線代教案第1章行列式

1、第1章 行列式（共 4 學(xué)時(shí)）一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求1了解逆序數(shù)的概念2掌握 n 階行列式的定義和行列式的性質(zhì)3掌握行列式的按行（列）展開定理4利用行列式的性質(zhì)和展開定理計(jì)算行列式的值二、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配1預(yù)備知識(shí)2n 階行列式的定義（2學(xué)時(shí)）3行列式的性質(zhì)4行列式的展開（2 學(xué)時(shí)） 三、教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)：利用行列式性質(zhì)及展開計(jì)算行列式 難點(diǎn)：行列式的計(jì)算技巧 四、教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬行列式的拉普拉斯展開定理及行列式在實(shí)際中的應(yīng)用，或講稿中部分結(jié)論推廣 五、思考題與習(xí)題思考題：見講稿作業(yè)：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5） 六、教學(xué)方式與手段

2、注意行列式定義的引入，應(yīng)用啟發(fā)式講稿內(nèi)容1.1預(yù)備知識(shí)為什么要學(xué)習(xí)行列式呢？因?yàn)樗且粋€(gè)很重要的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都經(jīng)常用到，比如，用 二階行列式來解二元線性方程組，用三階行列式來解三元方程線性組等；又如，已知平面的(Xi,yJ,(X2, y2),(X3, y3)，貝U以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為下面行列式的絕對(duì)值:1X11X21X3這一章主要引進(jìn)行列式的概念并討論行列式的性質(zhì)，以及利用行列式的性來計(jì)算行列式的值。 利用線性方程組的求解引入行列式的概念。設(shè)有二元線性方程組y1y2-y3下面我們aiXia2 X2bia2i Xia22 X2b?可用消元法來解該方程組。(1) 3 22(

3、2) aii若(a 11322a12a21 )X1b1 a22b? a2a12a21 )X2b2 3ha21ba22b2a2banba 21X1,X2a11a22a12a213h a 22a12 a21(1)a2i : (aiia22312321 )0，則(2) 312 ： (a11a22a31 a32a33a b如果我們定義adc da bbc，稱為二階行列式，橫排稱為行，縱排稱為列，二階行列式共有二行c da13X3二列四個(gè)元素，其值等于主對(duì)角線元素之積與次對(duì)角線元素之積的差。這樣一來，二元線性方程組的解可簡(jiǎn) 單表示為a31 X1a 22X2+ a23X3b2a32 X2a33 X3b3X

4、1D1D，X2D2D其中Da11a12為方程組未知數(shù)的系數(shù)所組成的行列式稱為方程組的系數(shù)行列式;a21a22D1b1a12(用方程組的常數(shù)項(xiàng)代替系數(shù)行列式的第1列)b2a22D2anb1(用方程組的常數(shù)項(xiàng)代替系數(shù)行列式的第2列)a21b2類似地，我們可用三階行列式來解三元線性方程組:b1ana12a13定義Da21 a22 a23ana22a33a12a23a31a13a21 a32ai3a22a31ai1 a23a 32ai2a2ia33且D 0，則x1D1D2訂訂3D3D這里的D是由三行三列組成的三階行列式，每個(gè) aj為三階行列式的一個(gè)元素，i表示行標(biāo)，j表示列標(biāo),i行、j列的交叉點(diǎn)就是元

5、素aj前面我們定義了二階、三階行列式，要引入 n（n 3）階行列式，上面的方法顯然是不行的，一方面，行列式的階數(shù)增大，等式右邊的項(xiàng)數(shù)也必增多，寫出所有的項(xiàng)數(shù)較困難（n階行列式右邊有n!項(xiàng)），也沒有必要；另一方面，等式右端每一項(xiàng)的符號(hào)何時(shí)取正？何時(shí)取負(fù)？為此，首先介紹，全排列、逆序數(shù)等概念。把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列，簡(jiǎn)稱排列。如3個(gè)不同元素1,2,3的所有可能排列有：123, 132, 213, 231, 321, 312.n個(gè)不同元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，稱為 排列數(shù)，通常用Pn表示，如上P3 6如求n個(gè)自然數(shù)1,2,3, n的全排列數(shù)Pn n（n 1）3 2 1 n!

