微積分：11.2常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別

1、1,11.2 常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別,11.2.1 正項級數(shù)斂散性的判別,11.2.2 交錯級數(shù)斂散性的判別,11.2.3 任意項級數(shù)斂散性的判別,11.2.4* 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì),2,3,單調(diào)有界數(shù)列一定收斂,收斂,收斂,4,1. 定義,正項級數(shù),2. 收斂的充要條件,這時,只可能有兩種情形:,正項級數(shù),其部分和數(shù)列,為單調(diào)增加數(shù)列.,11.2.1 正項級數(shù)斂散性的判別,收斂,發(fā)散,5,定理1(基本定理),正項級數(shù)收斂,部分和數(shù)列,有界.,6,例判定 的斂散性.,解,由定理1知,級數(shù)的部分和,可與另一個已知斂散性的正項級數(shù)比較來確定.,該正項級數(shù)收斂.,這個例啟示我們:,判定一個正項級數(shù)的

2、斂散性,由于,正項級數(shù),7,3. 比較審斂法的不等式形式,證,定理2,即部分和數(shù)列有界.,則,收斂,收斂,發(fā)散,發(fā)散,收斂,收斂，,也應(yīng)收斂,8,推論,3. 比較審斂法的不等式形式,定理2,則,收斂,收斂,發(fā)散,發(fā)散,則,收斂,收斂,發(fā)散,發(fā)散,9,解,(1),(2),由比較審斂法,發(fā)散.,例,討論,的斂散性.,重要！,10,收斂.,綜上所述,11,例,收斂,發(fā)散,12,(1)等比級數(shù),使用正項級數(shù)的比較判定法時,常用的比較級數(shù),一些級數(shù)的斂散性,作為比較的標(biāo)準(zhǔn).,需要知道,(2)p-級數(shù),(3)調(diào)和級數(shù),發(fā)散,13,例 討論下列正項級數(shù)的斂散性.,解 (1),而等比級數(shù),所以,原級數(shù)收斂.,

3、由比較審斂法,收斂，,14,因為,而,是發(fā)散的p-級數(shù).,所以, 原級數(shù),發(fā)散.,由比較審斂法,15,因為,所以, 原級數(shù),收斂.,由比較審斂法,是收斂的p-級數(shù).,16,解,級數(shù)為:,發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,例,17,4.比較審斂法的極限形式,定理3,兩級數(shù)有相同的斂散性;,18,19,證,由比較審斂法的推論得證.,自證（2）（3）.,20,同理,都發(fā)散.,例 判斷級數(shù)的斂散性,21,而,都收斂,22,由比較審斂法可快速判定如下級數(shù)的斂散性,例,與,有相同的斂散性,即,收斂,收斂,當(dāng)分母,分子關(guān)于n的最高次數(shù)分別為,級數(shù),收斂;,級數(shù),發(fā)散.,23,發(fā)散.,而,發(fā)散,收斂,判斷級數(shù)的斂散性,而,收斂

4、,解,練一練,24,收斂.,類似地,解,而級數(shù),收斂,收斂.,練一練,25,證,定理4,5.比值審斂法(達朗貝爾判定法),收斂,發(fā)散,方法失效,(1),比較審斂法的不便:,須有參考級數(shù).,26,收斂.,由(1)式的,的各項小于,由性質(zhì)3,得,(1),右邊,對應(yīng)的各項,而,收斂,收斂.,27,級數(shù)發(fā)散,由(1)式的,如,比值審斂法失效.,(1),左邊,收斂,發(fā)散,28,解,比值審斂法的優(yōu)點:,不必找參考級數(shù).,例 判定下列級數(shù)的斂散性,由級數(shù)本身就能斷定斂散性.,29,比值審斂法失效,解,改用比較極限審斂法,30,2. 當(dāng),3. 一旦出現(xiàn),要用其它方法判定.,這時級數(shù)的通項un不趨于零.,后面將

5、用到這一點.,或 不存在時,4. 條件是充分的,1. 適用于,的若干連乘積,但非必要.,收斂,(或商)形式.,所以級數(shù)發(fā)散，,31,收斂,不存在,32,例討論級數(shù) 的斂散性.,解,當(dāng)0x1時,當(dāng)x1時,當(dāng) x=1時,發(fā)散;,發(fā)散.,級數(shù)為,收斂;,是調(diào)和級數(shù),故當(dāng),發(fā)散.,收斂;,33,例 判定級數(shù) 的斂散性.,解,因為,所以,又因為,所以,收斂,再由比較判別法知,原級數(shù)也收斂.,34,例 證明級數(shù),并估計以級數(shù)的部分和sn近似代替和s,解,是收斂的,所產(chǎn)生的誤差.,誤差:,35,36,利用級數(shù)收斂性,證明,證,考查級數(shù),由于,故級數(shù) 收斂.,由級數(shù)收斂的必要條件知,練一練,37,證明:級數(shù)

6、發(fā)散.,證,因,故,從而,由級數(shù)收斂的必要條件,知級數(shù),發(fā)散.,比值審斂法失效,練一練,38,這里用比值法判斷級數(shù)的收斂性時,雖然如此,也還能利用比值,求出比值的極限為1,比值審斂法失效.,從而得到一般項不收斂于零.,因為,恒大于1,39,級數(shù)收斂.,定理5,1.適用于:以n次方的因子,6.根值審斂法(柯西判別法),收斂,發(fā)散,方法失效,40,2. 當(dāng),這時級數(shù)的通項un不趨于零.,所以級數(shù)發(fā)散，,3. 一旦出現(xiàn),要用其它方法判定.,或 不存在時,4.根值法條件是充分的,而非必要的.,收斂,41,級數(shù)收斂.,例,42,43,所以,當(dāng)a0時,級數(shù)收斂;,當(dāng)a0時,級數(shù)發(fā)散;,當(dāng)a=0時,根值法失

7、效,但此時級數(shù)為,是發(fā)散的.,練一練,44,判定 的斂散性.,解,根值審斂法,其中,級數(shù)發(fā)散.,練一練,45,證明,練一練,46,證明,所以結(jié)論成立,47,若存在一個定義,定理,7. 柯西積分判別法,在區(qū)間,上的單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù) f (x), 滿,(1),收斂的充要條件是對應(yīng)的反,收斂;,足un= f (n)成立, 則,常積分,(2),發(fā)散的充要條件是對應(yīng)的反,發(fā)散.,常積分,48,例,試確定級數(shù),的斂散性.,解,顯然 f (x)在x 1時連續(xù),若設(shè),即反常積分發(fā)散,故級數(shù),發(fā)散,也發(fā)散.,f (x)單調(diào)減少.,柯西積分判別法,49,試判別正項級數(shù),的斂散性.,解1,顯然 f (x) 連續(xù)，單調(diào)遞減.,設(shè),即反常積分收斂,故級數(shù),收