材料力學(xué)公式大全(機(jī)械

1、材料力學(xué)常用公式|M L =9 5491.外力偶矩計算公式 （P功率，n轉(zhuǎn)速）滬見（兀）2. 彎矩、剪力和荷載集度之間的關(guān)系式3. 軸向拉壓桿橫截面上正應(yīng)力的計算公式（桿件橫截面軸力FN,橫截面面積A,拉應(yīng)力為正）4. 軸向拉壓桿斜截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力計算公式（夾角 a從x軸正方向逆時針轉(zhuǎn)至外法線的方位角為正）礙=p. cusar= crcns1 a=5. 縱向變形和橫向變形（拉伸前試樣標(biāo)距I ,拉伸后試樣標(biāo)距11 ； 拉伸前試樣直徑d,拉伸后試樣直徑di）6. 縱向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變7. 泊松比 占-z8. 胡克定律=Z9. 受多個力作用的桿件縱向變形計算公式 ？10. 承受軸向分布力或變

2、截面的桿件，縱向變形計算公式11.軸向拉壓桿的強(qiáng)度計算公式 從喚蘭012.許用應(yīng)力”卜廠，脆性材料5汕，塑性材料13.延伸率5=xl00,!414.截面收縮率15.剪切胡克定律（切變模量 G切應(yīng)變g）16.拉壓彈性模量E、泊松比“和切變模量G之間關(guān)系式j(luò)工17. 圓截面對圓心的極慣性矩（a）實心圓（b）空心圓3218. 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點切應(yīng)力計算公式（扭矩T,TJ = p到圓心距離r）T n = R =19. 圓截面周邊各點處最大切應(yīng)力計算公式所求點20.扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)匕7,( a)實心圓15tdD *(b)空心圓心21.薄壁圓管(壁厚Ro /10, Ro為圓管的平均半徑)扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計算

3、公式22.圓軸扭轉(zhuǎn)角與扭矩T、桿長I、扭轉(zhuǎn)剛度GH的關(guān)系式77zp =G7r23.同一材料制成的圓軸各段內(nèi)的扭矩不同或各段的直徑不同(如24.殲211備此 嚴(yán)藝等或T札=29.平面應(yīng)力狀態(tài)的三個主應(yīng)力30.31.受扭圓軸表面某點的三個主應(yīng)力+吒面內(nèi)最大切應(yīng)力2主平面方位的計算公式32.巧二基 TZ =0 巧33.三向應(yīng)力狀態(tài)最大與最小正應(yīng)力= i quin = i34.三向應(yīng)力狀態(tài)最大切應(yīng)力35.廣義胡克定律弓=卡1巧叫巧+01)136. 四種強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力5二6 一優(yōu)巧+馮）Gti 二巧一 q4 =-阿尸 +（a3-T3/+（r3-J1）237. 一種常見的應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件or_4 =

4、 Jc/ 十卅 tr38. 組合圖形的形心坐標(biāo)計算公式39. 任意截面圖形對一點的極慣性矩與以該點為原點的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和的關(guān)系式匚人40. 截面圖形對軸z和軸y的慣性半徑？41. 平行移軸公式（形心軸zc與平行軸z1的距離為a,圖形面積My42. 純彎曲梁的正應(yīng)力計算公式J 廠43. 橫力彎曲最大正應(yīng)力計算公式Em44. 矩形、圓形、空心圓形的彎曲截面系數(shù)？，；-嘗:-，WT =f二 WT =/ =(1- )642326423245. 幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力計算公式（ 一為中性軸一側(cè)的橫截面對中性軸z的靜矩，b為橫截面在中性軸處的寬度）46.矩形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中

5、性軸處47.工字形截面梁腹板上的彎曲切應(yīng)力近似公式bhft48. 軋制工字鋼梁最大彎曲切應(yīng)力計算公式49. 圓形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處,_4 F, _4FSU 一 M訕叮獷3A50. 圓環(huán)形薄壁截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處=51.彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件52. 幾種常見截面梁的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件53. 彎曲梁危險點上既有正應(yīng)力（T又有切應(yīng)力T作用時的強(qiáng)度條件為= 3+4”益或% =加+*蘭，【切二礙54.梁的撓曲線近似微分方程 血weF55.口一加 _j 十梁的轉(zhuǎn)角方程56.57.w = -djcdx + CjA： + /J】梁的撓曲線方程？ 軸向荷載與橫向均布荷載聯(lián)合作用時桿件截

