平穩(wěn)隨機信號

1、3 平穩(wěn)隨機信號通過線性系統(tǒng),3.1 典型的隨機過程,1、白噪聲,白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù),平穩(wěn)白噪聲功率譜密度,白噪聲樣本函數(shù)波形,白噪聲相關(guān)系數(shù),2、正態(tài)隨機過程,如果一個隨機過程X(t)的任意n維分布都服從正態(tài)分布， 則稱該隨機過程為正態(tài)隨機過程,一維分布,特征函數(shù),設(shè)X(t)是正態(tài)隨機過程，若有 則X(t)稱為廣義平穩(wěn)正態(tài)過程,平穩(wěn)正態(tài)過程,性質(zhì),對于正態(tài)隨機過程而言，廣義平穩(wěn)與嚴(yán)格平穩(wěn)等價； 不相關(guān)與獨立等價,一般平穩(wěn)正態(tài)噪聲與信號之和為非平穩(wěn)的正態(tài)過程,若平穩(wěn)正態(tài)過程具有均勻的功率譜密度，則稱此 過程為平穩(wěn)正態(tài)白噪聲。滿足,例1、設(shè)隨機過程 ， 其中A、B是兩個獨立的正態(tài)隨機

2、變量，且有 ， ， 為常數(shù)，求此過程的一維概率密度,例2、一零均值高斯過程X(t)，其協(xié)方差函數(shù)為： 求在時刻t1=0、t2=1、t3=2抽樣的三維概率密度,3.2 隨機信號通過線性系統(tǒng)分析 微分方程法； 沖擊響應(yīng)法； 頻譜法； 3.3 白噪聲通過線性系統(tǒng),1、 沖激響應(yīng)法,h(t,X(t,Y(t,若X(t)平穩(wěn),均值,系統(tǒng)的輸出,互相關(guān)函數(shù),若X(t)平穩(wěn),當(dāng)輸入X(t)為白噪聲，系統(tǒng)的輸出,系統(tǒng)h(t,X(t,互相關(guān)函數(shù) 測量,系統(tǒng)辨識結(jié)構(gòu)圖,自相關(guān)函數(shù),若X(t)平穩(wěn),輸入輸出相關(guān)函數(shù)關(guān)系圖,平穩(wěn)情況,2頻譜法,輸入輸出相關(guān)函數(shù)關(guān)系圖,3 平穩(wěn)性討論 (1)若輸入X(t)平穩(wěn)，h(t)在

3、(-，+ )存在，則輸出Y(t)平穩(wěn)，且與X(t)聯(lián)合平穩(wěn)； (2)對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，即當(dāng)t0時，h(t)=0， 且假定輸入X(t)平穩(wěn)。 若輸入從-加入(雙側(cè)隨機信號,結(jié)論：輸出平穩(wěn)，若X(t)遍歷，則Y(t)遍歷,若輸入從t=0時加入，(單側(cè)隨機信號,結(jié)論：輸出不平穩(wěn),例1 如圖所示的RC電路，輸入為零均值的平穩(wěn)隨機過程, 且相關(guān)函數(shù)為 求輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù),思考題： 相互獨立的隨機電壓信號X1(t)和X2(t)施加于 RC網(wǎng)絡(luò)。電路中電阻無噪，已知 求系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度,3.3 白噪聲通過線性系統(tǒng) 白噪聲通過積分系統(tǒng),相關(guān)函數(shù),功率譜密度,相關(guān)時間,白噪聲通過微分系

4、統(tǒng),功率譜密度,相關(guān)函數(shù),白噪聲通過理想低通系統(tǒng),H(),K0,相關(guān)函數(shù),輸出功率,輸出功率譜,理想低通隨機過程的自相關(guān)函數(shù),理想低通隨機信號,相關(guān)時間,相關(guān)系數(shù),白噪聲通過高斯型帶通系統(tǒng),0,輸出功率譜,相關(guān)函數(shù),輸出功率,高斯型帶通隨機過程的自相關(guān)函數(shù),參量正比與系統(tǒng)帶寬，故相關(guān)時間與反比,相關(guān)時間,相關(guān)系數(shù),3.4 隨機序列通過離散線性系統(tǒng) 等效噪聲帶寬 隨機序列通過離散線性系統(tǒng) 時間序列模型,1： 噪聲等效通能帶(等效噪聲帶寬,0,等效原則：理想系統(tǒng)與實際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵下， 兩個系統(tǒng)的輸出平均功率相等，且理想系統(tǒng)的增益為 實際系統(tǒng)的最大增益,對于可實現(xiàn)系統(tǒng)，由帕斯瓦爾定理,對于帶

5、通系統(tǒng),離散系統(tǒng),可實現(xiàn)系統(tǒng),低通,性質(zhì)： (1)噪聲等效通能帶只由線性系統(tǒng)特性確定,3)當(dāng)線性系統(tǒng)的形式及級數(shù)確定后，噪聲等效通能帶 與3dB帶寬有確定關(guān)系，級數(shù)越高，兩者越接近,例1 低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為 求系統(tǒng)噪聲等效通能帶,例2離散時間系統(tǒng)的差分方程為 求系統(tǒng)噪聲等效通能帶,2: 隨機序列通過離散線性系統(tǒng),系統(tǒng)輸出,系統(tǒng)描述,均值,若X(n)平穩(wěn),相關(guān)函數(shù),若X(n)平穩(wěn),功率譜密度,若用z變換表示,則,例3：設(shè)一個平穩(wěn)隨機序列X(n)的自相關(guān)函數(shù)為 ，線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是 求輸出Y(n)的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度,3: 常用時間序列模型,式中X(n)為零均值、方差為2的平穩(wěn)白

6、噪聲，模型稱為自回歸滑動平均模型，用ARMA(N,r)表示,1、時間序列模型 許多隨機序列可以看成是典型的白噪聲序列激勵一個線性 系統(tǒng)所產(chǎn)生的，一般表示式為,當(dāng)系數(shù) 均為零時,模型稱為自回歸模型（Autoregressive），用AR(N)表示,若模型系數(shù)多項式,的根全在單位圓內(nèi)，即其根的模都小于1，則AR(N)模型 是平穩(wěn)的,當(dāng)系數(shù) 均為零時,模型稱為滑動平均模型(Moving Average)，用MA(r)表示,若模型系數(shù)多項式,的根全在單位圓內(nèi)，即其根的模都小于1，則MA(r)模型 是可逆的,例4 設(shè)有如下差分方程描述的離散線性系統(tǒng)， X(n)=aX(n-1)+W(n) 系統(tǒng)如圖所示，其中W(n)為平穩(wěn)白噪聲，方差為2，模型所產(chǎn)生的隨機過程稱為AR過程，求一階AR過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜,例5:設(shè)有如下差分方程描述的離