量子力學(xué)第一章態(tài)矢量

1、精選資料，歡迎下載序章基本背景知識1. 量子力學(xué)的基本要素是：態(tài)（狀態(tài)）、演化、可觀測量（力學(xué)量）、觀測行為（簡單解說：粒子在任一時刻都具有一個狀態(tài)，粒子具有的某些可測量的性質(zhì)（位置、動量、角動量、自旋，etc ）稱為可觀測量，而測量粒子的這些性質(zhì)的過程就是觀測行 為，俗稱“做實驗”）2. 初等量子力學(xué)的任務(wù)是：（1）預(yù)測對一個系統(tǒng)（“態(tài)”）進(jìn)行實驗（“觀測”）得到的實驗結(jié)果（觀測結(jié)果）（2）尋找“態(tài)”隨時間的演化規(guī)律3. 從舊量子論到現(xiàn)代量子力學(xué)：（1）普朗克能量量子化假設(shè)（1900年）（3）光的波粒二象性（1909年）（5）斯特恩-蓋拉赫實驗（1922年）（6）德布羅意假設(shè)：物質(zhì)波假說，粒

2、子動量（2）愛因斯坦光量子假說（1905年）（4）玻爾模型（1913年）p = k （ 1924 年）（7）烏倫貝克-古茲米特自旋假說；泡利不相容原理；海森堡 -矩陣力學(xué)（1925年）（8）薛定諤-波動力學(xué)（1926年）波函數(shù)統(tǒng)計詮釋:2普是概率密度函數(shù),2汀 dx =1 （ 1926 年）（9）海森堡不確定性原理；玻爾的互補原理：觀測影響狀態(tài)（1927年）（10）態(tài)疊加原理；量子力學(xué)原理（狄拉克，1930年）4.量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的比較:量子力學(xué)經(jīng)典力學(xué)研究對象在t時刻的位置無法確定只能確定在x x十dx的出現(xiàn)概率可以確定t時刻的動量和速度無法確定，速度無意義只能確定具有p p +dp的概率

3、且不可冋時確疋位置和動量位置、動量和速度同時確定研究對象的狀態(tài)的描述波函數(shù)（復(fù)函數(shù)）或態(tài)矢量|甲）（復(fù)矢量）r（t）, p（t ）（實矢量函數(shù)）狀態(tài)的演化方程薛定諤方程（復(fù)系數(shù)方程）牛頓第二定律（實系數(shù)方程）觀測行為會影響對象（只有時間測量不影響）不會影響對象測量精度受不確定性原理限制且“某些”量無法同時測定可達(dá)到任意高可以同時測定所有物理量預(yù)測的測量結(jié)果某個結(jié)果出現(xiàn)的概率確定的值實際的測量結(jié)果確定的值或可能取值的統(tǒng)計平均確定的值*量子力學(xué)的測量：在量子領(lǐng)域，在實驗中通常事先準(zhǔn)備好大量具有相同狀態(tài)7的粒子（這稱為系綜（esemble ）,同時測量它們的物理量Q,然后考察統(tǒng)計平均值 （Q）。這是

4、由于測量行為會直接改變粒子的狀態(tài)（所謂的“坍縮”），導(dǎo)致重復(fù)實驗的結(jié)果平均值失去意義（一旦某粒子坍縮到了狀態(tài)A,之后的一切實驗結(jié)果也都只會是A）關(guān)于力學(xué)量測量結(jié)果的詳細(xì)討論，見第三章*不確定性原理：位置和動量無法同時確定，嚴(yán)格來說是指其之一的測量標(biāo)準(zhǔn)差可以任意地大以至于無法確定真實結(jié)果，這是不確定性原理的結(jié)果，詳見第二章第7節(jié)第一章態(tài)矢量和態(tài)空間本章提要：本章討論量子力學(xué)的研究對象一一態(tài)矢量和態(tài)空間。沿著三維實空間T復(fù)空間T內(nèi)積空間&函數(shù)空間T無窮維空間的路線，將三維線性空間中的向量展開、矩陣形式、坐標(biāo)、 基、內(nèi)積、長度、正交性等概念推廣到高維向量空間及函數(shù)空間，最后再到無窮維空間。然 后介紹

5、態(tài)矢量的相關(guān)性質(zhì)。在這過程中，引入了簡潔的狄拉克符號重新表示這些概念。最后給出量子力學(xué)第一條公設(shè)作為總結(jié)。1. 態(tài)矢量：狄拉克指出粒子的量子態(tài)滿足疊加原理。在經(jīng)典物理學(xué)，用向量來描述符合疊加原理的物理量（如電場強(qiáng)度、力 ）是慣用的做法。疊加原理適用于任何線性空間，于是，考慮在向量空間（又稱線性空間）中處理量子力學(xué)。簡單來說，用一個稱為態(tài)矢量的矢 量來描述粒子的狀態(tài)，一般記作 I甲）?？紤]到波函數(shù)是復(fù)變函數(shù)，它應(yīng)該是一個復(fù)矢量。 在介紹量子力學(xué)使用的數(shù)學(xué)空間（希爾伯特空間）前，先來回顧線性代數(shù)的基本理論： 實線性空間的定義：見同濟(jì)高數(shù)第六章第一節(jié) 復(fù)線性空間的定義：在上述定義基礎(chǔ)上，把條件改寫成