6、面底部邊緣和頂rnax部邊緣處的正應(yīng)力計算公式-58. 偏心拉伸（壓縮）59. 彎扭組合變形時圓截面桿按第三和第四強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件表達(dá)式電誌JmS.計蘭oj60. 圓截面桿橫截面上有兩個彎矩5和山三同時作用時，合成彎矩 為U + 61. 圓截面桿橫截面上有兩個彎矩肌和匚同時作用時強(qiáng)度計算公式；八八；62右硏而莎二茁阿門不云面 J切63. 彎拉扭或彎壓扭組合作用時強(qiáng)度計算公式% 二 2 +2 = J(% +丐尸十4討 B% = 2 +卅=+令+ 玩 tr=-ri64. 剪切實用計算的強(qiáng)度條件還# =65. 擠壓實用計算的強(qiáng)度條件66. 等截面細(xì)長壓桿在四種桿端約束情況下的臨界力計算公式67

7、.壓桿的約束條件:(a) 兩端鉸支(1 =1(b) 端固定、一端自由1 =2(c )一端固定、一端鉸支1 =0.7(d)兩端固定 1 =0.568. 壓桿的長細(xì)比或柔度計算公式69. 細(xì)長壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式70. 歐拉公式的適用范圍71. 壓桿穩(wěn)定性計算的安全系數(shù)法72. 壓桿穩(wěn)定性計算的折減系數(shù)法73. 良少關(guān)系需查表求得1、材料力學(xué)的任務(wù)：強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性;應(yīng)力 單位面積上的內(nèi)力。 平均應(yīng)力PmFA全應(yīng)力 p lim pm lim dF- A 廠 a o a dA正應(yīng)力垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號 切應(yīng)力相切于截面的應(yīng)力分量，用符號 應(yīng)力的量綱：國際單位制：Pa(N/m2)、MPa、

8、GPa工程單位制： kgf/m2、kgf / cm2線應(yīng)變 單位長度上的變形量，無量綱，其物理意義是構(gòu)件上一點沿某一方向變 形量的大小。外力偶矩傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速n與傳遞的功率P來計算。當(dāng)功率P單位為千瓦(kW)，轉(zhuǎn)速為n (r/min)時，外力偶矩為PM e 9549 (N .m)n當(dāng)功率P單位為馬力(PS)，轉(zhuǎn)速為n (r/min)時，外力偶矩為PMe 7024(N.m)n拉(壓)桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力，且為平均分布，其計算公式為Fn(3-1)式中Fn為該橫截面的軸力， A為橫截面面積。正負(fù)號規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù) 。公式（3

9、-1）的適用條件：（1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不 均勻；（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角200時拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計算公式為全應(yīng)力pcos(3-2)正應(yīng)力2 cos(3-3)切應(yīng)力】sin22(3-4)式中 為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號規(guī)定：由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)。拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。對脫離體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針力矩的為正，反之為負(fù)。兩點結(jié)論：(1)當(dāng)當(dāng)00時，即橫截面

10、上，達(dá)到最大值，即max。當(dāng) -90時，即max縱截面上，=90 =0。(2 )當(dāng)45時，即與桿軸成45的斜截面上，達(dá)到最大值，即（）max 1. 2拉（壓）桿的應(yīng)變和胡克定律（1）變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時，軸向縮短，橫向伸長。 如圖3-2。軸向變形圖3-2l hl 軸向線應(yīng)變橫向變形bb| b橫向線應(yīng)變 正負(fù)號規(guī)定伸長為正，縮短為負(fù)。b(2)胡克定律當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時,或用軸力及桿件的變形量表示為應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即FnI(3-5)式中EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度, 公式(3-6)的適用條件：IEA是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。(3-6

