熱力學(xué)統(tǒng)計物理課后答案

1、.第一章熱力學(xué)的基本規(guī)律1.1 試求理想氣體的體脹系數(shù),壓強(qiáng)系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為 （1）由此易得 （2） （3） （4）1.2 證明任何一種具有兩個獨立參量的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實驗測得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得：如果，試求物態(tài)方程。解：以為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為其全微分為 （1）全式除以，有根據(jù)體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)的定義，可將上式改寫為 （2）上式是以為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，有 （3）若，式（3）可表為 （4）選擇圖示的積分路線，從積分到，再積分到（），相應(yīng)地體積由最終變到，有即（常量），或 （5）式（5）就是由所給求得的物

2、態(tài)方程。 確定常量C需要進(jìn)一步的實驗數(shù)據(jù)。1.8 滿足的過程稱為多方過程，其中常數(shù)名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過程中的熱容量為解：根據(jù)式（1.6.1），多方過程中的熱容量 （1）對于理想氣體，內(nèi)能U只是溫度T的函數(shù)，所以 （2）將多方過程的過程方程式與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強(qiáng)可得（常量）。 （3）將上式微分，有所以 （4）代入式（2），即得（5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.9 試證明：理想氣體在某一過程中的熱容量如果是常數(shù)，該過程一定是多方過程，多方指數(shù)。假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。解：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有 （1）對于準(zhǔn)靜態(tài)過程有對理想氣體有氣體

3、在過程中吸收的熱量為因此式（1）可表為 （2）用理想氣體的物態(tài)方程除上式，并注意可得 （3）將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有 （4）式（3）與式（4）聯(lián)立，消去，有 （5）令，可將式（5）表為 （6）如果和都是常量，將上式積分即得（常量）。 （7）式（7）表明，過程是多方過程。1.12 假設(shè)理想氣體的是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中的關(guān)系，該關(guān)系式中要用到一個函數(shù)，其表達(dá)式為解：根據(jù)式（1.8.1），理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中滿足 （1）用物態(tài)方程除上式，第一項用除，第二項用除，可得 （2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），可將式（2）改定為 （3）將上式積分，如果是溫度的函數(shù)，定義

4、 （4）可得（常量）， （5）或（常量）。 （6）式（6）給出當(dāng)是溫度的函數(shù)時，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中T和V的關(guān)系。1.13 利用上題的結(jié)果證明：當(dāng)為溫度的函數(shù)時，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為解：在是溫度的函數(shù)的情形下，1.9就理想氣體卡諾循環(huán)得到的式（1.9.4）（1.9.6）仍然成立，即仍有 （1） （2） （3）根據(jù)1.13題式（6），對于1.9中的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程（二）和（四），有 （4） （5）從這兩個方程消去和，得 （6）故 （7）所以在是溫度的函數(shù)的情形下，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為 （8）1.14試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交。解：假設(shè)在圖中兩條絕熱線交于點，如圖所

5、示。設(shè)想一等溫線與兩條絕熱線分別交于點和點（因為等溫線的斜率小于絕熱線的斜率，這樣的等溫線總是存在的），則在循環(huán)過程中，系統(tǒng)在等溫過程中從外界吸取熱量，而在循環(huán)過程中對外做功，其數(shù)值等于三條線所圍面積（正值）。循環(huán)過程完成后，系統(tǒng)回到原來的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有。這樣一來，系統(tǒng)在上述循環(huán)過程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α耍@違背了熱力學(xué)第二定律的開爾文說法，是不可能的。 因此兩條絕熱線不可能相交。1.17 溫度為的1kg水與溫度為的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫達(dá)到。試分別求水和熱源的熵變以及整個系統(tǒng)的總熵變。欲使參與過程的整個系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)如何使水溫從升至？已知水的比熱容為解：的水

6、與溫度為的恒溫?zé)嵩唇佑|后水溫升為，這一過程是不可逆過程。為求水、熱源和整個系統(tǒng)的熵變，可以設(shè)想一個可逆過程，它使水和熱源分別產(chǎn)生原來不可逆過程中的同樣變化，通過設(shè)想的可逆過程來求不可逆過程前后的熵變。為求水的熵變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源，其溫度分布在與之間。令水依次從這些熱源吸熱,使水溫由升至。在這可逆過程中,水的熵變?yōu)?（1）水從升溫至所吸收的總熱量為為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為的另一熱源放出熱量。在這可逆過程中，熱源的熵變?yōu)?（2）由于熱源的變化相同，式（2）給出的熵變也就是原來的不可逆過程中熱源的熵變。則整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋?） 為使水溫從升至而參與過程的整個系統(tǒng)的熵保持