6、在n!個(gè)不同排列中，規(guī)定某一個(gè)排列為標(biāo)準(zhǔn)順序的排列，一般地，規(guī)定從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)順序（標(biāo)準(zhǔn)排列或稱為自然排列）。如果在一個(gè)排列SQ2SiSjSn中，SiSj而Si在Sj的前面，則說它們形成了一個(gè) 逆序（或反序），一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)，用ts1sn表示。如 t1230，t1321，t3213tqsn 后面比s小的數(shù)的個(gè)數(shù)）（s2后面比s2小的數(shù)的個(gè)數(shù)）（Sn 1后面比sn 1小的數(shù)的個(gè)數(shù)）（s2前面比s2大的數(shù)的個(gè)數(shù)）（s3前面比s3大的數(shù)的個(gè)數(shù)） （Sn前面比Sn大的數(shù)的個(gè)數(shù)）如 t4213653 100 15，或 t42136512 10 151 又如 tn（n

7、1）321 （n 1） （n 2）2 1 n（n 1）.2逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換。將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換。定理1 一個(gè)排列中，任意兩個(gè)元素對(duì)換排列改變奇偶性。證明：分相鄰對(duì)換與非相鄰對(duì)換兩種情形來證明。情形 1:相鄰對(duì)換 a1al abb1 bma1albab1bm.易知經(jīng)過相鄰對(duì)換后，印，3,4, ,bm中的任何兩個(gè)元素間的逆序個(gè)數(shù)沒有變化，同時(shí)a,b兩個(gè)元素與元素al, eb, ,bm所形成的逆序總個(gè)數(shù)也沒發(fā)生變化，因此只有a,b兩個(gè)元素本身之間的逆序的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化。設(shè)

8、 t a1 al abb1 bm t ，則當(dāng)a b時(shí)，即a,b不構(gòu)成逆序，經(jīng)過相鄰對(duì)換后，a,b構(gòu)成逆序，所以t a, a,ba bm t 1。當(dāng)a b時(shí)，即a,b構(gòu)成逆序，經(jīng)過相鄰對(duì)換后，a,b不構(gòu)成逆序，所以t a, abab bm t 1。即不論a b，還是a b，經(jīng)過相鄰對(duì)換后排列的逆序數(shù)不是增加 1就是減少1，從而排列的奇偶性發(fā)生 改變。情形 2：非相鄰對(duì)換 a1 alab1 bmbc1 cna1 al bb1 bmac1 cn.設(shè)其對(duì)換過程為a1 aab bmbG q b 經(jīng)過m1 次相鄰對(duì)換 a1 a,ba bmc1 q.a經(jīng)過m次相鄰對(duì)換.a1 al bb1 bmac1 cn

9、.共經(jīng)過了 2m 1 次相鄰對(duì)換，所以前后兩個(gè)排列的奇偶性相反。推論 奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)。 有了以的基本概念，我們可以給出 n 階行列式的定義。為了得到n階行列式的定義,1.2 n階行列式的定義我們先研究三階行列式的結(jié)構(gòu)，三階行列式的定義為a11a12a13a21a22a23a31a32a33(1) 等式右端是6項(xiàng)(3!乘積。(2) 每一項(xiàng)各元素的行標(biāo)排列成123，因此右端的任意一項(xiàng)除符號(hào)外可寫成a1pa2p2a3p3的形式，其中a11a22a33a12a23a31a13a21a32a13a22a 31a11a23a32a12a21a33項(xiàng))之

