10_數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程答案

1、.第十章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 級(jí)數(shù)問(wèn)題的提出1證明：若微分方程有多項(xiàng)式解，則必有證明 由多項(xiàng)式解得，.從而 ，且 .將上述結(jié)果代入微分方程，得.比較系數(shù)得遞推公式如下：由此解得，因而2試確定系數(shù)，使?jié)M足勒讓德方程.解 設(shè)，則，故，.將上述結(jié)果代入勒讓德方程，得.比較系數(shù)，得遞推公式如下：由此解得從而可以得到.其中取任何常數(shù)2 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其基本性質(zhì)1求下列級(jí)數(shù)的和：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1）由于，故，所以級(jí)數(shù)的和.（2）由于，故.所以級(jí)數(shù)的和.（3）（4），因此欲求原級(jí)數(shù)的和，只需計(jì)算級(jí)數(shù)即可對(duì)級(jí)數(shù)，設(shè)其部分和，則，故.從而，即，因此原級(jí)數(shù)（5）由于級(jí)數(shù)的部分和，故，

2、從中解得.又由于當(dāng)時(shí)，故，因此（6）級(jí)數(shù)的部分和，從而，從中解得.因此2討論下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解（1）由于通項(xiàng)，故原級(jí)數(shù)發(fā)散（2）由于，均收斂，故原級(jí)數(shù)收斂（3）由于通項(xiàng)，故原級(jí)數(shù)發(fā)散（4）由于，從而部分和，因而原級(jí)數(shù)收斂（5）由于，從而時(shí)，故原級(jí)數(shù)收斂3證明定理10.2定理10.2 若級(jí)數(shù),收斂，則級(jí)數(shù)也收斂，且.證明 設(shè)，則由已知條件知，存在有限數(shù)，使得，設(shè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為，則，所以也收斂，且4設(shè)級(jí)數(shù)各項(xiàng)是正的，把級(jí)數(shù)的項(xiàng)經(jīng)過(guò)組合而得到新級(jí)數(shù)，即，其中，若收斂，證明原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂證明 設(shè)，則.由于收斂，故有界，即有界，即存在，使得，都有.又由于是正

3、項(xiàng)級(jí)數(shù)，故，而且單調(diào)上升，由單調(diào)有界原理可知，原級(jí)數(shù)收斂3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）解（1）由于，而發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散（2）對(duì)任意正整數(shù)，都成立關(guān)系式，而級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知，原級(jí)數(shù)收斂（3）由于，所以級(jí)數(shù)發(fā)散（4）由于，而收斂，故收斂（5）由于，故，而收斂，由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂（6）由于，而發(fā)散，故發(fā)散（7）由于，故級(jí)數(shù)收斂（8）由于，故原級(jí)數(shù)收斂（9）方法1因?yàn)?，而和均收斂，故收斂方? 由于對(duì)一

4、切都成立，而收斂，故收斂（10）由于，而收斂，故原級(jí)數(shù)收斂（11）由于，因此，若收斂，則原級(jí)數(shù)收斂.考慮級(jí)數(shù)，由于，且收斂，故收斂，因而原級(jí)數(shù)收斂（12）由于，而收斂，因而原級(jí)數(shù)收斂（13）由于，而發(fā)散，因而原級(jí)數(shù)發(fā)散（14）由于，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知，原級(jí)數(shù)發(fā)散（15）由于，而收斂，故原級(jí)數(shù)收斂（16）由于，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂（17）由于，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂（18）由于極限，而對(duì)于級(jí)數(shù)，根據(jù)，故由根式判別法知，級(jí)數(shù)收斂，因而原級(jí)數(shù)收斂（19）對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分子有理化可得，由于發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散（20）由于，而級(jí)數(shù)均收斂，因而原級(jí)數(shù)收斂2判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；

