高中三角函數(shù)?？贾R(shí)點(diǎn)及練習(xí)題

1、高中三角函數(shù)常考知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題1.螄任意角的三角函數(shù)：（1）膄弧長(zhǎng)公式：l=aR R 為圓弧的半徑，a為圓心角弧度數(shù)，I 為弧長(zhǎng)。（2）（3）衿扇形的面積公式：S = 1|R R 為圓弧的半徑，|為弧長(zhǎng)。2（4）rrseca , csca 二一.xy商數(shù)關(guān)系:, sin a tan a =cosa（5）袀?cè)呛瘮?shù)（6個(gè)）表示：a為任意角，角a的終邊上任意點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（x,y），它與原點(diǎn)的距離為r （r 0）那么角a的正弦、 余弦、正切、余切、正割、余割分別是：sina 崇,cosa , tana rrx(6)（7）螞同角三角函數(shù)關(guān)系式:袂倒數(shù)關(guān)系：tan acota=1, cosa cot

2、a =sin a罿平方關(guān)系：sin2 a cos2 a = 1（8）（9）蚆誘導(dǎo)公式：（奇變偶不變，符號(hào)看象限）k 二/2+a所謂奇偶指的是整數(shù)k的奇偶性莄函數(shù)蟻2.兩角和與差的三角函數(shù):聿（1）兩角和與差公式:肇 tana（a 二 L） 口注：公式的逆用或者變形tan a 二 tan :1 tan a tan :袂（2）二倍角公式:蒀 tan 2a2ta na1 -ta n2a從二倍角的余弦公式里面可得出腿降幕公式:cos a 二1 cos2a2.21 cos2asin a 二蒈（3）半角公式（可由降幕公式推導(dǎo)出）tanlsin_/-C0Sa2 2cos-2士 Ji +cosa亠 1 -co

3、sa1 cos asin a1 cosa1 -cosasin a蒃3.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：（其中kz）艿三角函數(shù)薅定義域芅（-乂，+OO）節(jié)(-O, +OO)荿值域羅-1,1螃-1,1羀(-O, +OO)葿最小正周期莆奇偶性蒅奇蝿偶葿奇螇單調(diào)袃單調(diào)遞蕿單調(diào)遞薅單調(diào)遞性增增增螂單調(diào)遞襖單調(diào)遞減減薁對(duì)稱(chēng)性蚈零值點(diǎn)芅最值點(diǎn)肅 x =2kJi，蚆無(wú)莀max =1 ；螈x = (2k+l)兀，螅4.函數(shù)y=Asin( x j的圖像與性質(zhì):莃(本節(jié)知識(shí)考察一般能化成形如y二Asin()圖像及性質(zhì))(2)袈函數(shù) y = Asin(，X )禾口 y =Acos()的周期都是T =(1)(3)(4) 肇函數(shù)y

4、 = Ata n(x )和y = Acot(x 的周期都是T = 一(5)(5) 芃五點(diǎn)法作八Asin(x )的簡(jiǎn)圖，設(shè)t x：，取0、丄、二、2、2二來(lái)求相應(yīng)x的值以及對(duì)應(yīng)的y值再描點(diǎn)作圖。2(7)(6) 膂關(guān)于平移伸縮變換可具體參考函數(shù)平移伸縮變換，提倡先平移后伸縮。切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖像變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。(附上函數(shù)平 移伸縮變換)：羈函數(shù)的平移變換：蒈 y = f(x)，y=f(x-a)(a 0)將y二f(x)圖像沿x軸向左(右)平移a個(gè)單位羄(左加右減)羈 y = f(x)，y = f(x)b(b 0)將y=f(x)圖像沿y軸向上(下)平

5、移b個(gè)單位肇(上加下減)蚄函數(shù)的伸縮變換:莂 八f(x) 八f(wx)(w .0)將y二f(x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐 標(biāo)縮到原來(lái)的丄倍(w 1縮短，0：w伸長(zhǎng))w蠆y = f(x)； y = Af (x)(A . 0)將y = f(x)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的A倍(A 1伸長(zhǎng)，0：A：1縮短)蚆函數(shù)的對(duì)稱(chēng)變換： 薃y = f (x)； y = f ( x)將y = f (x)圖像繞y軸翻折180 (整體 翻折)螞(對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)：圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng))芀y二f(x)y = -f(x)將y = f(x)圖像繞x軸翻折180 (整體翻 折)螆(對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)：圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng))羄y=f(x)

