線性代數(shù)A-向量組的線性相關(guān)性- 答案

1、.第三章 向量組的線性相關(guān)性作業(yè)1一、判斷題1. 如果當(dāng)時，則線性無關(guān).（ ）2. 若只有當(dāng)全為0時，等式才成立，則線性無關(guān)，線性無關(guān).（ ）二、填空題1. 設(shè)其中則= . 2. n維零向量一定線性 相 關(guān).3. 設(shè)，若線性相關(guān)，則= .4.已知向量組線性相關(guān)，則= . 5. 設(shè)向量組線性無關(guān)，則必滿足關(guān)系式 .6.設(shè)則向量組的線性相關(guān)性是 線性相關(guān) .三、選擇題1向量組和向量組等價的定義是向量組（ A ）.A. 和可互相線性表示 B. 和中有一組可由另一組線性表示C. 和中所含向量的個數(shù)相等 D. 和的秩相等2. 向量組線性無關(guān)的充要條件是（ D ）.A. 均不為零向量 B. 中有一部分向量

2、線性無關(guān)C. 中任意兩個向量的分量不成比例D. 中每個向量都不能由其余向量線性表示3設(shè)向量，則向量組1,2,3線性無關(guān)的充分必要條件是（ D ） A. 全不為0 B. 不全為0 C. 不全相等 D. 互不相等4. 在下列向量組中， D 是線性無關(guān)的. A,B,C,D,四、計(jì)算與證明題1. 給定向量組試判斷是否為的線性組合；若是，則求出組合系數(shù).解：設(shè)，若此方程組有解，則可寫成的線性組合，否則，不可以. 即從而.2. 討論下列向量組的線性相關(guān)性.（1）；（2）解：（1）因?yàn)?，所以，線性相關(guān).（2）所以，線性相關(guān).3. 證明：若向量組線性無關(guān)，則任一向量必可由線性表示.證：設(shè)有數(shù)，使，則；. （1

3、）因線性無關(guān)，所以，由cramer法則（1）有唯一解. 則必可由線性表示.4. 向量組線性無關(guān)，證明：向量組， 也線性無關(guān).證： 設(shè)有一組數(shù)使于是有.又因?yàn)榫€性無關(guān)，所以即，方程組只有零解. . 從而， 線性無關(guān).5. 已知向量組線性無關(guān)，且,，證明：向量組線性相關(guān).證：設(shè)有一組數(shù)使于是，又因?yàn)橄蛄拷M線性無關(guān)，所以有由Cramer法則知上述方程組有非零解，因此向量組線性相關(guān).6. 設(shè)向量組線性無關(guān), 向量組,線性相關(guān), 證明可由線性表示且表法唯一.證：因?yàn)?線性相關(guān)，所以存在不全為零的一組數(shù)，使得這里，否則存在不全為零的數(shù)，使得，這與線性無關(guān)相矛盾. 于是即可由線性表示.下證唯一性. 設(shè)（1）

4、-（2）有因線性無關(guān)，故，所以唯一性得證.作業(yè)2一、判斷題1. 若，則中任意5個向量都線性無關(guān).（ ）2已知，則能由,線性表示.（ ）3. 已知，則不能由,線性表示.（ ）4. 兩個向量組等價當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量組的秩相等. （ ）5. 向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng). （ ）二、填空題1. 設(shè)向量組可由向量組線性表出，且，則向量組的線性相關(guān)性是 線性相關(guān) .2. 設(shè)mn矩陣A的m個行向量線性無關(guān)，則矩陣的秩為 m .3. 向量組的秩為 1 .4. 向量組，的秩為 ，最大無關(guān)組為 .三、選擇題1. 若向量組可由向量組線性表示，則必有（A）.A秩秩 B秩秩 Crs Drs2. 若向量組線性無關(guān)，線性相關(guān)，則

5、（ C ）.A. 必可由線性表示 B. 必可由線性表示C. 必可由線性表示 D. 必不可由線性表示3. 設(shè)向量組（I）可由向量組（II）線性表示，則（ D ）.A. 當(dāng)時，向量組（II）必線性相關(guān) B. 當(dāng)時，向量組（I）必線性相關(guān)C. 當(dāng)時，向量組（II）必線性相關(guān) D. 當(dāng)時，向量組（I）必線性相關(guān)4. 已知，其中為非零向量，則向量組的秩( B ).A. 3 B. 3 C. =3 D. =05. 若向量組的秩為，則（ D ）.A必定 B向量組中任意小于個向量的部分組必線性無關(guān) C向量組中任意個向量必線性無關(guān) D向量組中任意個向量必線性相關(guān)6. 設(shè)向量組有兩個極大無關(guān)組(I)：；(II)：，

6、則有（ C ）成立A. r與s不一定相等 B. r+s = m C. (I)中向量可由(II)表示 ，(II)中向量可由(I)表示 ，且r =s D. r+s m 四、計(jì)算與證明題1. 求下列向量組的秩和一個最大無關(guān)組，并把其余向量用最大無關(guān)組表示出來.（1）.解：所以，向量組的秩為3，最大無關(guān)組為，且，.（2），.解：所以，向量組的秩為3，最大無關(guān)組為，且.（3）.解：所以，向量組的秩為4，最大無關(guān)組為. 2. 設(shè)，對討論向量組的秩.解：，因此，當(dāng)，向量組的秩為2，當(dāng)時，向量組的秩為3. 3. 設(shè)向量組，試確定為何值時，向量組線性相關(guān)，并在線性相關(guān)時求它的一個最大線性無關(guān)組.解：當(dāng)時，向量組

7、的秩為34，從而向量組線性相關(guān)，此時最大線性無關(guān)組為. 4. 設(shè)向量組是一組維向量，證明它們線性無關(guān)的充要條件是任一維向量都能由它們線性表示.證：必要性. 設(shè)線性無關(guān)，任取為一維向量，則線性相關(guān)（n+1個n維向量線性相關(guān)），所以可以由線性表示.充分性. 設(shè)任意n維向量都可由線性表示，則可由線性表示. 反之， 可由線性表示，從而與等價. 于是與秩相等，即線性無關(guān).補(bǔ)充題1. 設(shè)A是n階方陣，則下列結(jié)論中錯誤的是（C）.A秩(A)n BA有一個行向量是其余n-1個行向量的線性組合CA的n個列向量線性相關(guān) DA有兩行元素成比例2. 設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ A ）.A. B. C

8、. D. 3. 設(shè)向量可由向量組線性表示，但不能由向量組（I）線性表示，記向量組（II），則（ B ）.A. 不能由（I）線性表示，也不能由（II）線性表示B. 不能由（I）線性表示，但可由（II）線性表示C. 可由（I）線性表示，也可由（II）線性表示D. 可由（I）線性表示，但不可由（II）線性表示4. 設(shè)是一個4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法唯一，則向量組的秩為（C）.A1 B2 C3D45. 若矩陣經(jīng)過行初等變換化為，那么向量組的一個極大無關(guān)組是 ，其余向量由此極大無關(guān)組線性表示的表示式為 .6. 若線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則向量組的一個最大線性無關(guān)組為_.7. 設(shè)為三階矩陣，是的第個列向量，且，則= -12 .8. 設(shè)四階矩陣其中均為四維列向量，且已知行列式則行列式=