5、（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）解（1）由于，所以發(fā)散（2）由于，根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法知，原級(jí)數(shù)收斂（3）由于，故收斂（4）由于，故發(fā)散（5）這個(gè)級(jí)數(shù)不能用達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法判別，也不能用拉阿比判別法判別，但由斯特林公式可知，因而，通項(xiàng)的極限不為0，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散（6）因?yàn)?，故收斂?）由于，由柯西判別法知，原級(jí)數(shù)收斂（8）由于，因此，如果級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)也收斂.考慮級(jí)數(shù)，由于，故它收斂，因而原級(jí)數(shù)也收斂（9）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)顯然收斂；當(dāng)時(shí)，由于因而收斂，因此原級(jí)數(shù)對(duì)一切收斂（10）級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，由于，因而原級(jí)數(shù)收斂3判別級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）

6、；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（是任意實(shí)數(shù)）；（8）（是任意實(shí)數(shù)）解（1）當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，而收斂，由比較判別法知，原級(jí)數(shù)收斂（2）由于，且，故存在，當(dāng)時(shí)，從而，即當(dāng)時(shí)，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂（3）方法1 由于，該極限為型極限，由Lhospital法則得，由Raabe判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散方法2 由于，所以，而級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散.（4）由于，由Raabe判別法知，原級(jí)數(shù)收斂一般地，對(duì)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，成立，所以，從而發(fā)散；當(dāng)時(shí)，由于，由Raabe判別法知，級(jí)數(shù)收斂（5）由于，所以存在，當(dāng)時(shí)，有，即，從而，故，而收斂，故收斂（6）由于，所以存在，當(dāng)時(shí)，有，即，從而，故，而收

7、斂，故收斂（7）（是任意實(shí)數(shù)）由于當(dāng)時(shí)，所以若發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必發(fā)散，而時(shí)發(fā)散，因而時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，由于，因而，利用柯西積分判別法知，原級(jí)數(shù)收斂（8）（是任意實(shí)數(shù)）當(dāng)時(shí)，由于且收斂，故原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，由于， 因而，由柯西積分判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，由于，而就是前面時(shí)的級(jí)數(shù)，已證得它發(fā)散，因而原級(jí)數(shù)發(fā)散4利用Taylor公式估算無(wú)窮小量的階，從而判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）令，則，從而，因此 .該極限為有限數(shù)，因而與是同階無(wú)窮小量，由于當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散，因而原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散（2）由于，故，這是一個(gè)有限數(shù)，從而與是同階無(wú)窮小量，因此原級(jí)數(shù)與的收斂性一致

8、，所以當(dāng)即時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，而當(dāng)即時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散（3）由于，故原級(jí)數(shù)是負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，又由于，故與是同階無(wú)窮小量，因而當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散（4）因?yàn)椋蚨?dāng)時(shí)，上式與是同階無(wú)窮小量，故原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，上式與是同階無(wú)窮小量，故原級(jí)數(shù)發(fā)散5討論下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）令函數(shù)，則該函數(shù)在非負(fù)、連續(xù)且單調(diào)下降當(dāng)時(shí)，由于，因而原級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，由于因而由柯西積分判別法知，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂綜上可知，級(jí)數(shù)在時(shí)收斂，在時(shí)發(fā)散（2）根據(jù)級(jí)數(shù)通項(xiàng)，可令函數(shù)，則且在非負(fù)、連續(xù)且單調(diào)下降，由于.由柯西積分判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散（3）由于，故當(dāng)充分大時(shí)，因而，由（1）知收

9、斂，從而原級(jí)數(shù)收斂（4）當(dāng)時(shí)，由于，故時(shí)級(jí)數(shù)收斂，時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，令，則，由于，故存在，任意時(shí)，從而，而由（1）知收斂，從而原級(jí)數(shù)收斂當(dāng)時(shí)，令，則，由于，從而當(dāng)充分大時(shí)，從而，而由（1）知發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)發(fā)散綜上可知，原級(jí)數(shù)的收斂情況是：當(dāng)或時(shí)收斂，當(dāng)或時(shí)發(fā)散6利用拉阿比判別法研究下列級(jí)數(shù)的收斂性（1） (是實(shí)數(shù))；（2）解（1）級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，因而根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式得 .（上式也可以在第二個(gè)等式處將化為直接使用二項(xiàng)展開(kāi)式），所以當(dāng)即時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)即時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，Raabe判別法失效，此時(shí)，由于對(duì)一切，即而且，因而根據(jù)高斯判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散（2）.根據(jù)原級(jí)數(shù)的通項(xiàng)知，因而，所以當(dāng)，即時(shí)級(jí)數(shù)