10、和，其中3項(xiàng)為正，3項(xiàng)為負(fù)，每項(xiàng)都是位于不同行不同列的元素的P1 P2 P3為123的某個(gè)排列。顯然也可把右端每一項(xiàng)的列標(biāo)排成自然順序123,而行標(biāo)寫為123的某個(gè)排列P1P2P3，即除符號(hào)外，行列式的每一項(xiàng)可寫為aP/ava帶正號(hào)項(xiàng)的列標(biāo)排列為123312231逆序數(shù)022帶負(fù)號(hào)項(xiàng)的列標(biāo)排列為321132213逆序數(shù)311易知帶正號(hào)的項(xiàng)其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為偶數(shù)(3)行標(biāo)排列的逆序數(shù)為0帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為奇數(shù)P11P22P33。如果我們假設(shè)P1P2P3的逆序數(shù)為t，則三階行列式可定義為a11a12a13a21a22a23a31a32a33aVj(P1P2P31) a1p1a2p2a

11、3p3仿此可得n階行列式的定義:定義 n2個(gè)數(shù)排a11a21an1a12a22a1 na2nD ， 并按下式計(jì)值an2ann(1)冷円冋22Pn)(1) a1 p1 a2p2anp(P1P2 Pn)則稱D為n階行列式。當(dāng)n取2或3時(shí)即為前面所講的二階或三階行列式，n(P1P21an2令 iaiia22nann在行列式例計(jì)算下列行列式的值1 對(duì)角行列式aij(1)tap1a2p2(P1 Pn)n nj都有aij中，不論i j或iapn，其中nt t pi1時(shí)，aanPn0，因此在 a1p,a2p2anpPn，p1pn為1,2,3 n的全排列,中只有當(dāng)Pl1, P22, Pnn不為0,其余各項(xiàng)均為

12、0。故原式1n2.n2an1aina2n 1(1)taipla2p2(PlP2 Pn)anPn此題不為0的元素有這樣的特點(diǎn)i j n 1乘積4趕血ans中，只要有一個(gè)元素為npn0,則整個(gè)乘積為0,要使乘積不為0,則每一個(gè)元素均不為0,即滿足1 P1n 1, 2 p2 n 1n Pn nP1 n, P2 n 1,Pn1原式(1)艸 1)3叫 口1n 2(n 1)ln(n 1)an1 ( 1) 23. Da1 na2na11a120a220000 0 ann(主對(duì)角線以下的元素全為0,稱為上三角行列式)解：據(jù)行列式的特點(diǎn)，對(duì)每個(gè)aij.ay i j由于D(P1P2(1) a1 p1 a2P2an

13、pnPn),從而不同行不同列的所有元素乘積中，不為0的項(xiàng)必須滿足P11,P22,Pn 1 n 1, PnnPn n, Pn 1 n 1, P11故Dana22ann010000204.(1)aip1a2p2anpn(1)a12a23a(n1)nan1000n 1(P1P2 Pn)n000t23 n1n 1(1) n! ( 1) n!從行列式的構(gòu)成可知，不為0的項(xiàng)，只有P12, P23,L , Pn 1 n, Pn1思考題：用行列式的定義說明：一個(gè)n階行列式中等于零的元素的個(gè)數(shù)，若比n2 n多，則此行列式必等于零。 答：首先，n階行列式中共有n2個(gè)元素，而其中等于零的元素個(gè)數(shù)多于 n2 n個(gè)，因

14、而不等于零的元素的個(gè)數(shù) 少于n2 (n2 n) n個(gè)，其次，組成每一項(xiàng)的n個(gè)元素，是由這n2個(gè)元素中取出不在同一行同一列的n個(gè)元素, 因而這n個(gè)元素中至少有一個(gè)為零，從而行列式為零。1.3行列式的性質(zhì)ai1ai2a21a22a1na2n，把此行列式列（或行）寫成同序數(shù)的行（或列）得到一新行列式，稱為D的轉(zhuǎn)置an1an2ann行列式,記為dt由定義知dta21a22an1an2a2nann性質(zhì)1證明:山）,則其元素間的關(guān)系為D DT （行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等）aji（1）t%bnpn（P1 Pn）（P1 Pn）互換行列式的兩行或兩列，行列式改變符號(hào)。1) apJap“nD性質(zhì)2證明：記D（ai

