空間解析幾何 與向量代數(shù)

1、第七章 空間解析幾何 與向量代數(shù),橫軸,縱軸,豎軸,定點(diǎn),空間直角坐標(biāo)系,三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系,一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo),面,面,面,空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限,空間的點(diǎn),有序數(shù)組,特殊點(diǎn)的表示,坐標(biāo)軸上的點(diǎn),坐標(biāo)面上的點(diǎn),二、空間兩點(diǎn)間的距離,特殊地：若兩點(diǎn)分別為,解,原結(jié)論成立,解,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,所求點(diǎn)為,空間直角坐標(biāo)系,空間兩點(diǎn)間距離公式,注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別,軸、面、卦限,三、小結(jié),思考題,在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個卦限,思考題解答,A:; B:; C:; D,1、下列各點(diǎn)所在象限分別是,一、填空題,練習(xí)題,練習(xí)題答案,第二節(jié) 向量及其加減法 向量與數(shù)的乘法,一

2、、向量的概念 二、向量的加減法 三、向量與數(shù)的乘法 四、小結(jié),向量,既有大小又有方向的量,向量表示,模長為1的向量,零向量,模長為0的向量,向量的模,向量的大小,單位向量,一、向量的概念,或,或,或,自由向量,不考慮起點(diǎn)位置的向量,相等向量,大小相等且方向相同的向量,負(fù)向量,大小相等但方向相反的向量,向徑,1 加法,平行四邊形法則,特殊地：若,分為同向和反向,平行四邊形法則有時也稱為三角形法則,二、向量的加減法,向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律,1）交換律,2）結(jié)合律,3,2 減法,三、向量與數(shù)的乘法,數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律,1）結(jié)合律,2）分配律,兩個向量的平行關(guān)系,證,充分性顯然,必要性

3、,兩式相減，得,按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定,上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量,例1 化簡,解,例2 試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形,證,結(jié)論得證,向量的概念,向量的加減法,向量與數(shù)的乘法,注意與標(biāo)量的區(qū)別,平行四邊形法則,注意數(shù)乘后的方向,四、小結(jié),思考題,已知平行四邊形ABCD的對角線,試用 表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第三節(jié) 向量的坐標(biāo),一、向量在軸上的投影與投影定理 二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo) 三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式 四、小結(jié),一、向量在軸上的投影與投影定理,證,于是

4、,空間兩向量的夾角的概念,類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角,特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與 之間任意取值,空間一點(diǎn)在軸上的投影,空間一向量在軸上的投影,關(guān)于向量的投影定理（1,證,定理1的說明,投影為正,投影為負(fù),投影為零,4) 相等向量在同一軸上投影相等,關(guān)于向量的投影定理（2,可推廣到有限多個,二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量,的坐標(biāo),由例1知,向量在 軸上的投影,向量在 軸上的投影,向量在 軸上的投影,按基本單位向量的坐標(biāo)分解式,在三個坐標(biāo)軸上的分向量,向量的坐標(biāo),向量的坐標(biāo)表達(dá)式,特殊地,向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,解,由題意知,非

5、零向量 的方向角,非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角,三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式,由圖分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用來表示向量的方向,向量模長的坐標(biāo)表示式,當(dāng) 時,向量方向余弦的坐標(biāo)表示式,方向余弦的特征,特殊地：單位向量的方向余弦為,解,所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向,或,解,解,向量在軸上的投影與投影定理,向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo),向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式,四、小結(jié),注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別,思考題,思考題解答,對角線的長為,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第四節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積,一、兩向量的數(shù)量積 二、兩向量的向量積 三、向量的混合積

6、 四、小結(jié),啟示,實(shí)例,兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個數(shù)量,定義,一、兩向量的數(shù)量積,數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積,結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積,關(guān)于數(shù)量積的說明,證,證,數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律,1）交換律,2）分配律,3）若 為數(shù),若 、 為數(shù),設(shè),數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式,由此可知兩向量垂直的充要條件為,解,證,實(shí)例,二、兩向量的向量積,定義,關(guān)于向量積的說明,向量積也稱為“叉積”、“外積,向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律,1,2）分配律,3）若 為數(shù),證,設(shè),向量積的坐標(biāo)表達(dá)式,向量積還可用三階行列式表示,由上式可推出,補(bǔ)

7、充,例如,解,解,三角形ABC的面積為,解,定義,設(shè),混合積的坐標(biāo)表達(dá)式,三、向量的混合積,1）向量混合積的幾何意義,關(guān)于混合積的說明,解,例6,解,式中正負(fù)號的選擇必須和行列式的符號一致,向量的數(shù)量積,向量的向量積,向量的混合積,結(jié)果是一個數(shù)量,結(jié)果是一個向量,結(jié)果是一個數(shù)量,注意共線、共面的條件,四、小結(jié),思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第五節(jié) 曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面 四、小結(jié),水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡,曲面方程的定義,曲面的實(shí)例,一、曲面方程的概念,以下給出幾例常見的曲面,解,根據(jù)題意有,所求方程為

8、,特殊地：球心在原點(diǎn)時方程為,解,根據(jù)題意有,所求方程為,根據(jù)題意有,化簡得所求方程,解,例4 方程 的圖形是怎樣的,根據(jù)題意有,圖形上不封頂，下封底,解,以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題,2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀,討論旋轉(zhuǎn)曲面,討論柱面、二次曲面,1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時，求曲面方程,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,播放,旋轉(zhuǎn)過程中的特征,如圖,將 代入,將 代入,得方程,解,圓錐面方程,例6 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,旋轉(zhuǎn)雙曲面,旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)拋物面