11、)(a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即(b)在計算I時，I長度內(nèi)其N、E、求其代數(shù)和得總變形。即A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計算,n凹i 1 EA(3-7)泊松比 當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對值。即(3-8)表1-1低碳鋼拉伸過程的四個階段階段圖1-5中線段特征點說明彈性階段oab比例極限 pp為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力彈性極限ee為不產(chǎn)生殘余變形的最咼應(yīng)力屈服階段be屈服極限ss為應(yīng)力變化不大而變形顯者增加時的最低 應(yīng)力強(qiáng)化階段ce抗拉強(qiáng)度 bb為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-2 主要性能指標(biāo)性能性能指標(biāo)

12、說明彈性性能彈性模量E當(dāng)p時，E 一強(qiáng)度性能屈服極限 s材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強(qiáng)度 b材料的最大承載能力塑性性能延伸率J 100%l材料拉斷時的塑性變形程度截面收縮率A A1100%A材料的塑性變形程度強(qiáng)度計算許用應(yīng)力材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料=；脆性材料=足其中ns,nb稱為安全系數(shù)，且大于 1。強(qiáng)度條件：構(gòu)件工作時的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。 對軸向拉伸（壓縮）桿件N（3-9）A按式（1-4）可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計、確定許克載荷等三類強(qiáng)度計算。2.1 切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點兩個相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相

13、等，方向同時垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無關(guān)。22純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用表示。2.4剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即G（3-10）式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松比），其數(shù)值由實驗決定。對各向同性材料,E、G有下列關(guān)系2(1 )(3-11)2.5.2切應(yīng)力計算公式橫截面上某一點切應(yīng)力大小為IP(3-12)式中Ip為該截面對圓心的極慣性矩,為欲求的點至圓心的距離。圓截面周邊

14、上的切應(yīng)力為maxTWt(3-13)式中Wt“稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù),RR為圓截面半徑。2.5.3切應(yīng)力公式討論（1） 切應(yīng)力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時的等圓其誤差在工程允截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用, 許范圍內(nèi)。(2) 極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) Wt是截面幾何特征量，計算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力 愈強(qiáng)。因此，設(shè)計空心軸比實心軸更為合理。件為maxWt(3-14) 對等圓截面直桿maxmaxmaxWt表3-3實心圓(外徑為d)d4Ip 32Wt衛(wèi)16空心圓 (外徑為

15、D， 內(nèi)徑為d)D44I(1 a )32d a DD44Wt(1 a )162.5.4強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強(qiáng)度條y(3-23)(3-15)式中為材料的許用切應(yīng)力。1 M3.1.1中性層的曲率與彎矩的關(guān)系(3-16)El z式中，是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；|E是橫截面對中性軸 Z軸的慣性矩。3.1.2橫截面上各點彎曲正應(yīng)力計算公式M y(3-17)1 ZMmax式中，M是橫截面上的彎矩；Iz的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點到中性軸的距離最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點處max 皿斐? ymaxI z(3-18)I12式

16、中，Wz-稱為抗彎截面系數(shù)。對于 h b的矩形截面， Wz -bh2 ；對于直徑為 Dy max6W 尹 a4）。若不是對稱軸，則最大梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為M maxmaxWz（3-19）對于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對稱截面梁（如 的工字形截面等），其強(qiáng)度條件應(yīng)表達(dá)為字形截面、上下不等邊Mmaxl max yl1 z(3-20a)Mmaxy maxy 21 z(3-20b)式中， t， c分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力;yi, y分別是最大拉應(yīng)力點和最大壓應(yīng)力點距中性軸的距離。3.3梁的切應(yīng)力QSz(3-21)3d的圓形截面， WzD ；對于內(nèi)外徑之比

17、為 a的環(huán)形截面,2D若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。3.2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件式中，Q是橫截面上的剪力；Sz是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩;I z是整個橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。3.3.1矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計算公式(3-22)6Q h223 ybh 4最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點處,max3Q3.3.2工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹板度的分布亦為二

18、次曲線計算公式為2 B H2 h2Izb 8b h2近似計算腹板上的最大切應(yīng)力:max-Fa d為腹板寬度 h1為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距dh1333圓形截面梁橫截面上同一高度各點的切應(yīng)力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為maxQSzd2 2d83Izbd4644Q3 A（3-25）圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。3.4切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即maxQmaxSzmaxIzb（3-26）式中，Qmax是梁上的最大切應(yīng)力值；Szmax是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩；I z是橫截面對中性軸的慣性矩；b是max