10、收斂；當(dāng)，即時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí)，Raabe判別法失效，此時(shí)由于，即而且顯然有界，因而根據(jù)高斯判別法可知，原級(jí)數(shù)發(fā)散7已知兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)和發(fā)散，問(wèn)，兩級(jí)數(shù)的收斂性如何？答 級(jí)數(shù)一定發(fā)散事實(shí)上，而發(fā)散，故發(fā)散可能收斂，也可能發(fā)散例如均發(fā)散，但由于對(duì)一切都成立，故收斂8若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明：證明 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和，則下述兩式成立：， （*）， （*）用（*）減去（*）得，兩端同時(shí)除以可得，即 ，由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，因而存在，假設(shè)，根據(jù)收斂數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列收斂，且與原數(shù)列極限相等可知，因此，從而結(jié)論成立9設(shè)求證：(1) 收斂；(2) 證明（1）由于收斂，故收斂，而收斂，從而收斂，即收斂（2）考慮

11、的一個(gè)子列，則，即10. 設(shè)，且，求證反之是否成立?證明 令，構(gòu)造數(shù)列，則的前項(xiàng)的幾何平均數(shù)可構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，由于新數(shù)列收斂且與數(shù)列極限相同，故，因而結(jié)論成立反之不真，反例如級(jí)數(shù)，由于，故，而，從而，因此反之結(jié)論不一定成立11利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件證明：（1）；（2）證明（1）考慮級(jí)數(shù)，由于，故級(jí)數(shù)收斂，因而（2）考慮級(jí)數(shù)，由于，所以級(jí)數(shù)收斂，因而12設(shè)，且數(shù)列有界，證明級(jí)數(shù)收斂證明 由數(shù)列有界知，存在，對(duì)，都有，從而，進(jìn)一步可得，又由于收斂，因而由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂13設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明也收斂證明 由于對(duì)任意，均成立，而級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)均收斂，從而級(jí)數(shù)也收斂，由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂14設(shè)，

12、求證：（1）當(dāng)時(shí)，收斂；（2）當(dāng)時(shí)，發(fā)散問(wèn)時(shí)會(huì)有什么結(jié)論？證明（1）當(dāng)時(shí)，令，則由知，存在，時(shí)，有，從而當(dāng)時(shí)，而收斂，故原級(jí)數(shù)收斂（2）當(dāng)時(shí)，令，則由知，存在，時(shí)，有，從而當(dāng)時(shí)，而發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，考慮級(jí)數(shù)，由于，令，則，此即為本題的情形，但由第5題（1）知，該級(jí)數(shù)在時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散，從而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散4 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)1討論下列級(jí)數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）解（1）令，則，顯然當(dāng)時(shí)，即單調(diào)下降并趨向于0由于級(jí)數(shù)前有限項(xiàng)的值不影響該級(jí)數(shù)的斂散性，因而由Lei

13、bniz判別法知原交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂（2）由于舍去偶數(shù)項(xiàng)，原級(jí)數(shù)變成交錯(cuò)級(jí)數(shù)令，則，顯然當(dāng)時(shí)，即單調(diào)下降并趨向于0因而從第3項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列單調(diào)下降并趨向于0，故取奇數(shù)時(shí)該數(shù)列也是單調(diào)下降并趨向于0的，由Leibniz判別法知，原交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂（3）由于數(shù)列的前項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列極限與原數(shù)列極限相等，故根據(jù)數(shù)列單調(diào)遞減趨向于0知，數(shù)列單調(diào)遞減趨向于0，又因?yàn)樵?jí)數(shù)是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由Leibniz判別法知原交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂（4）由于，而級(jí)數(shù)及收斂，但級(jí)數(shù)發(fā)散，因而原級(jí)數(shù)發(fā)散（5）由于，又由于單調(diào)下降趨于0，故由Leibniz判別法知原級(jí)數(shù)收斂（6）由于收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，因而自身收斂（7）由于單調(diào)遞

