與A賽過(guò)，而另一個(gè)（即C）未與A賽過(guò)。又因C不是可去選手，故存在選手D，E，其中D和C賽過(guò)，而E和C未賽過(guò)。顯然，D不是A，也不是B，因?yàn)镈與C賽過(guò)，所以D也與B賽過(guò)。又因?yàn)锽和D賽過(guò)，所以B也與E賽過(guò)，但E未與C賽過(guò)，因而選手E只能是選手A。于是，與A賽過(guò)的對(duì)手?jǐn)?shù)就是與E賽過(guò)的對(duì)手?jǐn)?shù)，他比與D賽過(guò)的對(duì)手?jǐn)?shù)少1，這與假設(shè)A是已賽過(guò)對(duì)手最多的選手矛盾。故一定存在可去選手。8. 解：考慮這個(gè)方格棋盤(pán)的左上角、右上角及右下角內(nèi)的數(shù)A，B，S。設(shè)存在一個(gè)填數(shù)方案，使任意相鄰兩格中的數(shù)的差不大于

12、4，考慮最大和最小的兩個(gè)數(shù)1和64的填法，為了使相鄰數(shù)的差不大于4，最小數(shù)1和最大數(shù)的“距離”越大越好，即把它們填在對(duì)角的位置上（A=1，S=64）。然后，我們沿最上行和最右行來(lái)觀察：因?yàn)橄噜彅?shù)不大于4，從 ABS共經(jīng)過(guò)14格，所以 S1+414=57（每次都增加最大數(shù)4），與S=64矛盾。因而，1和64不能填在“最遠(yuǎn)”的位置上。顯然，1和64如果填在其他任意位置，那么從1到64之間的距離更近了，更要導(dǎo)致如上的矛盾。因此，不存在相鄰數(shù)之差都不大于4的情況，即不論怎樣填數(shù)必有相鄰兩數(shù)的差大于4。9. 解：我們考察表格中填入的所有數(shù)的和的奇偶性：第一次“操作”之前，它等于9，是一個(gè)奇數(shù)，每一次“操作”，要改變一行或一列四個(gè)方格的奇偶性，顯然整個(gè)16格中所有數(shù)的和的奇偶性不變。但當(dāng)每一格中所有數(shù)字都變成1時(shí)，整個(gè)16格中所有數(shù)的和是16，為一偶數(shù)。故不能通過(guò)若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1。10. 解：要把三堆石子都取光是不可能的。按“