19、處截面的寬度。對于等寬度截面，max發(fā)生在中性軸上,對于寬度變化的截面，max不一定發(fā)生在中性軸上。4.2剪切的實用計算，則名義切應(yīng)力為名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的（3-27）剪切強(qiáng)度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力 ，即QA5.2擠壓的實用計算（3-28）名義擠壓應(yīng)力假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則bsbsAbs（3-29）式中，Abs表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng) 擠壓面為平面時為接觸面面積，當(dāng)擠壓面為曲面時為設(shè)計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的投影面積。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)

20、力bs(3-30)1，變形計算圓軸扭轉(zhuǎn)時，任意兩個橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角。 面的相對扭轉(zhuǎn)角為相距為I的兩個橫截(rad)(4.4)若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為TIGl P(rad)(4.5)圖4.2式中Gl P稱為圓軸的抗扭剛度。顯然,的正負(fù)號與扭矩正負(fù)號相同。公式(4.4)的適用條件:(1)材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即(2) 在長度I內(nèi)，T、G、Ip均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸線分段變化時，則應(yīng)分段計算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即(4.6)當(dāng)T、Ip沿軸線連續(xù)變化時 用式(4.4)計算。2，剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件圓軸最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角maxTilii

21、 1 Gi I pi(rad)不得超過許可的單位長(4.9)度扭轉(zhuǎn)角,即maxTmaxGI P(rad/m)(4.7)maxTmax180GI P(/m)(4.8)2,撓曲線的近似微分方程及其積分在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時，得到彎矩與曲率的關(guān)系1 MEI對于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得M xEI利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程，即M xEI將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為Mdx CEI(4.10)再積分得撓曲線方程(4.11)M x dx dx Cx DEI式中，C,D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當(dāng)梁分為若干段積分時， 積分常數(shù)的

22、確定除需利用邊界條件外，還需要利用連續(xù)條件。3,梁的剛度條件限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條(4.件，即maxI Imax，3,軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能 在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得當(dāng)桿件的橫截面面積A、軸力Fn為常量時，由胡克定律FnI1首，可得V叢2EA(4.14)(4.18)桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為 應(yīng)變能密度，用V表示。線彈性范圍內(nèi)，得(4.15)V -24，圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能 在線彈性范圍內(nèi)，由功能原 Vr將Me T與總代入上式得W 1Me2 eVr 口2GIP圖4.5（4.16）根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功，得應(yīng)變能的密度Vr :

23、Vr 1 r25,梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時,1V W M2(4.17)由功能原理得將Me M與M代入上式得m2iV2EI圖4.6橫力彎曲時，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時，對于微段梁應(yīng)用式(4.18),積分得全梁的彎曲應(yīng)變能V，即VM 2 x dx2EI(4.19)2 截面幾何性質(zhì)的定義式列表于下:靜矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩SyzdAAI yz2dAyAi lIyiyI yz A yzdAIp AP2dASzAydA2Izy2dAzA 7 匸 UN3 慣性矩的平行移軸公式Iylyca2AlzIzcb2A靜矩：平面圖形面積對某坐標(biāo)軸的一次矩，如圖I-1所示。定義式：Syzd

24、A， SzydAAA量綱為長度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(biāo)(I -1)Zc和yc。則A zcAdA SyzdAS由此可得薄板重心的坐標(biāo)Zc 為 ZcAAA同理有ycSzA所以形心坐標(biāo) zcSySzycAA或 SyA zc，SzAyc(I -2)由式(I -2)得知，若某坐標(biāo)軸通過形心軸， 則圖形對該軸的靜矩等于零，即yc 0，Sz 0 ; Zc 0，則 Sy 0 ;反之，若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān)，其值可能為正，負(fù)或零。如一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設(shè)第I塊分圖形的n 面積為 Ai ，形心坐標(biāo)為yci, Zo ，則其靜矩和形心坐標(biāo)分別為SzAy。，ni 1SyA zCi(I -3)i 1Ai yCiSzi 1yC 瓜AAii 1A zI cii 1nAii 1(I -4) 1-2慣性矩和慣性半徑慣性矩：平面圖形對某坐標(biāo)軸的二次矩,如圖I-4所示。量