15、j），交換D中的i,j兩行得到的行列式記為D1則當(dāng)k i, j時(shí)，bkpakp ；當(dāng)k i, j 時(shí)，bipajp,bjpaip按行列式的定義D(1)認(rèn)丄aipiajPjLanPn(P1P2 Pn)而D1(1%L bp.bjPj L bnpn(1)Pl L ajPiaiPj L anPn(P1P2 Pn)(P1P2Pn)其中，設(shè)1L iLj L n為自然排列，t tP1Pi LPjL Pn，t1 tp1PjL pL Pn故 t1 t 1，從而 D1D(bj)，推論如果行列式有兩行（列）完全相同，貝U此行列式的值為 0。性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) k，等于用k乘此行列式

16、推論1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式外面。推論2行列式中某一行（列）的所有元素全為 0,則此行列式等于0推論3行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于 0性質(zhì)4行列式中如果某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和*11a1ja1 ja1n，則D等于下面兩行列式的和1a1ja1na11a1ja1nan1anjannan1anjannDanjanjan1ann（利性質(zhì)5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)后加到另一行（或列）對(duì)應(yīng)元素上，行列式不變 用性質(zhì)4）行列式的性質(zhì)和推論主要用于化簡(jiǎn)行列式，使行列式中更多的元素變?yōu)?,或化為特殊的行列式（對(duì)角、上三角行列式）。我們知道

17、，一個(gè)n階行列式展開后有n!項(xiàng)，這n!隨n的增大而迅速增大，而每一項(xiàng)又是 n個(gè) 不同行不同列元素的乘積，并且還要考慮排列的奇偶性，因此求一個(gè)n階行列式的值，其運(yùn)算量非常大，故常常利用行列式的性質(zhì)來化簡(jiǎn)行列式。例計(jì)算下列行列式51341.4020 11注意：把行列式化為上三角行列式的方法與技巧。方 法較固定，技巧靈活多變，特別留意行列式的特點(diǎn)。311113112.113 1111348（各行或列加到第1行或列）行列式特點(diǎn)：各行或各列對(duì)應(yīng)元素相加為同一個(gè)數(shù)a3.aa ba b c2a b 3a 2b cabed4a 3b 2c da4 （化為上三角行列式）a 3a b6a 3b c 10a 6b3

18、c dx a a a a x a a4. Da a a(x 2a)n1(x (n 2)a)（各行加到第1行，再化為上三角行列式）1aa00111 a11r1OR j100bb1 b1111 b1 a 1111 a 15.111 b1 1 12 aao 111a-i06. 10 a20 (a-i a2an0) G G (a。ai 11a11)a1a2Lan.anapbqc rds7.tuvwla mplb mqlc mrld ms1 0 0an0axbyaybzazbxxyz例證明aybzazbxaxby/3, 3 x(a b )yzxazbxaxbyaybzzxy利用性質(zhì)41.4行列式的展開一

19、般來說，低階行列式比高階行列式容易計(jì)算，因此我們希望用低階行列式來表示高階行列式，這就是 行列式的按行(列)展開。為此我們引進(jìn)余子式和代數(shù)余子式的概念。在n階行列式中，把元素aj所在的第i行與第j列劃去后留下來的n 1階行列式叫做元素a0的余子式，記作M j。(1)i jMj叫做aj的代數(shù)余子式。02015135,M 1243423而Aj如D1 217,A12( 1) M12 17,D2A12 34.k 1定理a11a1j 1a1 ja1j 1ai 11ai 1j 1ai 1 jai 1j 100aij0ai 11ai 1j 1ai 1 jai 1j 1an1anj 1anjanj 1(aj)