14、減趨向于0，根據(jù)Leibniz判別法知原級(jí)數(shù)收斂進(jìn)一步可知：當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)條件收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（8）由于，而收斂，故原級(jí)數(shù)收斂且絕對(duì)收斂（9）由于，故，即的部分和數(shù)列有界，而數(shù)列單調(diào)趨于0，由Dirichlet判別法知級(jí)數(shù)收斂，即收斂，從而原級(jí)數(shù)收斂（10）由于，又由于收斂，由上題知亦收斂，因此原級(jí)數(shù)收斂（11）若，則存在，當(dāng)時(shí)，從而，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)下降，又，因而由Leibniz判別法知，級(jí)數(shù)收斂，因而原級(jí)數(shù)收斂.若，則存在，當(dāng)時(shí)，從而，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)趨于0，又的部分和數(shù)列有界，由Dirichlet判別法知，原級(jí)數(shù)收斂綜上可知當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂（12）不難驗(yàn)證，故數(shù)列單調(diào)下降趨于0，由Leibn

15、iz判別法知原級(jí)數(shù)收斂（13）.由于，設(shè)該級(jí)數(shù)部分和數(shù)列為，則，即，從而部分和數(shù)列發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)發(fā)散（14）先考慮數(shù)列，由于，故，從而數(shù)列有界.又因?yàn)闀r(shí)，關(guān)于單調(diào)下降；時(shí)，關(guān)于單調(diào)增加，因而數(shù)列單調(diào)有界.又因?yàn)榧?jí)數(shù)顯然收斂，因此由Abel判別法知，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂（15）由于，故，由本節(jié)例4知級(jí)數(shù)收斂，又?jǐn)?shù)列單調(diào)上升且有界，由Abel判別法知，級(jí)數(shù)收斂.同理級(jí)數(shù)亦收斂，因而原級(jí)數(shù)收斂（16）取，則數(shù)列單調(diào)下降趨于0，級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列滿足，即的部分和數(shù)列有界，由Dirichlet判別法知原級(jí)數(shù)收斂2討論下列級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂或條件收斂：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8

16、）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16），其中；（17）；（18）解（1）由于是一定值，故當(dāng)充分大時(shí)，數(shù)列單調(diào)下降趨于0，因而由Leibniz判別法知，原級(jí)數(shù)收斂再考慮級(jí)數(shù)，由于，而發(fā)散，故由比較判別法的極限形式知，級(jí)數(shù)發(fā)散因而原級(jí)數(shù)條件收斂（2）由于，這對(duì)一切都成立，而級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂，即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（3）由本節(jié)例4知級(jí)數(shù)收斂，又因?yàn)?，而?jí)數(shù)發(fā)散，收斂，因而級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較判別法知級(jí)數(shù)發(fā)散，即原級(jí)數(shù)條件收斂（4）當(dāng)時(shí)，對(duì)任，由于，而收斂，故級(jí)數(shù)收斂，因而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)，由于單調(diào)下降趨于0，且部分和有界，從而由Dirichlet判

17、別法知級(jí)數(shù)收斂但由于，而發(fā)散，收斂，因而發(fā)散從而當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)對(duì)一切條件收斂當(dāng)時(shí)，由于對(duì)一切，有（如若不然，則，從而，矛盾），而，故，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散綜上可知，原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂、當(dāng)時(shí)條件收斂、當(dāng)時(shí)發(fā)散（5）由于數(shù)列單調(diào)遞減并趨向于0，由Leibniz判別法知原級(jí)數(shù)收斂；再考慮級(jí)數(shù)，由于，而發(fā)散，因而級(jí)數(shù)發(fā)散，即原級(jí)數(shù)條件收斂（6）由于，而收斂，因而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（7）由于當(dāng)時(shí)，而當(dāng)充分大時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減趨于0，由Leibniz判別法知，級(jí)數(shù)收斂，從而原級(jí)數(shù)收斂；再考慮級(jí)數(shù)，由于，而發(fā)散，因而級(jí)數(shù)發(fā)散，即原級(jí)數(shù)條件收斂（8）由于數(shù)列與是等價(jià)無(wú)窮小量，而單調(diào)遞減趨于0，由Leibn