7、不變，應(yīng)令水與溫度分布在與之間的一系列熱源吸熱。水的熵變?nèi)杂墒剑?）給出。這一系列熱源的熵變之和為 （4）參與過程的整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)?（5）1.19 均勻桿的溫度一端為，另一端為，試計算達(dá)到均勻溫度后的熵增。解：以L表示桿的長度。桿的初始狀態(tài)是端溫度為，端溫度為，溫度梯度為（設(shè)）。 這是一個非平衡狀態(tài)。通過均勻桿中的熱傳導(dǎo)過程，最終達(dá)到具有均勻溫度的平衡狀態(tài)。為求這一過程的熵變，我們將桿分為長度為的許多小段，如圖所示。位于到的小段，初溫為 （1）這小段由初溫T變到終溫后的熵增加值為（2）其中是均勻桿單位長度的定壓熱容量。根據(jù)熵的可加性，整個均勻桿的熵增加值為 （3）式中是桿的定壓熱容量。1.

8、21 物體的初溫，高于熱源的溫度，有一熱機(jī)在此物體與熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到為止，若熱機(jī)從物體吸取的熱量為Q，試根據(jù)熵增加原理證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為其中是物體的熵減少量。解：以和分別表示物體、熱機(jī)和熱源在過程前后的熵變。由熵的相加性知，整個系統(tǒng)的熵變?yōu)橛捎谡麄€系統(tǒng)與外界是絕熱的，熵增加原理要求 （1）以分別表示物體在開始和終結(jié)狀態(tài)的熵，則物體的熵變?yōu)?（2）熱機(jī)經(jīng)歷的是循環(huán)過程，經(jīng)循環(huán)過程后熱機(jī)回到初始狀態(tài)，熵變?yōu)榱?，?（3）以表示熱機(jī)從物體吸取的熱量，表示熱機(jī)在熱源放出的熱量，表示熱機(jī)對外所做的功。 根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有所以熱源的熵變?yōu)?（4）將式（2）（4）代入式（

9、1），即有 （5）上式取等號時，熱機(jī)輸出的功最大，故 （6）式（6）相應(yīng)于所經(jīng)歷的過程是可逆過程。1.22 有兩個相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為。今令一制冷機(jī)在這兩個物體間工作，使其中一個物體的溫度降低到為止。假設(shè)物體維持在定壓下，并且不發(fā)生相變。試根據(jù)熵增加原理證明，此過程所需的最小功為解： 制冷機(jī)在具有相同的初始溫度的兩個物體之間工作，將熱量從物體2送到物體1,使物體2的溫度降至為止。以表示物體1的終態(tài)溫度，表示物體的定壓熱容量，則物體1吸取的熱量為 （1）物體2放出的熱量為 （2）經(jīng)多次循環(huán)后，制冷機(jī)接受外界的功為 （3）由此可知，對于給定的和，愈低所需外界的功愈小。 用和分別表

10、示過程終了后物體1，物體2和制冷機(jī)的熵變。由熵的相加性和熵增加原理知，整個系統(tǒng)的熵變?yōu)?（4）顯然因此熵增加原理要求 （5）或 （6）對于給定的和，最低的為代入（3）式即有 （7）式（7）相應(yīng)于所經(jīng)歷的整個過程是可逆過程。1.23 簡單系統(tǒng)有兩個獨立參量。 如果以為獨立參量，可以以縱坐標(biāo)表示溫度，橫坐標(biāo)表示熵，構(gòu)成圖。圖中的一點與系統(tǒng)的一個平衡態(tài)相對應(yīng)，一條曲線與一個可逆過程相對應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過程的曲線，并利用圖求可逆卡諾循環(huán)的效率。解： 可逆卡諾循環(huán)包含兩個可逆等溫過程和兩個可逆絕熱過程。 在圖上，等溫線是平行于T軸的直線。 可逆絕熱過程是等熵過程，因此在圖上絕熱線是平行于S軸

11、的直線。 圖1-5在圖上畫出了可逆卡諾循環(huán)的四條直線。（一）等溫膨脹過程工作物質(zhì)經(jīng)等溫膨脹過程（溫度為）由狀態(tài)到達(dá)狀態(tài)。 由于工作物質(zhì)在過程中吸收熱量，熵由升為。吸收的熱量為 （1）等于直線下方的面積。（二）絕熱膨脹過程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)絕熱膨脹過程到達(dá)狀態(tài)。過程中工作物質(zhì)內(nèi)能減少并對外做功，其溫度由下降為，熵保持為不變。（三）等溫壓縮過程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)等溫壓縮過程（溫度為）到達(dá)狀態(tài)。工作物質(zhì)在過程中放出熱量，熵由變?yōu)?，放出的熱量?（2）等于直線下方的面積。（四）絕熱壓縮過程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)絕熱壓縮過程回到狀態(tài)。溫度由升為，熵保持為不變。在循環(huán)過程中工作物質(zhì)所做的功為 （3）等于矩形所包圍的

