1-4 條件概率、乘法公式

1、1.4條件概率、乘法公式一、條件概率二、乘法定理三、全概率公式與貝葉斯公式四、小結(jié)一、條件概率1. 引例 將一枚硬幣拋擲兩次 ,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設(shè)事件 A為 “至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”. 現(xiàn)在來求已知事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率.分析 設(shè) H 為正面 , HT為反面TT .2 14 2事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率,記為P(B A), 則 P( B A) =13=1 43 4=P( AB)P( A) P( B).A = HH , HT ,TH , B = HH ,TT , P( B) = = .S = HH , TH , .2. 定義

2、設(shè) A, B 是兩個事件 ,且 P( A) 0,稱P( B A) =P( AB)P( A)為在事件 A 發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的條件概率.同理可得P( A B) =P( AB)P( B)為事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率.3. 性質(zhì)(1) 非負性 : P ( B A) 0;(2) 規(guī)范性 : P ( S B) = 1, P( B) = 0;(3) P(A U A2 B) = P(A B) + P(A2 B) P(A A2 B);(4) P ( A B) = 1 P( A B)., B件 , 則有 i =1 i =1(5)可列可加性 : 設(shè) B1 2 , L是兩兩不相容的事1 1

3、 1 P U Bi A = P ( Bi A).二、 乘法定理設(shè) P( A) 0, 則有P( AB) = P( B A)P( A).設(shè) A, B, C 為事件,且 P( AB) 0, 則有P( ABC ) = P (C AB)P( B A)P( A).推廣 設(shè) A1 , A2 ,L, An 為 n 個事件, n 2,且 P( A1 A2 L An1 ) 0, 則有P( A1 A2 L An ) = P ( An A1 A2 L An1 ) P( An1 A1 A2 L An 2 ) L P ( A2 A1 )P( A1 ).例1 一盒子裝有4 只產(chǎn)品, 其中有3 只一等品、1只二等品. 從中取

4、產(chǎn)品兩次, 每次任取一只, 作不放回抽樣. 設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品” 、事件B 為“第二次取到的是一等品”試求條件概率 P(B|A).解 將產(chǎn)品編號, 1, 2, 3 為一等品 ; 4 號為二等品 .以 (i , j ) 表示第一次、第二次分 別取到第 i 號、第j 號產(chǎn)品, 則試驗的樣本空間為S = (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) ,L,(4,1), (4,2), (4,3),A = (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),(3,1), (3,2), (3,4),AB = (1,2), (1

5、,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2),由條件概率的公式得P( B A) =P( AB)P( A)=6 129 1223= .例2 某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物, 問它能活到25歲以上的概率是多少?解設(shè) A 表示“ 能活 20 歲以上 ” 的事件，B 表示 “ 能活 25 歲以上”的事件,則有P( B A) =P( AB)P( A).因為 P( A) = 0.8, P( B) = 0.4,P( AB) = P ( B),所以 P( B A) =P( AB)P( A)0.4 10.8 2=

6、= .抓鬮是否與次序有關(guān)?例3 五個鬮, 其中兩個鬮內(nèi)寫著“有”字， 三個鬮內(nèi)不寫字 ，五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解 設(shè) Ai 表示“第 i 人抓到有字鬮”的事件 ,i = 1,2,3,4,5.25P( A ) = P( A S) = P( A2 I ( A U A )則有 P ( A1 ) = ,2 2 1 1= P( A A U A A ) = P( A1 A2 ) + P( A1 A2 )= P ( A1 )P ( A2 A1 ) + P ( A1 )P( A2 A1 )2 1 3 25 4 5 425P ( A3 ) = P ( A3 S ) = P ( A3

