微積分：6.5 函數(shù)的極值與最大值最小值

1、解,駐點(diǎn),6.5 函數(shù)的極值與最大值最小值,1. 函數(shù)極值的求法,2. 最大值與最小值問(wèn)題,1. 函數(shù)極值的求法,定義,極大值,或極小值,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),1,可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn),駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),極值的必要條件,必是駐點(diǎn),費(fèi)馬定理,如果函數(shù),可導(dǎo),處取得極值,那么,極值點(diǎn)也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),2,怎樣判斷駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)是不是極值點(diǎn),分界點(diǎn),若 x0 是連續(xù)函數(shù) f(x) 單增、單減的,則 x0必為極值點(diǎn),幾何上,定理 (第一充分條件,則,為極大值,則,不是極值,極小值,極值的充分條件,一般求極值的步驟,求導(dǎo)數(shù),求駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn),求相應(yīng)區(qū)間的

2、導(dǎo)數(shù)符號(hào),判別增減性,求極值,1,2,3,4,不是極值點(diǎn),例,解,1,2,駐點(diǎn),導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),3,列表.求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號(hào),判別增減性,確定極值點(diǎn)和極值,非極值,極小值,不存在,極大值,駐點(diǎn),導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),單調(diào)增加區(qū)間,單調(diào)減少區(qū)間,定理 (第二充分條件,證,極大值,極小值,因此,當(dāng),充分小時(shí),由極限的保號(hào)性,可見,與,異號(hào),所以,第一充分條件,例,解,因?yàn)?仍用第一充分條件,第二充分條件不能應(yīng)用,為極大值,為極小值,不是極值,如下列3個(gè)函數(shù),第二充分條件也不能用,極大值,極小值,設(shè),滿足方程,若,且,則,在,A) 取得極大值,B) 取得極小值,C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加,D) 在某鄰域內(nèi)

3、單調(diào)減少,提示,有,A,利用方程,代入,得,練一練,下面正確的是,解,練一練,當(dāng)a取下列哪個(gè)值時(shí), 函數(shù),恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),A) 2,B) 4,C) 6,D) 8,解,令,得駐點(diǎn),練一練,當(dāng)a取下列哪個(gè)值時(shí), 函數(shù),恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),A) 2,B) 4,C) 6,D) 8,得駐點(diǎn),極大,極小,得,練一練,設(shè)函數(shù) f (x)在,如圖所示,內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖形,則 f (x)有,A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn),B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn),C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn),D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)紅點(diǎn)是極大值點(diǎn),兩個(gè)綠點(diǎn)是極小值點(diǎn),練一練,2. 最大值與最小值問(wèn)題,f (

4、x)在閉區(qū)間a, b上最值,可能在 a, b的內(nèi)部取得，則必是極值,也可能在 a, b的端點(diǎn)取得,1,其中最大(小)者,求連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a, b上的最值的方法,將閉區(qū)間a, b內(nèi)所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),區(qū)間端點(diǎn)的,就是 f (x,最值必在端,2,點(diǎn)處達(dá)到,即極值嫌疑點(diǎn))處的函數(shù)值和,函數(shù)值 f (a), f (b)比較,在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值,當(dāng) f (x)在閉區(qū)間a, b上單調(diào)時(shí),3,若連續(xù)函數(shù) f (x)在區(qū)間I內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),為極小 值,區(qū)間 I上的最小 值,大,大,例,解,駐點(diǎn),導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),駐點(diǎn),導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),僅需計(jì)算,比較得,因,是偶函數(shù),最大值為,

5、最小值為,試求,解,故為最大值點(diǎn),例,試求,故所求最大值為,故為最大值點(diǎn),解,唯一駐點(diǎn),令,最小值,練一練,故為最小值點(diǎn),解,駐點(diǎn),導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),最大值,最小值,最大值與最小值,練一練,實(shí)際問(wèn)題求最值,1) 建立目標(biāo)函數(shù),2) 求最值,注,對(duì)實(shí)際問(wèn)題常常可事先斷定最大(小)值必在,區(qū)間內(nèi)部取得,如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又僅有,一個(gè)極值嫌疑點(diǎn),那末這點(diǎn)處的函數(shù)值就是最,大(小)值,例,解,目標(biāo)函數(shù),得,1,2,求最大值點(diǎn),半徑為R,求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的,設(shè)圓柱體的高為2h,底半徑為r,體積為V,圓柱體的最大體積一定存在,故唯一駐點(diǎn),就是最大值點(diǎn),最大體積為,令,得,舍去負(fù)值,唯一駐

6、點(diǎn),例,敵人乘汽車從河的北岸A 處以1公里/分的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B 處向正東追擊（如圖），速度為2公里/分問(wèn)我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）,北,南,西,東,解,建立敵我相距函數(shù)關(guān)系,敵我相距函數(shù),1,得唯一駐點(diǎn),解,如圖,練一練,解得,唯一駐點(diǎn),令,為所求,為所有三角形中面積的最大值,某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月720元時(shí),公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)租金每月增加40元時(shí),就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費(fèi)80元的整修維護(hù)費(fèi).試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入,解,設(shè)房租為每月 元,租出去的房子有,每月總收入為,套,練一練,唯一駐點(diǎn),故每月每套租金為1400元時(shí)收入最高,最大收入為,小結(jié),注意最值與