高數(shù)同濟版大一下學期期末復習

1、期末考試復習重點,1）直線與平面的位置關(guān)系,空間曲線的切線，空間曲面的 切平面,2）函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)（連續(xù)的定義）、方向?qū)?shù)、 復合函數(shù)求導（高階）、隱函數(shù)的求導與全微分、條件極值,3）二重積分的計算（直角坐標與極坐標,4）第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān) 第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式,5）數(shù)項級數(shù)收斂性判別，絕對收斂與條件收斂 冪級數(shù)的收斂域、求級數(shù)求和函數(shù),一）直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線， 空間曲面的切平面,1）設(shè),則,2）曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線,要點：I：曲面在某點處的切平面,1）設(shè)曲面方程為,第一步：計算,第二步：計算曲面的法向量,第三

2、步：分別寫出切平面和法線的方程,2）設(shè)曲面方程為,第一步：取,第二步：計算曲面的法向量,第三步：利用點法式和對稱式分別寫出切平面和法 線的方程,要點II：空間曲線的切線與法平面,1）設(shè)空間曲線 的方程,第一步：確定點,第二步：計算,第三步：利用對稱式和點法式分別寫出切線和法 平面的方程,2）設(shè)空間曲線 的方程,解,設(shè)所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,3、典型例題,例2：設(shè)直線 L 和平面 的方程分別為,則必有（,解,C,例3：求曲面,上同時垂直于平面,與平面,解：取,的切平面方程,設(shè)切點為,二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù) ，復合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全

3、微分、 條件極值,1）多元函數(shù)在某點的定義域、極限和連續(xù),要點：I：求二元函數(shù)在某點的極限,1、利用函數(shù)在一點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則,2、利用有界函數(shù)與無窮小乘積的性質(zhì),3、利用變量對換化為一元函數(shù)極限,4、利用夾逼準則與兩個重要極限,例：求下列函數(shù)的極限,解,求極限,解,求極限,1）多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù),要點：I：求二元函數(shù)在某點的極限,二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù) ，復合函數(shù)求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、 條件極值,1）多元函數(shù)的定義域、在某點的極限、連續(xù),要點：II：用定義求二元函數(shù)在某點的偏導數(shù),二）多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù) ，復合函數(shù)

4、求導（高階），隱函數(shù)的求導和全微分、 條件極值,典型例題,例1：設(shè),求,解,典型例題,例2：設(shè),求,解,典型例題,例3：設(shè),求,解,二元函數(shù)的連續(xù)性,要點：III：多元函數(shù)的連續(xù)性,2) 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性,例： 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性,解,取,其值隨k的不同而變化,極限不存在,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù),2）方向?qū)?shù)、復合函數(shù)求導（高階）、 隱函數(shù)的求導、多元函數(shù)的微分,要點：I、方向?qū)?shù) II ：二元抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算,III ：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算,例1：設(shè),答案,IV ：多元函數(shù)全微分的計算,例:(1)函數(shù) 在點 處沿哪個方向,的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?shù)的

5、最大值,例1：設(shè),例3：設(shè),求,例3：設(shè),求,解,z,x,y,u,x,y,u,例4：設(shè),答案,要點：I、方向?qū)?shù) II ：二元抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算,III ：隱函數(shù)的偏導數(shù)的計算,IV ：多元函數(shù)全微分的計算,2）方向?qū)?shù)、復合函數(shù)求導（高階）、 隱函數(shù)的求導、多元函數(shù)的微分,例3：設(shè),是由方程,解：兩邊取全微分,所確定的二元函數(shù)，求,整理并解得,例3：設(shè),是由方程,解：兩邊取全微分,所確定的二元函數(shù)，求,整理并解得,拉格朗日乘數(shù)法,1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù),2）聯(lián)解方程組，求出問題 1 的所有可能的極值點,問題 1：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) =

6、 0 下的極值（稱為條件極值問題,3）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題 中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷,3） 條件極值,例1：在橢球面,上，求距離平面,的最近點和最遠點,解：設(shè) ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點,則該點到平面的距離為,問題1：在約束條件,下，求距離 d 的最大最小值,由于 d 中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題 1 轉(zhuǎn)化為下面的等價問題,問題2：在條件,下，求函數(shù),的最大最小值,1）作拉格朗日函數(shù),2）聯(lián)解方程組,1）作拉格朗日函數(shù),2）聯(lián)解方程組,求得兩個駐點,對應(yīng)的距離為,3）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距 離和最遠距離均存在。所以,最近

