將軍飲馬模型

1、將軍飲馬問題將軍飲馬問題=軸對(duì)稱問題=最短距離問題（軸對(duì)稱是工具，最短距離是題 眼）。所謂軸對(duì)稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對(duì)稱。而最短距離 是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)線段 a+b 這樣 的條件或者問題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍飲馬問題，然后利用軸對(duì)稱解題。 1.將軍飲馬故事“將軍飲馬”問題是數(shù)學(xué)問題中的經(jīng)典題目，主要轉(zhuǎn)化成“兩點(diǎn)之間線段最短問題”原題：如圖，一位將軍，從A地出發(fā)，騎馬到河邊給馬飲水，然后再到B地，問怎樣選擇飲水的地點(diǎn)，才能使所走的路程最短？ AB模型一：一條定直線，同側(cè)兩定點(diǎn)在直線l的同側(cè)有兩點(diǎn)A,B,在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB

2、值最小。一般做法：作點(diǎn) A（B）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接 AB，AB 與直線交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。AB即為最短距離 。理由：A為 A 的對(duì)稱點(diǎn)，所以無(wú)論 P 在直線任何位置都能得到 AP=AP。所以 PA+PB=PA+PB。這樣問題就化成了求 A到 B 的最短距離，直接相連就可以了。 例一：某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線L上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向新落成的A、B兩個(gè)居民小區(qū)送電。已知兩個(gè)居民小區(qū)A、B分別到主干線的距離AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。（1）如果居民小區(qū)A、B位于主干線L的兩旁，如圖（1）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總路線最短？最短線路的長(zhǎng)度是多少千米？（2

3、）如果居民小區(qū)A、B位于主干線L的同旁，如圖（2）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總路線最短？此時(shí)分支點(diǎn)M與A1的距離是多少千米？ A B B A A B A BLL模型二：一條定直線，一定點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)如圖，已知直線L和定點(diǎn)A，在直線K上找一點(diǎn)M，在直線L上找一點(diǎn)P，使得AP+PB值最小。模型三：一定點(diǎn)，兩條定直線如圖，在OAB 內(nèi)有一點(diǎn) P，在 OA 和 OB 各找一個(gè)點(diǎn) M、N，使得PMN 周長(zhǎng)最短（題 眼）。 一般做法：作點(diǎn) P 關(guān)于 OA 和 OB 的對(duì)稱點(diǎn) P1、P2。連接 P1P2。P1P2 與 OA、OB 的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。P1P2 即為最短周長(zhǎng)。 理由：對(duì)稱過后，PM=P1M，PN

4、=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以問題就化成了求 P1 到 P2 的最短距離，直接相連就可以了。 模型四：兩定點(diǎn)，兩條定直線如圖，點(diǎn)P，Q為MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上做點(diǎn)A，B，是四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小。練習(xí)題：1.如圖，點(diǎn)P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在OA，OB上運(yùn)動(dòng)，若AOB=30度，OP=4，則三角形周長(zhǎng)的最小值為多少。2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值是多少？ ABCDMN3.如圖所示，在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中,DAB=600，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是ACABCDEF上一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值是多少？ 4.