7、( A1 A2 U A1 A2 U A1 A2 )= P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )1 2 1 2= + = ,= P( A )P( A2 A )P( A3 A A2 ) + P( A )P( A2 A )P( A3 A A2 )+ P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )2 3 1 3 2 1 3 2 25 4 3 5 4 3 5 4 3故抓鬮與次序無關(guān).25251 1 1 1 1 1= + + = ,依此類推 P( A4 ) = P( A5 ) = .摸球試驗例4 設(shè)袋中裝有 r 只紅球、t 只白球.每次自袋中

8、任取一只球 , 觀察其顏色然后放回 , 并再放入 a只與所取出的那只球同色 的球, 若在袋中連續(xù)取球四次, 試求第一、二次取到紅 球且第三、四次取到白球的概率 .解 設(shè) Ai (i = 1,2,3,4) 為事件“第 i 次取到紅球”則 A3 、 A4 為事件第三、四次取到白球 .因此所求概率為P ( A1 A2 A3 A4 )= P( A4 A1 A2 A3 )P ( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 )=t + a t r + a rr + t + 3a r + t + 2a r + t + a r + t.此模型被波利亞用來作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.例5 設(shè)某光學(xué)儀器廠制

9、造的透鏡, 第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解 以Ai (i = 1,2,3)表示事件透鏡第 i 次落下打破,以B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”.因為 B = A1 A2 A3 ,所以 P( B) = P( A1 A2 A3 )= P( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 )= (1 910)(1 710123200.)(1 ) =三、全概率公式與貝葉斯公式1. 樣本空間的劃分, BE 的一組事件 ,若(i) Bi B j = ,

10、i j, i , j = 1, 2,L, n;(ii) B1 U B2 U L U Bn = S ., BB 3B 2B 1L B n 1 B n定義 設(shè) S 為試驗E的樣本空間, B1 2 ,L, Bn 為則稱 B1 2 ,L, Bn 為樣本空間 S 的一個劃分 .2. 全概率公式定理設(shè)試驗 E 的樣本空間為 S , A 為 E 的事件 ,B1 , B2 ,L , Bn為 S 的一個劃分 ,且 P ( Bi ) 0(i =1, 2,L , n), 則P ( A) = P ( A B1 ) P ( B1 ) + P ( A B2 ) P ( B2 ) + L+ P ( A Bn ) P ( B

11、n )全概率公式證明A = AS = A I ( B1 U B2 U L U Bn )= AB1 U AB2 U L U ABn .由 Bi B j = ( ABi )( AB j ) = P( A) = P( AB1 ) + P( AB2 ) + L + P( ABn )= P(AB )P(B ) + P(AB2)P(B2) +L+ P(ABn)P(Bn).圖示B2B3AL Bn1B1Bn化整為零各個擊破1 1說明 全概率公式的主要用處在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.B2AB1B3L Bn1Bn例6 有一批同一型號

12、的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30% ，二廠生產(chǎn)的占 50% ，三廠生產(chǎn)的占 20%，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2% ， 1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?解設(shè)事件 A 為“任取一件為次品”,事件 Bi 為“任取一件為 i 廠的產(chǎn)品 ” , i = 1, 2, 3.B1 U B2 U B3 = S ,Bi B j = , i , j = 1,2,3.30% 2%1%1%50%20%S由全概率公式得P(A) = P(AB )P(B ) + P(AB2)P(B2) + P(AB3)P(B3).P ( B1 ) = 0.3, P ( B2 ) = 0.5, P ( B3 )

13、 = 0.2,P( A B1 ) = 0.02, P( A B2 ) = 0.01, P( A B3 ) = 0.01,故 P(A) = P(AB )P(B ) + P(AB2)P(B2) + P(AB3)P(B3)= 0.02 0.3 + 0.01 0.5 + 0.01 0.2 = 0.013 .1 11 13. 貝葉斯公式定理設(shè)試驗 E 的樣本空間為 S . A為 E的事件 , B1B2 ,L, Bn 為 S 的一個劃分 ,且 P ( A) 0, P ( Bi ) 0,(i = 1,2,L, n), 則P ( Bi A) =nP ( A Bi ) P ( Bi ) P ( B, i = 1