6、（復(fù)數(shù)域）2. 三維實線性空間：三維實向量全體構(gòu)成三維實線性空間，為我們所熟知的空間3 向量的展開：一個向量二可以被表示為=aca2e2a3e= xaiei，其中ei稱為基=i（向量），a R稱為向量:-在基e下的坐標(biāo)。需要指出這樣的分解是唯一的。.T 向量的矩陣表示：一個向量 o還可以被表示為一個列矩陣，a =（印 a2 a3）注意矩陣表示中不出現(xiàn)基向量 基：空間里的一組向量構(gòu)成基向量組的條件是（1）這組向量線性無關(guān)（2）任一向量在這組基下的坐標(biāo)是唯一的 維數(shù)：空間的維數(shù)是最大基向量組中向量的個數(shù)_3 點積：又稱數(shù)量積，兩個向量的點積被定義為= afy a2b2 a3b = x aib，它也

7、i =1有矩陣形式，-;點積（內(nèi)積）具有的性質(zhì)是（同濟(jì)線代第五版P111） 向量的長度：定義 |aj = a G為模長。特別地，若|可=1，稱其為單位向量 垂直：上=0時稱兩個向量垂直。至此可對直角坐標(biāo)系的常用基下精確定義：如果基 向量組內(nèi)任意兩向量滿足 u =.j，就稱為這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基，比如;x y, z3. 三維復(fù)線性空間：在基礎(chǔ)上，在標(biāo)量乘向量的規(guī)則中允許標(biāo)量為復(fù)數(shù)，這時向量也就成為復(fù)向量（坐標(biāo)是復(fù)數(shù)的矢量），這樣就得到三維復(fù)線性空間。這時，要注意引入復(fù)共軛帶來的變化4. 復(fù)線性空間：現(xiàn)在考慮 n維復(fù)線性空間，把這空間里的一個矢量記作，稱為右矢主要性質(zhì)：在此列舉幾條重要性質(zhì)（乙w C

8、）(1)円耳卡)=卩)(2)|a)+(f)+|Y)=(|cc)+|B)片 |丫)(3) z(|a)=耳口+z(4) (z + w ja) = z陰 + 呵口 (5) z(wa) )= (zw)a)(6)展開：=z| dj +. +厶dn) , dip稱為基，乙稱為坐標(biāo)矩陣表示：G)= a (z|.Zn )5. 內(nèi)積空間：現(xiàn)在我們在里定義內(nèi)積，它可看作中兩個復(fù)向量 卜）和問的點積”n 內(nèi)積定義：定義運算：=、 aibi，若運算滿足下列四條性質(zhì)就稱為內(nèi)積（1）何門=（0|町（2）叫（z 0）+w Y” =z（口 |耳+誠叩（3）何0 且何 a） =0= |a）=0 （ 4） |zB） =z（a|B

9、）,（別 B） = Z*叫 0） 范數(shù)：仿照中向量長度的定義，定義（廣義的）長度 lall=7FH =稱為范數(shù)（norm），若=1就稱為單位向量/標(biāo)準(zhǔn)化向量（normalized vector） 正交性：仿照中向量垂直關(guān)系的定義，定義（廣義的）垂直 （。|= 0 ,稱為正交至此可定義兩矢量標(biāo)準(zhǔn)正交（ ortho normal ）的條件：（e ej=q從這 向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下展開：我們在高中就知道向量用標(biāo)準(zhǔn)正交基展開是非常簡便的，一節(jié)開始往后，凡是涉及到向量展開，都只討論在標(biāo)準(zhǔn)正交基召下的展開 對偶空間：之前提到復(fù)空間中引入了復(fù)共軛操作，現(xiàn)在就來討論它。對復(fù)數(shù)z取共軛得到共軛復(fù)數(shù)z*，那么對復(fù)矢

10、量取共軛應(yīng)該也得到共軛向量?？梢宰C明，完備內(nèi)積空間 內(nèi)的每個右矢的共軛向量構(gòu)成一個，這空間稱為對偶空間，且對偶空間與原空間同構(gòu)(即兩空間的向量對應(yīng)) 左矢：不妨稱右矢的復(fù)共軛為左矢。但是，若我們再把右矢的矩陣表示考慮進(jìn)來，知道右矢可表示為一 n列矩陣，內(nèi)積是一個數(shù)，則左矢應(yīng)該要表示為一 n行矩陣。綜合轉(zhuǎn)置和共軛 的要求，重新定義：左矢為右矢的共軛轉(zhuǎn)置，記作(| = )*【=|口) + 左矢和右矢的理論綜述：(1 )左矢和右矢的關(guān)系：左矢為右矢的共軛轉(zhuǎn)置，記作(叫=ct)*=卜)+(2) 左右矢的展開：卜)=a1|el)+. + an|eh，何=a*(ej+ + &：($ , (e|ej=(3)