18、iz判別法知原級(jí)數(shù)收斂；再考慮，由于，而發(fā)散，因而級(jí)數(shù)發(fā)散，即原級(jí)數(shù)條件收斂（9）當(dāng)時(shí)，由于對(duì)任意，都有，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)，由于對(duì)一切成立，而級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散；另一方面，考慮函數(shù)，由于當(dāng)充分大時(shí)，因而數(shù)列單調(diào)遞減趨于0，由Leibniz判別法知原級(jí)數(shù)收斂，因而原級(jí)數(shù)條件收斂綜上可知，原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)條件收斂（10）當(dāng)時(shí)，由于，而收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)，由于，而發(fā)散，由比較判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散；另一方面，當(dāng)時(shí)，由Taylor公式知：，從而，由Leibniz判別法知收斂，又由于都收斂，故原級(jí)數(shù)收斂因而原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)條件收斂綜上可知，原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)條

19、件收斂（11）當(dāng)時(shí)，由于，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)，由于，而級(jí)數(shù)發(fā)散，因而級(jí)數(shù)發(fā)散；另一方面，由于，而級(jí)數(shù)收斂，數(shù)列單調(diào)上升且有界，由Abel判別法知原級(jí)數(shù)收斂所以原級(jí)數(shù)條件收斂當(dāng)時(shí)，因而通項(xiàng)的極限，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散綜上可知，原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)條件收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散（12）級(jí)數(shù)通項(xiàng)，由于，所以當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)變?yōu)?，顯然條件收斂；當(dāng)，即時(shí)，由于，故可選取，使，當(dāng)充分大時(shí)，有，即，即，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知，原級(jí)數(shù)發(fā)散綜上可知，原級(jí)數(shù)在時(shí)絕對(duì)收斂，在時(shí)條件收斂，在時(shí)發(fā)散，其中（13）由于，所以當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；

20、當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，例如令，則，但級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散（14）由于，所以當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)通項(xiàng)的極限不為0，故原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)變成，顯然發(fā)散（15）由于，因而當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，此時(shí)級(jí)數(shù)變?yōu)榛?，這兩個(gè)級(jí)數(shù)不能用達(dá)朗貝爾判別法判別，但由斯特林公式知：，因而，通項(xiàng)的極限不為0，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知和都發(fā)散綜上可知，原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散（16），其中當(dāng)時(shí)，由Taylor公式知，由于級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，因而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)，由Taylor公式知，又因?yàn)榧?jí)數(shù)條件收斂，收斂，從而原級(jí)數(shù)條件收斂當(dāng)時(shí)，令是滿足的任一正整數(shù)（顯然），這時(shí)根據(jù)Tayl

21、or公式有：由于在上式中所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù)均條件收斂，而所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù)均發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散綜上，原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)條件收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散（17）由于，根據(jù)Taylor公式知，因此，當(dāng)時(shí)，由于級(jí)數(shù)均絕對(duì)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，由于級(jí)數(shù)條件收斂，絕對(duì)收斂，故原級(jí)數(shù)條件收斂；當(dāng)時(shí)，由于級(jí)數(shù)條件收斂，發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)通項(xiàng)的極限不是0，故原級(jí)數(shù)發(fā)散綜上，原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)條件收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散（18）顯然當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，故以下只考慮的情形將通項(xiàng)化為.當(dāng)，即時(shí)，由于上式中第二、三項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)均絕對(duì)收斂，而對(duì)于級(jí)數(shù)，由于數(shù)列單調(diào)下降趨于0，且部分和數(shù)列有界，

22、由Dirichlet判別法知它是收斂的另一方面，由于，而且級(jí)數(shù)發(fā)散，收斂，故級(jí)數(shù)發(fā)散綜上可知，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂，因而原級(jí)數(shù)也條件收斂當(dāng)時(shí)，仿照（16）小題方法知級(jí)數(shù)發(fā)散綜上可知，原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)條件收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散3利用Cauchy收斂原理判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）解（1）由于，故，由極限的定義知，對(duì)，存在，時(shí)，都有，對(duì)于時(shí)，都有 .因而由Cauchy收斂原理知原級(jí)數(shù)收斂（2）取，對(duì)任意，取，這時(shí)，由Cauchy收斂原理知級(jí)數(shù)發(fā)散4求證：若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂但反之不成立，請(qǐng)舉出例子證明 由于級(jí)數(shù)收斂，故，從而當(dāng)充分大時(shí)，又由于，故，因此當(dāng)充分大時(shí)，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂反之