7、距離為,最遠距離為,三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標,重點內(nèi)容,1）二重積分在直角坐標下的計算,答案,例1：計算二重積分,答案,三、二重積分的計算（直角坐標、極坐標,重點內(nèi)容,2）二重積分中二次積分的交換次序,答案,例2：試證,解,積分區(qū)域分為兩塊,例2：試證,證明：畫出積分區(qū)域 D,由圖可知 D 又可以寫成 X 型區(qū)域,3）利用極坐標計算二重積分,再根據(jù) D 的極坐標表示，將極坐標下的二重積分 化為累次積分,例3:計算,由直線 y = x 及曲線,所圍平面區(qū)域,4）利用對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算二重積分,在二重積分的計算過程中，要注意對稱性,例5：計算,其中 D 由直線 y = x ,

8、 y = 1 , 及x = 1 所圍平面區(qū)域,解,5）三重積分在直角坐標系中“先二后一”的計算方法,例6,提示,再對,用“ 先二后一 ” 的方法計算,并用對稱性給出另外兩項的結(jié)果,例7,提示：利用對稱性、被積函數(shù)奇偶性及 “先二后一” 法,6）利用柱面坐標計算三重積分,例8,繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而成曲面與平面 z = 8 所圍空間立體,四、第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)、 第一、二類曲面積分、格林公式、高斯公式,1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計算方法,2）基本公式,格林公式,高斯公式,主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分,主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分,3）基本應(yīng)用,格林公式和高斯

9、公式的兩類典型應(yīng)用題,2. 平面曲線積分,封口法 ” 和 “ 挖洞法,與路徑無關(guān),在單連通區(qū)域 G 內(nèi),4）基本計算技巧,1. 利用對稱性,2. 利用曲線或曲面方程化簡被積函數(shù),3. 利用關(guān)系式,將對不同的坐標的曲面積分化為同一個曲面積分,4. 利用積分與路徑無關(guān)，適當改變積分路徑，簡 化平面曲線積分,例1：設(shè)橢球面,的表面積為a，則,20a,提示：利用曲面方程及對稱性,例2：設(shè),則,提示：利用曲線方 程及對稱性,0,例3,提示：利用高斯公式及 橢球體的體積,例4：設(shè) f (x) 在 ( 0 , + ) 上有連續(xù)的導數(shù)，L 是由點,提示：利用積分與路徑無關(guān)，并取新路徑,A ( 1 , 2 )

10、到點 B ( 2 , 8 ) 的直線段，計算,30,例5：計算,由拋物面,與圓柱面,及坐標面在第一卦限中所圍曲面外側(cè),提示：利用高斯公式及（三重積分）柱面坐標,例6：計算,再由坐標原點沿 x 軸到 B (2 , 0,解,其中，L 為由點 A (1 , 1) 沿曲線,到坐標原點,分析：應(yīng)用格林公式,補充,五、數(shù)項級數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對收斂、 冪級數(shù)的收斂域，冪級數(shù)求和函數(shù),1）數(shù)項級數(shù)收斂性判別,1. 正項級數(shù),比較判別法，比值判別法，根值判別法， 收斂的必要條件,幾何級數(shù)、P 級數(shù)和調(diào)和級數(shù),2. 交錯級數(shù),萊布尼茨定理,3. 任意項級數(shù),絕對收斂和條件收斂,任意項級數(shù),收斂性判斷的一

11、般步驟,1）檢驗,3）用正項級數(shù)審斂法檢驗,是否收斂,則原級數(shù)絕對收斂，從而收斂,4）若,發(fā)散,但是用比值或根值法判斷的,則原級數(shù)也發(fā)散,是否成立,若否，則原級數(shù)發(fā)散,若是或,難求，則進行下一步,若是,否則，進行下一步,2）若原級數(shù)為正項級數(shù)或交錯級數(shù)，則可用正項級數(shù) 或萊布尼茨判別法檢驗其收斂性，否則進行下一步,5）用性質(zhì)或其它方法,2）冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域,求冪級數(shù),1）利用極限,2）判定冪級數(shù)在端點,確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間,處的收斂性,收斂域的一般步驟,3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點,說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項,2）對冪級數(shù),要先做變換,3）求冪級數(shù)的和函數(shù),求冪級數(shù)

12、,1）利用極限,2）判定冪級數(shù)在端點,確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間,處的收斂性,收斂域的一般步驟,3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點,說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項,2）對冪級數(shù),要先做變換,性質(zhì)3：冪級數(shù),逐項積分后所得級數(shù),的和函數(shù) s (x) 在收斂域 I,上可積,并有逐項積分公式,其收斂半徑與原級數(shù)相同,3）求冪級數(shù)的和函數(shù),性質(zhì)4：冪級數(shù),逐項求導后所得級數(shù),的和函數(shù) s (x) 在收斂區(qū)間,內(nèi)可導,并有逐項求導公式,其收斂半徑與原級數(shù)相同,說明：求和函數(shù)一定要先求收斂域,典型例題,例1：若冪級數(shù),在 x = - 2 處收斂,則此冪級數(shù)在 x = 5 處（,A）一定發(fā)散。（B）一定條件收