12、面積?？赡婵ㄖZ熱機(jī)的效率為（4） 上面的討論顯示，應(yīng)用圖計算（可逆）卡諾循環(huán)的效率是非常方便的。實際上圖的應(yīng)用不限于卡諾循環(huán)。根據(jù)式（1.14.4） （5）系統(tǒng)在可逆過程中吸收的熱量由積分 （6）給出。如果工作物質(zhì)經(jīng)歷了如圖中的（可逆）循環(huán)過程，則在過程中工作物質(zhì)吸收的熱量等于面積，在過程中工作物質(zhì)放出的熱量等于面積，工作物質(zhì)所做的功等于閉合曲線所包的面積。 由此可見（可逆）循環(huán)過程的熱功轉(zhuǎn)換效率可以直接從圖中的面積讀出。 在熱工計算中圖被廣泛使用。 補(bǔ)充題1 1mol理想氣體，在的恒溫下體積發(fā)生膨脹，其壓強(qiáng)由20準(zhǔn)靜態(tài)地降到1，求氣體所作的功和所吸取的熱量。解：將氣體的膨脹過程近似看作準(zhǔn)靜態(tài)

13、過程。根據(jù)式（1.4.2），在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中氣體體積由膨脹到，外界對氣體所做的功為氣體所做的功是上式的負(fù)值，將題給數(shù)據(jù)代入，得在等溫過程中理想氣體的內(nèi)能不變，即根據(jù)熱力學(xué)第一定律（式（1.5.3），氣體在過程中吸收的熱量為補(bǔ)充題2 在下，壓強(qiáng)在0至1000之間，測得水的體積為如果保持溫度不變，將1mol的水從1加壓至1000，求外界所作的功。解：將題中給出的體積與壓強(qiáng)關(guān)系記為 （1）由此易得 （2）保持溫度不變，將1mol的水由1加壓至1000，外界所做的功為在上述計算中我們已將過程近擬看作準(zhǔn)靜態(tài)過程。補(bǔ)充題3 承前1.6題，使彈性體在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中長度由壓縮為，試計算外界所作的功。解：在

14、準(zhǔn)靜態(tài)過程中彈性體長度有dL的改變時，外界所做的功是 （1）將物態(tài)方程代入上式，有 （2）在等溫過程中是常量，所以在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中將彈性體長度由壓縮為時，外界所做的功為（3）值得注意，不論將彈性體拉長還是壓縮，外界作用力都與位移同向，外界所做的功都是正值。補(bǔ)充題4 在和1下，空氣的密度為,空氣的定壓比熱容。今有的空氣，試計算：（i）若維持體積不變，將空氣由加熱至所需的熱量。（ii）若維持壓強(qiáng)不變，將空氣由加熱至所需的熱量。（iii）若容器有裂縫，外界壓強(qiáng)為1，使空氣由緩慢地加熱至所需的熱量。解：（a）由題給空氣密度可以算得空氣的質(zhì)量為定容比熱容可由所給定壓比熱容算出維持體積不變，將空氣由加熱

15、至所需熱量為（b）維持壓強(qiáng)不變，將空氣由加熱至所需熱量為（c）若容器有裂縫，在加熱過程中氣體將從裂縫漏出，使容器內(nèi)空氣質(zhì)量發(fā)生變化。根據(jù)理想氣體的物態(tài)方程為空氣的平均摩爾質(zhì)量，在壓強(qiáng)和體積不變的情形下，容器內(nèi)氣體的質(zhì)量與溫度成反比。 以表示氣體在初態(tài)的質(zhì)量和溫度，表示溫度為T時氣體的質(zhì)量，有所以在過程（c）中所需的熱量為將所給數(shù)據(jù)代入，得補(bǔ)充題5 熱泵的作用是通過一個循環(huán)過程將熱量從溫度較低的物體傳送到溫度較高的物體上去。 如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的循環(huán)過程，熱泵的效率可以定義為傳送到高溫物體的熱量與外界所做的功的比值。試求熱泵的效率。 如果將功直接轉(zhuǎn)化為熱量而令高溫物體吸收，則“效率”為何？解：根據(jù)卡諾定理，通過逆卡諾循環(huán)從溫度為的低溫?zé)嵩次崃?，將熱量送到溫度為的高溫?zé)嵩慈?，外界必須做功因此如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的過程，其效率為（1）式中第三步用了的結(jié)果（式（1.12.7）和（1.12.8）。 由式（1）知，效率恒大于1。如果與相差不大，可