23、不成立，如令，則級(jí)數(shù)收斂，但發(fā)散5若級(jí)數(shù)收斂，且，問(wèn)是否能判斷出也收斂？研究例子解 不能斷定也收斂如果令，則顯然收斂，又，由收斂，發(fā)散知發(fā)散但此時(shí)有，因此由已知條件不能斷定也收斂事實(shí)上，也不能斷定發(fā)散，例如在題設(shè)下，取，則，但收斂6證明：若級(jí)數(shù)及都收斂，且，則級(jí)數(shù)也收斂若級(jí)數(shù)與都發(fā)散，問(wèn)級(jí)數(shù)的收斂性如何？證明 由于級(jí)數(shù)與均收斂，故由Cauchy收斂原理知，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，從而，再由已知條件知即，由Cauchy收斂原理知級(jí)數(shù)收斂若級(jí)數(shù)與都發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散如級(jí)數(shù)與都發(fā)散，對(duì)一切，均有，但級(jí)數(shù)發(fā)散，而收斂7證明：若收斂，則當(dāng)時(shí)，也收斂若發(fā)散，則當(dāng)時(shí)， 也發(fā)散證明 若收斂，當(dāng)時(shí)，由于級(jí)數(shù)

24、收斂，而數(shù)列單調(diào)有界，由Abel判別法知級(jí)數(shù)也收斂若發(fā)散，假設(shè)時(shí)收斂，則由第一步已證結(jié)論知，級(jí)數(shù)也收斂，矛盾！故當(dāng)時(shí)，也發(fā)散8求證：若數(shù)列有極限，收斂，則也收斂證明 設(shè)是的部分和，是級(jí)數(shù)的部分和，由于收斂，故數(shù)列收斂，設(shè)，由于，所以，從而，由于存在，故也存在，即的部分和數(shù)列有極限，因而級(jí)數(shù)收斂9求證：若絕對(duì)收斂，收斂，則收斂證明 由于絕對(duì)收斂，因而它收斂，設(shè)是它的部分和，則有極限，即存在，故數(shù)列有界，設(shè)再根據(jù)絕對(duì)收斂和收斂，由Cauchy收斂原理知，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有及因而，由Cauchy收斂原理知級(jí)數(shù)收斂10求證：若級(jí)數(shù)和都收斂，則級(jí)數(shù)，也收斂證明 這里每個(gè)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于，而與均收斂，因而

25、收斂；又因?yàn)?，因而也收斂；最后，由于，?與都收斂，由比較判別法知，級(jí)數(shù)也收斂11設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)上升且有界，求證：收斂證明 由于正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)上升且有界，故由單調(diào)有界原理知其收斂，設(shè)，級(jí)數(shù)，由于，故級(jí)數(shù)收斂，又單調(diào)有界，故由Able判別法知級(jí)數(shù)收斂12對(duì)數(shù)列，定義，求證：（1）如果有界，收斂，且，則收斂，且有.（2）如果與都收斂，則收斂證明（1）由于有界，故存在，使得對(duì)一切自然數(shù)，有對(duì)，由收斂知，存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有， （*）又由知，存在，當(dāng)時(shí)，有. （*）取，則，（*）與（*）都成立，此時(shí)應(yīng)用Able變換可得，由Cauchy收斂原理知收斂又由Abel變換得，兩端同時(shí)取極限得，再由已知條件有界及可

26、得，因而（2）由于收斂，故其部分和數(shù)列有界，即存在，都有又由收斂知，也收斂，故其部分和數(shù)列極限存在，即數(shù)列極限存在，因而有界，即存在，有取，則，和同時(shí)成立對(duì)，由于，都收斂，由Cauchy收斂原理知，存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，故由Able變換，可得，由 Cauchy收斂原理可知，級(jí)數(shù)收斂13設(shè)收斂，且，求證收斂，并且.證明 由收斂知，其部分和數(shù)列極限存在，令設(shè)的部分和為，則.由于，故對(duì)上式兩端取極限得，即收斂且，因此14下列是非題，對(duì)的請(qǐng)給予證明，錯(cuò)的請(qǐng)舉出反例：（1）若，則收斂；（2）若，則收斂；（3）若收斂，則收斂；（4）若收斂，則絕對(duì)收斂；（5）若發(fā)散，則不趨于0；（6）若收斂，則收斂；（7）若