14、,2,L, n.稱此為貝葉斯公式.j =1 P ( A B j j )證明P( Bi A) =P( Bi A)P( A)=nP ( A Bi ) P ( Bi ) P ( B, i = 1,2,L, n.j =1 P ( A B j j )例7 某電子設(shè)備制造廠所用 的元件是由三家元件制造廠提供的.根據(jù)以往的記錄有以下 的數(shù)據(jù) :元件制造廠123次品率0.020.010.03提供元件的份額0.150.800.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在 倉庫中是均勻混合的 ,且無區(qū)別的標志.(1) 在倉庫中隨機地取一只 元件 ,求它是次品的概率;(2) 在倉庫中隨機地取一只 元件 , 若已知取到的是次品, 為分析

15、此次品出自何廠 , 需求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別 是多少 . 試求這些概率 .解 設(shè) A 表示“取到的是一只次品”, Bi (i = 1,2,3)表示“所取到的產(chǎn)品是由第 i 家工廠提供的”.則B1 , B2 , B3 是樣本空間 S 的一個劃分 ,且P ( B1 ) = 0.15,P( B2 ) = 0.80,P( B3 ) = 0.05,P ( A B1 ) = 0.02,P( A B2 ) = 0.01,P ( A B3 ) = 0.03.(1) 由全概率公式得P( A) = P( A B1 )P(B1 ) + P( A B2 )P(B2 ) + P( A B3 )P(B3 )=

16、 0.0125.(2) 由貝葉斯公式得P( B1 A) =P( A B1 )P( B1 )P( A)=0. 02 0. 150.0125= 0.24.P( B2 A) =P( B3 A) =P ( A B2 )P ( B2 )P( A)P ( A B3 )P ( B3 )P( A)= 0.64,= 0.12.故這只次品來自第 2 家工廠的可能性最大 .例8 對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表 明 , 當機器調(diào)整得良好時 , 產(chǎn)品的合格率為 98% , 而當機器發(fā)生某種故障時 ,其合格率為 55% . 每天早上機器開動時 , 機器調(diào)整良好的概率為 95%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格 品時 , 機器調(diào)整得

17、良好的概率是多少 ?解 設(shè) A 為事件“產(chǎn)品合格”,B 為事件“機器調(diào)整良好”.則有P ( A B ) = 0.98,P ( A B ) = 0.55,P( B) = 0.95,P( B) = 0.05,由貝葉斯公式得所求概率為P( B A) =P( A B)P( B)P( A B)P( B) + P( A B)P( B)=0.98 0.950.98 0.95 + 0.55 0.05= 0.97.即當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品 是合格品時 ,此時機器調(diào)整良好的概率為 0.97.先驗概率與后驗概率上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97

18、叫做后驗概率.例9根據(jù)以往的臨床記錄 , 某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果 : 若以 A 表示事件“試驗反應(yīng)為陽性”,以 C 表示事件“被診斷者患 有癌癥”,則有 P( A C ) = 0.95, P( A C ) = 0.95. 現(xiàn)在對自然人群進行普查,設(shè)被試驗的人患有癌癥 的概率為0.005,即 P(C ) = 0.005, 試求 P(C A).解因為 P( A C ) = 0.95,P( A C ) = 1 P( A C ) = 0.05,P(C ) = 0.005,P(C ) = 0.995,由貝葉斯公式得所求概率為P(C A) =P( A C )P(C )P( A C )P(C ) + P( A C )P(C )= 0.087.即平均1000個具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥!四、小結(jié)P( AB)P( A)全概率公式乘法定理P( AB) = P( B A)P( A)P(A) = P(AB )P(B ) + P(AB2)P(B2) +L+ P(ABn)P(Bn)貝葉斯公式P ( A Bi ) P ( Bi ) P ( A B j ) P (