6、T y=f(x)將y = f(x)圖像在y軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞y軸翻折到左側(cè)（偶函數(shù)局部翻折）肀y=f（x）y=f（x）保留y=f（x）在x軸上方圖像，x軸下方圖像繞x軸翻折上去（局部翻動(dòng)）聿5.三角變換：螆三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)過(guò)程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算、化簡(jiǎn)的方法技能。（1）（2）蒞角的變換：角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系對(duì)角變換，還可作添加、刪除角的恒等變形（3）（4）袂函數(shù)名稱(chēng)變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱(chēng)為同名函 數(shù)。采用公式：astrcsa2 b2 s t n)(其 中02（6）裊常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證

7、明中有時(shí)候需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“ 1(5)(8) 螆幕的變換：對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式一般采用降幕處理， 有時(shí)需要升幕例如：.1 cosa常用升幕化為有理式。(9)(9) 芀公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角 公式的順用、逆用及變形。(11)(10) 袁結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中常常對(duì)條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進(jìn) 行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變乘為除，或求差等等。 在形式上有時(shí)需要和差與積的互化、分解因式、配方等。(13)(11) 羅消元法：如果所要證明的式子中不含已知條件中的某 些變量，可用此法(15)(12) 羃思路變換：如果一種思路無(wú)法再走下去，試著改變自 己的思路，通過(guò)分析

8、比較去選擇更合適、簡(jiǎn)捷的方法去解題 目。(17)(13) 羂利用方程思想解三角函數(shù)。如對(duì)于以下三個(gè)式子：sina cosa ， sin acosa薀sin a-cosa，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式均可求出，且必要時(shí)可以換元。肅6.函數(shù)的最值(幾種常見(jiàn)的函數(shù)及其最值的求法)：莄 y二asi nx b (或acosx b)型：利用三角函數(shù)的值域，須注意對(duì)字母的討論螄y=asi nx bcosx型：引進(jìn)輔助角化成y = ；a2 b2s in (x)再利用有界性荿y =asin2x bsin x c型：配方后求二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意 sinx蘭1的約束膅y=asinx b型：反解出sinx，化歸為

9、sin x空1解決csin x +d螅 y =a(sin x cosx) bsin x cosx c型： 常 用到換 元法： t 二sinx cosx， 但須注意t的取值范圍：t蘭血。膂(3)三角形中常用的關(guān)系：AR亠C膈 sinA=sin(B C)，cosA - -cos(B C)，sin* 二 cos_B -，2 2芅sin2A - -sin2(B C)，cos2A 二 cos2( B C)膆練習(xí)題:袃 1. （08 全國(guó)一一 6） y = （sin x cosx）2 _1 是（）膁A.最小正周期為2冗的偶函數(shù)蒞C.最小正周期為n的偶函數(shù)節(jié)2. （08全國(guó)一 9）為得到函數(shù)y =sinx的

10、圖像（）莁A.向左平移丄個(gè)長(zhǎng)度單位6罿C.向左平移55個(gè)長(zhǎng)度單位6蒞 3.（08 全國(guó)二 1）若 sin： ：0且 tanB.最小正周期為2冗的奇函數(shù)D.最小正周期為n的奇函數(shù)y = cos i x，只需將函數(shù)I 3丿B.向右平移丄個(gè)長(zhǎng)度單位6D.向右平移X個(gè)長(zhǎng)度單位6 - 0是，則是（）蚃A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角肅 4. （08 全國(guó)二 10）.函數(shù) f（x）二 sin x-cosx 的最大值為（）A. 1B.2 C .3 D . 2蚈5.（08安徽卷8）函數(shù)y二sin（2x 】）圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程可能是（）3蝿 A. xB. xC. xD. x = -6 12

11、 6 12肄6. （08福建卷7）函數(shù)y=cosx（x R）的圖象向左平移上個(gè)單位后，2得到函數(shù)y=g（x）的圖象，貝S g（x）的解析式為（）A.-sin xB.sin x C.-cos x D.cos x蒁 7. (08 廣東卷 5)已知函數(shù) f (x) = (1 cos2x)sin2x,x R，則 f (x)是( )螁A、最小正周期為:的奇函數(shù) B 、最小正周期為-的奇2函數(shù)衿C、最小正周期為二的偶函數(shù) D、最小正周期為-的偶2函數(shù)蒅8. （ 08海南卷11）函數(shù)f（x）=cos2x 2sin x的最小值和最大值分別為（）芃 A. - 3, 1B. -2, 2C. - 3, 32D.-2

