測量誤差與不確定度基礎及測量數(shù)據(jù)處理

1、第二章 測量誤差與不確定度基礎及測量數(shù)據(jù)處理,第一節(jié) 測量誤差的基本概念,實際測量中，由于對客觀規(guī)律認識的局限性、測量器具不準確、測量手段不完善、測量條件發(fā)生變化及測量工作中的疏忽或錯誤等原因，都會使測量結(jié)果與真值不同,一、測量誤差的定義 測量誤差是指測量結(jié)果與被測量真值的差別。 真值：一個量在被觀測時所具有的真實大小。 測量誤差可用絕對誤差和相對誤差表示。 1、絕對誤差 絕對誤差又叫做絕對真誤差，它可以表示為,x：絕對真誤差 x：被測量的測量值 x0：被測量的真值,2、相對誤差 絕對真誤差不能確切反映測量的準確程度。 （1）相對真誤差（相對誤差） 相對真誤差指絕對誤差與被測量真值的比值，表示

2、為,示值相對誤差（標稱相對誤差）：絕對誤差x與測量值x的比值，絕對誤差較大時不適合用示值相對誤差表示。 一些儀器的準確程度，常用誤差的絕對形式和相對形式表示。 【例】某信號發(fā)生器輸出脈沖寬度誤差表示為： 10%0.025us,2）分貝誤差相對誤差的對數(shù)表示 在電子學和聲學中常用分貝來表示相對誤差，稱為分貝誤差。 分貝誤差與相對真誤差 【例】測量某電路網(wǎng)絡，其電壓傳遞函數(shù)真值為A0，可以將A0用分貝表示為 電壓傳遞函數(shù)測量值A，用分貝表示為 A與A0之間相差A，即,AdB與A0dB之間相差dB，即 dB與關系怎樣呢,例】某單級放大器電壓增益的真值A0為100，某次測得電壓增益A95，求該測量的相

3、對誤差和分貝誤差,例】某電壓放大器，ui1.2mV，測得uo6000mV，設ui的誤差不計，uo的測量誤差13%。求該電壓放大器電壓增益的絕對誤差A、相對誤差及分貝誤差dB,3、引用誤差 引用誤差指測量值的絕對誤差與儀表量程的比值，用來表示儀表的準確程度,常用的電工儀表分為七個級別，表示它們引用誤差不超過的百分比,例】檢定一個1.5級量程為100mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在50mA處的誤差最大，為1.4mA，其他刻度處誤差均小于1.4mA，問此電流表是否合格,二、測量誤差的分類 根據(jù)測量誤差的性質(zhì)和特點，測量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差三類。 （一）系統(tǒng)誤差 在相同條件下，對同一被測量進行無

4、限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差稱為系統(tǒng)誤差。 在重復條件下測量同一量時，系統(tǒng)誤差的絕對值和符號保持恒定。 修正值：用于修正系統(tǒng)誤差；由于系統(tǒng)誤差確切值的不可知，修正值對系統(tǒng)誤差的修正并不是完美的，但能夠使測量結(jié)果更接近于真值,二）隨機誤差 在重復條件下，某次測量結(jié)果與對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果平均值之差稱為這次測量的隨機誤差。 隨機誤差是由對測量結(jié)果影響較小的、互不相關的因素引起的。 某一次測量的隨機誤差不可預測、不能控制，但足夠多次測量中，隨機誤差總體上服從統(tǒng)計的規(guī)律。 在多次測量中，隨機誤差的特性： 有界性隨機誤差的絕對值實際上不會超過一定的界限； 對稱性絕對值相等

5、的正負誤差出現(xiàn)的機會相同； 抵償性隨機誤差的算術平均值隨著測量次數(shù)的無限增加而趨于零,三）粗大誤差 超出在規(guī)定條件下預期的誤差稱為粗大誤差。 粗大誤差使測量結(jié)果明顯偏離真值。 對含有粗大誤差的測量值做剔除處理,三、測量誤差的估計和處理 根據(jù)不同誤差的性質(zhì)和特點，對其處理的方法也不同。 （一）隨機誤差的統(tǒng)計處理 足夠多次測量中，隨機誤差體現(xiàn)了很強的規(guī)律性。對隨機誤差的研究采用概率、統(tǒng)計的方法，研究隨機誤差的分布形狀和主要數(shù)字特征。 1、隨機誤差的概率分布密度 電子測量中常用的概率分布密度的圖形（分布曲線）有：正態(tài)分布、矩形（均勻）分布、三角分布等,1）正態(tài)分布 服從正態(tài)分布隨機誤差形成因素應滿足