20、ai 1n0a i 1nannajAij-證明：先證特殊情形:aj位于第1行第1列一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除aj外都為0,則這個(gè)行列式等于aj與它的代余子式的乘積。即(仃師&2P2(P1 Pn)t(1 P2 Pn )anpn( 1)a1&p2anpn(1 P2 Pn)anpna11 M 11a11 A11an( 1)tP2 Pna2p2(P2 Pn)般情形：為了利用特殊情形，作如下對(duì)換:rri 1,ri 1ri 2, DA，共對(duì)換了(i1)次，由行列式的性質(zhì)得原行列式(1)1anan1再作如下(j1)次對(duì)換:D ( 1)i 1 (1)j1aijaljanj(1)ijaijM ij

21、 aijAj.定理行列式等于它的0aij0a1j 1a1ja1j 1anj 1anjanj 1Cj1, cj 1c00a“ 1a1 janj 1anj任一行(列2，0an11)an1Cna1nannC2 C1，變?yōu)樘厥馇樾?。a1nann的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即Dai1 Ai1ai2Ai2a in Ainaik Aik (行列式按行展開)n或 Dj A ja2j A2ja nj Anja kj Akj k 1（行列式按列展開）31125111511例計(jì)算5134C1 2C311131(1)3311 1 12011001055015335530（將某一行或列盡量多的元素化為0,在按

22、此行或列展開）推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于ai1Aj1ai2Aj2ain Ajn0,iaii A1ja2i A2ja ni Anj0.ij.0。即b1 Lbrr定理及推論可歸結(jié)為:aiiAjiai2Aj2ain Ajnaik Ajkk 1aii A1 ja2i A2 jani Anjj D .ijJ性質(zhì)6類似有:Dk0DrDkDr，這里的Dm表示m行m列的元素。0DnDm證明：（1）當(dāng)kai1C11M1)mnDmDn，依次交換列變?yōu)榍罢?，用前者的結(jié)論。Lb1ra11MMbr1Lbrr，（按第一行展開）1時(shí),0DrMQr顯然成立。（2）設(shè)當(dāng)km1

23、時(shí)成立;下證當(dāng)km時(shí)成立。a11La1m0L0a22La2m0L0MMMMMMMMam1Larnm0L0am2Lamm0L0anbnLb1rbnLb1rMMMMbr1Lbrrbr1Lbrra21La2m 10L0MMMM1 mam1Lamm 10L0(1:a1mbnLb1rMML1578a11a22Mam2a2mammbnbira21La2m 1bnLbirML(1)1mMMMMbrram1Lamm 1br1LbrrLLDmDr11112096 試證 A41 A42 A43 A440這里顯然不希望用求出每個(gè)A4i的方法來證明它們之和為0設(shè)0 D1(bj)1121510171918161B41B

24、42B43B44A41A42A43A44注：行列式中某元素的代數(shù)余子式與該元素的大小無關(guān)，只與元素的位置有關(guān).或因?yàn)?a41 A41a42A42a43 A43a44 A44a41a42a43a44注意所求的表達(dá)式,需取a41a42a44而此行列式為零計(jì)算D2n解:按第1ad(ab00aba ba bc d(1)1 2nbc dcdcd0dc00行展開a1) bc(1)(ad bc)D2(n 1)D2n1)2(2n1) D2(n1)2n11D2(n(ad bc)2D2(n2)(ad bc)n 1D2(ad bc)n.00An是一個(gè)等差數(shù)列，并由此求出An.0為n階行列式，試證明A1, A2,1解：按第0行展開An2An(1)120002An 1An即有AnAn 1An 1An所以An為一等差數(shù)列2,第2項(xiàng)A23,公差dAnA1(n 1)d n例證明范德蒙行列式DnX12X1X2Xn2Xn(XiXj)j 1(X2n 1X1n 1X2nXnX1)(X3X1)( X4X1)(XnX1)（X3 X2）（X4X2)(XnX2)(X4X3)(XnX3)(XnXn 1)證明：數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n 2時(shí)，D2X1X2X2X1結(jié)論成立。X2設(shè)n 1階范德蒙行列式成立，即Dn2X1Ln 2X1n 2X2LLLLLXn 1n 2Xn 1對(duì)于Dn，從第n開始，后行減前行的Xn 倍,并按第n列展開,(X Xj