12、,蒀9. （ 08湖北卷7）將函數(shù)y=si n（x）的圖象F向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)3度得到圖象F,若F的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線 -,則二的一個(gè)可能取1值是（）羈 A. B.1211_ n125-Tt12C.11JI12D.祎10. （08江西卷6）函數(shù)f（x） 沁 x是（）sin x 2sin2蟻A.以4二為周期的偶函數(shù)B.以2二為周期的奇函數(shù)艿C.以2二為周期的偶函數(shù)D.以4為周期的奇函數(shù)肇11.若動(dòng)直線x=a與函數(shù)f（x）=sinx和g（x） =cosx的圖像分別交于M , N兩點(diǎn)，貝卩MN的最大值為（）A. 1 B.2 C.3D. 2羃12. （08山東卷10）已知5，=；、3，則sin送的值是（

13、）莃A.2 血B 2/3C4D.-5555肇13.（08陜西卷1） sin330等于（)A . - 3 B . -1 C .12 2 2D.J2肇14.(08 四川卷 4) tanx cotx cos2 x =() A. tanx B . sinx C . cosxD . cotx莄15. （08天津卷6）把函數(shù)y =sinx（xR）的圖象上所有的點(diǎn)向左平 行移動(dòng)匸個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的31倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（）2x 二A. y =sin 2x , x R B. y = sin, x RI 3丿12 6丿袁 C. y =sin I 2x D

14、. y=sin 2x , x RI 3丿肁 16. （08 天津卷 9）設(shè) a = sin 片,b = cos2. , c =tan 片，貝卩（）月膈 A. a : b : c B. a : c : bC. b c aD. b a ： c螅17. （08浙江卷2）函數(shù)y = （sin x cosx）2 1的最小正周期是（）薂 A.B .二 C. D. 2二2 2袀18.（ 08浙江卷7 ）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y =cos（X ）（x . 0,2二）的圖象和直線y J的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.02 2 2B.1C.2D.4羋19. （ 08北京卷9）若角:的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1,-2），則tan

15、2的值為 .膆 20. （08 江蘇卷 1） f x = cos x - I 6丿5貝，= .肀21. （08遼寧卷16 ）設(shè)0,，貝卩函數(shù) 廠2皿 1的最小值 I 2 丿sin 2x為.蚈22. (08浙江卷12)若sin(工代)=3，則cos =。25廠?莈23. (08上海卷6)函數(shù)f(x) =3sin x +sin(勺+x)的最大值是莂 24. (08 四川卷 17)求函數(shù) y = 74sin xcosx 4cos2 x4cos4 x 的最大 值與最小值。螂25.( 08北京卷15)已知函數(shù) f (x)二 sin2 x .3I 2丿( 0 )的最小正周期為n. ( I)求的值；(H)求

16、函數(shù)f (x)在區(qū) 間0,上的取值范圍.3莇 26.( 08 天津卷 17)已知函數(shù) f (x) = 2cosX 2sinxcosx1(x.0 )的最小值正周期是-.(I)求的值；2蒈(H)求函數(shù)f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合.螃 27.(08 安徽卷 17)已知函數(shù) f(x)=cos(2x ) 2sin( x )sin( x )3 44膀(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程 蒀(H)求函數(shù)f(x)在區(qū)間一二二上的值域12 2薈28.(08陜西卷17)已知函數(shù)f(x)=2sin cos- -/3si門(mén)2蘭 + /3 .4 44膄(I)求函數(shù)f(x)的最小正

17、周期及最值；袂(II)令g(x) = f x丄，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由. I 3丿腿練習(xí)題參考答案：薇 1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A薅 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C莀 19. 420. 1021.322.23.23 25羈 24.解：y = 7 -4sin xcosx +4cos2 x -4cos4 x蚇由于函數(shù) “ u-12 6在-1,1 l中的最大值為羆最小值為肂故當(dāng)sin2x - 一1時(shí)y取得最大值10，當(dāng)sin2x =1時(shí)y取得最小值6羈【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察三角函數(shù)基本公式的變形，配方法，符合函數(shù)的值域及最值；螇【突破】：利用倍角公式降幕，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵；肅 25.解：(I)、1-cos2x 后.小.小1c1f(x)sin 2 - x sin 2 x cos2 x -n 2x 67n6，2 2 2 2 2因此0 sin +6 2因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為n,且0 , 所以亠=冗，解得.=1 . f (x)二sin