講函數(shù)可積條件

1、第23講 可積條件及可積函數(shù)類授課題目可積條件及可積函數(shù)類教學(xué)內(nèi)容1. 函數(shù)可積的必要條件；2. 函數(shù)可積的第一、二充要條件； 3.可積函數(shù)類（最基本三種）；4. 黎曼（Rieman）函數(shù)的可積性.教學(xué)目的和要求通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生能理解函數(shù)可積的必要條件，函數(shù)可積的第一、二充要條件，學(xué)會證明連續(xù)函數(shù)，只有有限多個間斷點(diǎn)的函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的可積性問題，了解黎曼（Rieman）函數(shù)的可積性的證明方法.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)可積的第一、二充要條件，可積函數(shù)類（三種）；教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)可積的第一、二充要條件.教學(xué)方法及教材處理提示(1) 理解定積分的第一、二充要條件是本節(jié)的重點(diǎn)(2通過證明連續(xù)

2、函數(shù)，只有有限多個間斷點(diǎn)的函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的可積性，強(qiáng)化學(xué)生對積分第一、二充要條件的理解和掌握.(3 關(guān)于黎曼（Rieman）函數(shù)的可積性的證明只作出一些提示，要求較好學(xué)生能理解，在習(xí)題課種再討論.作業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材 :1，2，3，4.講授內(nèi)容一、可積的必要條件 定理92 若函數(shù)在上可積，則在上必定有界 證：用反證法若在上無界，則對于的任一分割，必存在屬于的某個小區(qū)間上無界在各個小區(qū)間上任意取定，并記現(xiàn)對任意大的正數(shù)，由于在上無界，故存在，使得于是有 由此可見，對于無論多小的，按上述方法選取點(diǎn)集時，總能使積分和的絕對值大于任何預(yù)先給出的正數(shù)，這與在上可積相矛盾 例1 （有界函數(shù)不一定可積）證

3、明狄利克雷函數(shù)，在上有界但不可積 證：顯然，對于的任一分割，由有理數(shù)和無理數(shù)在實(shí)數(shù)中的稠密性，在屬于的任一小區(qū)間上，當(dāng)取全為有理數(shù)時，；當(dāng)取全為無理數(shù)時，所以不論多么小，只要點(diǎn)集取法不同(全取有理數(shù)或全取無理數(shù))，積分和有不同極限，即在上不可積由此可見，有界是可積的必要條件以后討論函數(shù)的可積性時，總是假設(shè)函數(shù)是有界的二、可積的充要條件 要判斷一個函數(shù)是否可積，固然可以根據(jù)定義，直接考察積分和是否能無限接近某一常數(shù)，但由于積分和的復(fù)雜性和那個常數(shù)不易預(yù)知，因此這是極其困難的下面即將給出的可積準(zhǔn)則只與被積函數(shù)本身有關(guān)，而不涉及定積分的值 設(shè)為對的任一分割由在上有界，它在每個上存在上、下確界：作和分

4、別稱為關(guān)于分割的上和與下和(或稱達(dá)布上和與達(dá)布下和，統(tǒng)稱達(dá)布和)任給，顯然有 與積分和相比較，達(dá)布和只與分割有關(guān)，而與點(diǎn)集無關(guān)通過討論上和與下和當(dāng)時的極限來揭示在上是否可積所以，可積性理論總是從討論上和與下和的性質(zhì)入手的 定理93 (可積準(zhǔn)則) 函數(shù)在上可積的充要條件是：任給,總存在相應(yīng)的一個分割，使得設(shè)稱為在上的振幅，有必要時也記為。由于S()(或記為)，因此可積準(zhǔn)則又可改述如下： 定理 函數(shù)在上可積的充要條件是：任給，總存在相應(yīng)的某一分割，使得 幾何意義是：若在上可積，則包圍曲線的一系列小矩形面積之和可以達(dá)到任意小，只要分割充分地細(xì)；反之亦然三、可積函數(shù)類根據(jù)可積的充要條件，我們證明下面一

5、些類型的函數(shù)是可積的(即可積的充分條件) 定理94 若為上的連續(xù)函數(shù)，則在上可積 證：由于在閉區(qū)間上連續(xù)，因此在上一致連續(xù)這就是說，任給，存在0，對中任意兩點(diǎn)，只要，便有所以只要對所作的分割滿足，在丁所屬的任一小區(qū)間上，就能使的振幅滿足從而導(dǎo)致，由定理，證得在上可積 定理95 若是區(qū)間上只有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，則在上可積， 證：不失一般性，這里只證明在上僅有一個間斷點(diǎn)的情形，并設(shè)該間斷點(diǎn)即為端點(diǎn) 任給，取，滿足，且，其中與分別為在上的上確界與下確界(設(shè)，否則為常量函數(shù)，顯然可積)記在小區(qū)間上的振幅為，則 ， 因?yàn)樵谏线B續(xù)，由定理94知在上可積再由定理93，(必要性)，存在對的某個分割，使得

6、令，則 是對的一個分割，對于，有 根據(jù)定理9.3(充分性)，證得在上可積 定理9.6 若是上的單調(diào)函數(shù)，則在上可積 證：設(shè)為增函數(shù)，且，則為常量函數(shù)，顯然可積對的任一分割，由的增性，在所屬的每個小區(qū)間上的振幅為于是有 由此可見，任給，只要這時就有 所以在上可積 注意：單調(diào)函數(shù)即使有無限多個間斷點(diǎn)，仍不失其可積性 例2 試用兩種方法證明函數(shù)在區(qū)間上可積 證：證法一由于是一增函數(shù)，雖然它在上有無限多個間斷點(diǎn) 但由定理9.5，仍保證它在上可積 證法二(僅利用定理9.3，和定理9.5) 任給，由于，因此當(dāng)充分大時，這說明在上只有有限個間斷點(diǎn)利用定理95和定理93，推知在上可積，且存在對的某一分割，使得在把小區(qū)間與合并,成為對的一個分割.由于在上的振幅，因此得到. 所以在上可積 例3 證明黎曼函數(shù)在區(qū)間上可積，且 分析：已知黎曼函數(shù)在，以及一切無理點(diǎn)處連續(xù)，而在內(nèi)的一切有理點(diǎn)處間斷證明它在上可積的直觀構(gòu)思如下：在黎曼函數(shù)的圖象中畫一條水平直線,在此直線上方只有函數(shù)圖象中有限個點(diǎn)，這些點(diǎn)所對應(yīng)的自變量可被含于屬于分割的有