9、,播放,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,柱面舉例,拋物柱面,平面,從柱面方程看柱面的特征,其他類推,實(shí) 例,橢圓柱面 / 軸,雙曲柱面 / 軸,拋物柱面 / 軸,曲面方程的概念,旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法,柱面的概念(母線、準(zhǔn)線,四、小結(jié),思考題,指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形,思考題解答,平面解析幾何中,空間解析幾何中,斜率為1的直線,方程,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這

10、條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋

11、轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲

12、面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,

13、三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平

14、行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線

15、 所形成的曲面稱為柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線,第六節(jié) 空間曲線及其方程,一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 四、小結(jié),空間曲線的一般方程,曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時滿足兩個方程,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線,特點(diǎn),一、空間曲線的一般方程,例1 方程組 表示怎樣的曲線,解,表示圓柱面,表示平面,交線為橢圓,例2 方程組 表示怎樣的曲線,解,上半球面,圓柱面,交線如圖,空間曲線的參數(shù)方程,二、空間曲線的參數(shù)方程,動點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過t時間，運(yùn)動到M點(diǎn),螺旋線的參數(shù)方程,取時間t為參數(shù),

16、解,螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為,螺旋線的重要性質(zhì),上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比 即,上升的高度,螺距,消去變量z后得,曲線關(guān)于 的投影柱面,設(shè)空間曲線的一般方程,以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面,投影柱面的特征,三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,如圖:投影曲線的研究過程,空間曲線,投影曲線,投影柱面,類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影,面上的投影曲線,面上的投影曲線,空間曲線在 面上的投影曲線,例4 求曲線 在坐標(biāo)面上的投影,解,1）消去變量z后得,在 面上的投影為,所以在 面上的投影為線段,3）同理在 面上的投影也為線段,2）因為曲線在平面 上,截線方程為,解,如圖,補(bǔ)充: 空間

17、立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影,空間立體,曲面,例6,解,半球面和錐面的交線為,一個圓,空間曲線的一般方程、參數(shù)方程,四、小結(jié),空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,思考題,思考題解答,交線方程為,在 面上的投影為,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第七節(jié) 平面及其方程,一、平面的點(diǎn)法式方程 二、平面的一般方程 三、兩平面的夾角 四、小結(jié),如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量,法線向量的特征,垂直于平面內(nèi)的任一向量,已知,設(shè)平面上的任一點(diǎn)為,必有,一、平面的點(diǎn)法式方程,平面的點(diǎn)法式方程,平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形,其中法向量,已知點(diǎn)

18、,解,所求平面方程為,化簡得,取法向量,化簡得,所求平面方程為,解,由平面的點(diǎn)法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,平面一般方程的幾種特殊情況,平面通過坐標(biāo)原點(diǎn),平面通過 軸,平面平行于 軸,平面平行于 坐標(biāo)面,類似地可討論 情形,類似地可討論 情形,設(shè)平面為,由平面過原點(diǎn)知,所求平面方程為,解,設(shè)平面為,將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得,解,將,代入所設(shè)方程得,平面的截距式方程,設(shè)平面為,由所求平面與已知平面平行得,向量平行的充要條件,解,化簡得,令,所求平面方程為,定義,通常取銳角,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角,三、兩平面的夾角,按照兩向量夾角余弦公式有,兩平面夾角余弦公式,兩平

19、面位置特征,例6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系,解,兩平面相交，夾角,兩平面平行,兩平面平行但不重合,兩平面平行,兩平面重合,解,點(diǎn)到平面距離公式,平面的方程,熟記平面的幾種特殊位置的方程,兩平面的夾角,點(diǎn)到平面的距離公式,點(diǎn)法式方程,一般方程,截距式方程,注意兩平面的位置特征,四、小結(jié),思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第八節(jié) 空間直線及其方程,一、空間直線的一般方程 二、空間直線的對稱式方程與 參數(shù)方程 三、兩直線的夾角 四、直線與平面的夾角 五、小結(jié),定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,一、空間直線的一般方程,方向向量的定義,如果一非零向量平行于一條已知直線

20、，這個向量稱為這條直線的方向向量,二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程,直線的對稱式方程,令,方向向量的余弦稱為直線的方向余弦,直線的參數(shù)方程,例1 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解,在直線上任取一點(diǎn),取,解得,點(diǎn)坐標(biāo),因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對稱式方程,參數(shù)方程,解,所以交點(diǎn)為,所求直線方程,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角,兩直線的夾角公式,三、兩直線的夾角,兩直線的位置關(guān)系,直線,直線,例如,解,設(shè)所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,解,先作一過點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令,代入平面方程得,交點(diǎn),取所求直

21、線的方向向量為,所求直線方程為,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角,四、直線與平面的夾角,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關(guān)系,解,為所求夾角,空間直線的一般方程,空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程,兩直線的夾角,直線與平面的夾角,注意兩直線的位置關(guān)系,注意直線與平面的位置關(guān)系,五、小結(jié),思考題,思考題解答,且有,故當(dāng) 時結(jié)論成立,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第九節(jié) 二次曲面,一、基本內(nèi)容 （一）橢球面 （二）拋物面 （三）雙曲面 二、小結(jié),二次曲面的定義,三元二次方程所表示的曲面稱之,相應(yīng)地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面性狀的截痕法,用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,一、基本內(nèi)容,一）橢球面,橢球面與三個坐標(biāo)面的交線,橢圓截面的大小隨平面位置的變化