27、收斂，則收斂；（8）若收斂，則收斂；（9）若收斂，則答（1）錯(cuò)誤如，但發(fā)散（2）正確設(shè)級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)為，則，故數(shù)列收斂于0，因而原級(jí)數(shù)收斂（3）錯(cuò)誤如收斂，但發(fā)散（4）正確由于收斂，故，從而，由數(shù)列極限定義知，存在，時(shí)，都有，故當(dāng)時(shí)，有，由比較判別法知收斂，因而絕對(duì)收斂（5）錯(cuò)誤例如發(fā)散，但（6）錯(cuò)誤例如令，則收斂，令，則，但卻發(fā)散（7）正確對(duì)，由收斂知，存在，都有，又由知，存在，時(shí)，都有，從而取，則時(shí)，都有，故收斂（8）錯(cuò)誤如收斂，但卻發(fā)散（9）錯(cuò)誤反例如本章第3節(jié)習(xí)題915求下列極限（其中）：（1）；（2）解（1）考慮級(jí)數(shù)，由于，故其收斂，由Cauchy收斂原理知，存在，時(shí)，都有，特別地

28、，取，則上式變?yōu)?，因此?）考慮級(jí)數(shù)收斂，由于，故其收斂，由Cauchy收斂原理知，存在，時(shí)，都有，特別地，取，則上式變?yōu)?，因?6若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，求證：證明 由于級(jí)數(shù)收斂，故對(duì)，都存在，當(dāng)時(shí)，又根據(jù)已知條件知，所以當(dāng)時(shí)，又由于，故存在，當(dāng)時(shí)，有取，則當(dāng)時(shí)，有，即5 無(wú)窮級(jí)數(shù)與代數(shù)運(yùn)算1不用cauchy準(zhǔn)則，求證：如果收斂，則也收斂證法1 設(shè)，由于，且收斂，故由比較判別法知，級(jí)數(shù)和均收斂，從而也收斂又由于，所以亦收斂證法2 設(shè)，則，由于收斂，根據(jù)比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂，而，所以級(jí)數(shù)收斂2設(shè)收斂，求證：將相鄰奇偶項(xiàng)交換后所成的級(jí)數(shù)收斂，且具有相同的和數(shù)證明 由于收斂，則其部分和數(shù)列為有極限，設(shè)又

29、設(shè)將級(jí)數(shù)相鄰奇偶項(xiàng)交換后所成的級(jí)數(shù)為，其部分和數(shù)列為，則，所以，即級(jí)數(shù)收斂，且具有相同的和數(shù)3求證：由級(jí)數(shù)重排所得的級(jí)數(shù)發(fā)散證明 級(jí)數(shù)的重排為，考慮它的一個(gè)加括號(hào)后的級(jí)數(shù)：， （*）對(duì)于通項(xiàng)，由于，又因?yàn)榘l(fā)散，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)（*）發(fā)散，從而級(jí)數(shù)也發(fā)散否則若其收斂，則它加括號(hào)后得到的級(jí)數(shù)（*）也收斂，矛盾4證明：若條件收斂，則可把級(jí)數(shù)重排，使新級(jí)數(shù)部分和數(shù)列有一個(gè)子數(shù)列趨向于，有一子數(shù)列趨向證明 設(shè)，由于條件收斂，故只能有，而且，故可重排級(jí)數(shù)如下：在中依順序取項(xiàng)，使其和剛好大于等于1，（即）；然后依次在中取足夠多的項(xiàng)，使其與前面已取出的項(xiàng)的和相加剛好小于等于，設(shè)此時(shí)一共取出了項(xiàng)，則；回過(guò)頭來(lái)，依次在中剩下的項(xiàng)中取足夠多的項(xiàng)，使其與的和剛好大于等于3，設(shè)此時(shí)一共取出了項(xiàng)，則；再取剩下的項(xiàng)，依次類(lèi)推