11、 左右矢和范數(shù)的矩陣表示：卜)=口=(耳.an，何=(a* . a；)+ n 2貝y (a a) = a a =送 aii=1n(4) 內(nèi)積的矩陣表示:=瓦a*bi = a+p,當(dāng)I p)=旬0)+ . + 0何i#nn(5) 向量在標(biāo)準(zhǔn)基下的坐標(biāo)：送 Ck“ , Ci=e| ；(Y|=瓦 c；(ek , c*=Y|ej)k=1k=1nn(6) 兩個常用投影形式：=送eG 打,=送ej/(eji=ij =i6. 函數(shù)空間：波函數(shù)是復(fù)變函數(shù)，且根據(jù)玻恩的統(tǒng)計詮釋，它還是(模)平方可積的。我們先不詳細(xì)研究波函數(shù)，考察所有平方可積函數(shù) (它們顯然滿足加法和標(biāo)量乘規(guī)則)構(gòu)成的復(fù)線性空間(暫不討論定義域

12、)，并試圖按內(nèi)積的四條性質(zhì)給函數(shù)定義“函數(shù)的內(nèi)積”(你可以把函數(shù)理解為：在第x (比如2.3 )個基方向上坐標(biāo)恰為 f x 分量式中指標(biāo)i可取一切正實數(shù) 的無窮維向量，雖然這說法不嚴(yán)密，但它能幫助你更快理解后幾章的內(nèi)容）n 函數(shù)的內(nèi)積：仿照向量的內(nèi)積.八a*b，不妨定義函數(shù)內(nèi)積為f,g二f*gdx一水2這樣就要求范數(shù)平方（f, f ）= J f fdx = f dx可積，從而去掉了所有平方不可積的函數(shù) 函數(shù)的正交性：f ,g =0稱兩函數(shù)正交，這概念已經(jīng)與“垂直”無關(guān)2 函數(shù)的歸一化：f j：；f, f j ：、| f fdx = f dx =1稱函數(shù)可歸一化于是一族正交歸一的函數(shù) :fi :

13、定義如下： , fj二.ffjdx二rQO 函數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)正交基下展開：f二 Cigii =17. 無窮維希爾伯特空間：定義在復(fù)數(shù)域上的、完備的、無窮維內(nèi)積空間，就是量子力學(xué)所要求的空間，又稱態(tài)空間。 態(tài)矢量的基本概念：（1）定義：態(tài)矢量是態(tài)空間中的矢量，描述粒子的一個狀態(tài)（量子態(tài)）（2） 狄拉克符號：把 V稱為右矢（ket） ，/ u稱為左矢（b，合起來就是I： u V，表示內(nèi) 積左右矢關(guān)系：口） 丁 =卜）：物理上稱兩量子態(tài)共軛（3）范數(shù)：規(guī)定 M = i，這是因為（甲岸）=（甲,甲）=1 （見第三章第三節(jié)）（4） 相位：規(guī)定Z甲）和|甲描述粒子的同一個狀態(tài)，由范數(shù)要求知，但相位無影 響（5）

14、態(tài)矢量的展開：這個問題涉及到表象的相關(guān)理論，將在第三章討論 第一公設(shè) 量子態(tài)公設(shè)：量子系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)（量子態(tài)）可以由無限維希爾伯特空間中一個范數(shù)為1的態(tài)矢量|甲）來描述，這態(tài)矢量完整地給出系統(tǒng)的所有信息，并且遵守態(tài)疊加原理8. （附錄）完備性：從內(nèi)積空間到我們的目標(biāo)， 希爾伯特空間，它們之間只相隔一個完備性?，F(xiàn)在就從數(shù)學(xué)觀點來討論什么是完備性。（1）向量集的完備性：若一組標(biāo)準(zhǔn)正交矢量g f并不包含在一個比它更大的標(biāo)準(zhǔn)正交矢量集合中，就稱這標(biāo)準(zhǔn)正交矢量集是完備的，簡稱完備基。換而言之，在有限維向量空間中，若標(biāo)準(zhǔn)正交矢量集的元素數(shù) =空間維數(shù)，就一定是完備的性質(zhì)：向量空間中的任意向量都可用同

15、一組完備基展開（或“一組完備基生成這個空間”）對一個空間來說，完備基的選擇不是唯一的示例：在 中，9, y是標(biāo)準(zhǔn)正交矢量集但不完備（包含于*?,訂，無法展開帶z分量的向量），&, ?, 才是一個完備基，乜?, ?也是完備基（2）內(nèi)積空間的完備性：數(shù)學(xué)上對空間完備性的定義是一一空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內(nèi)。有限維內(nèi)積空間都是完備的（證明見泛函分析）；數(shù)學(xué)上把一切完備內(nèi)積空間統(tǒng)稱為希爾伯特空間，記作。無窮維內(nèi)積空間中，只有希爾伯特空間是完備的（3） 函數(shù)系的完備性：函數(shù)空間中有一標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系g/，若對任何連續(xù)函數(shù) f，都有于名0,三N, M =fCigi2dx ：；，就稱9i 是完備的，簡稱完備基性質(zhì)：任意連續(xù)函數(shù) f都可用同一完備基展開，即QOf：Cigi（條件為