6、中心極限定理的條件。即隨機誤差為多種互不相關的因素造成的許多微小誤差的總和。 服從正態(tài)分布的隨機誤差概率密度表達式： 該隨機誤差影響下的測量值概率密度表達式,2）矩形分布 矩形分布又稱均勻分布。 （3）三角形分布 2、隨機誤差影響下測量值的數(shù)學期望和方差 隨機誤差的影響，使測量值在一定范圍內(nèi)上下波動，測量值是一個隨機變量。測量值的取值可能是連續(xù)的，也可能是離散的,1）測量值為離散值時的數(shù)學期望和方差 假設測量值X的可能取值個數(shù)為m，對其進行n次測量，測量值X的數(shù)學期望表示為,當n時，可以用第k個取值發(fā)生的頻率nk/n來代替第k個取值發(fā)生的概率pk（k1m）。則測量值X的數(shù)學期望表示為,以1/n

7、取代nk/n，上式可寫成,測量值的數(shù)學期望反映了測量值的平均情況，并不能體現(xiàn)測量值的離散程度。測量值的離散程度通常用測量值的方差D（X）來表示,方差的物理意義 標準偏差（標準差、均方差）：方差的算術平方根,2）測量值為連續(xù)值時的數(shù)學期望和方差 測量值在其取值區(qū)間內(nèi)連續(xù)的時候，取值有無窮多個，某一個取值出現(xiàn)的可能性（概率）趨于0，此時只能用概率密度的概念來對測量值進行分析。 概率密度表達式,測量值的數(shù)學期望為,測量值的方差為,3、用有限次測量值估計數(shù)學期望和方差 總體的數(shù)學期望和標準偏差 單次測量的數(shù)學期望和標準偏差 實際測量是有限次測量，只能根據(jù)n次測量結(jié)果對測量值數(shù)學期望和方差進行估計。 隨

8、機樣本（樣本） （1）有限次測量值平均值的性質(zhì) 有限次測量平均值的數(shù)學期望與測量值數(shù)學期望的關系 有限次測量平均值的方差與測量值方差的關系,2）數(shù)學期望和方差的估計 判斷估計合理的兩個原則： 估計的一致性原則和無偏性原則 A、一致性原則 假設 為 的估計值，當樣本容量n無限增大時，估計值 依概率收斂于 ，則稱 為 的一致估計值,B、無偏性原則 如果 的數(shù)學期望等于 ，則 可以作為 的無偏估計值,數(shù)學期望的估計： 用n次測量的平均值作為M（X）的估計值。 方差的估計： 貝塞爾公式,殘差（剩余誤差）：n次測量中第k次測量值與平均值之差,三）處理系統(tǒng)誤差的一般方法 對系統(tǒng)誤差，沒有通用的處理方法，通

9、常針對具體的測量條件采用一定的技術措施盡量減小系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響。 1、系統(tǒng)誤差的判別 系統(tǒng)誤差可分為恒值系差和變值系差 （1）理論分析法,二）用統(tǒng)計學方法剔除異常數(shù)據(jù),2）剩余誤差觀察法 測量中，固定其他測量條件不變，使某一條件有規(guī)律變化，記錄測量值，計算剩余誤差,觀察剩余誤差的變化規(guī)律，從而了解系統(tǒng)誤差隨該條件的變化規(guī)律。WHY？ 假設該測量中，系統(tǒng)誤差由變化部分和恒定部分組成，則測量值可以寫成,隨機誤差較大時，剩余誤差中隨機誤差起主導作用，觀察剩余誤差的變化規(guī)律就很難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律,3）公式判斷法 馬利科夫判據(jù) 常用來判別累進性系統(tǒng)誤差,阿卑赫梅特判據(jù) 常用來判別周期性系統(tǒng)

10、誤差,通常M的絕對值不小于最大的殘差絕對值時，則認為有累進性系統(tǒng)誤差,2、測量前盡量消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源 3、消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術 （1）零示法,圖中檢流計G示數(shù)為0時,2）代替法（置換法） 舉例：電橋中代替法測位置電阻 （3）交換法（對照法） 舉例：電橋測電阻時將被測電阻放在不同臂端測量并取平均值 （4）微差法 零示法要求標準量與被測量完全相等，若標準量不能連續(xù)可變，可用微差法進行測量。 設被測量為x，和它相近的標準量為B，被測量x與標準量B之間的微差為A，A的數(shù)值可以由指示儀表測量，相對誤差為A/A。試分析x的相對誤差,微差法測未知電壓Vx： 用電壓表V測量被測電壓Vx與標準

11、電壓V之間的微差。設標準電壓的相對誤差不大于萬分之五，電壓表的相對誤差不大于百分之一，相對微差為五十分之一。求被測電壓的相對誤差為多少,第二節(jié) 測量不確定度及測量結(jié)果的表征 一、測量不確定度及其分類評定 測量不確定度實際上是指測量結(jié)果的可信程度。 二、測量結(jié)果的置信問題及擴展不確定度 三、測量誤差和不確定度的合成 1、測量誤差的合成 （1）誤差傳遞公式 誤差的合成是研究如何根據(jù)分項誤差求總誤差的問題。分項與總合之間是各種各樣的函數(shù)關系,常見函數(shù)的合成誤差 和差函數(shù) 積函數(shù) 商函數(shù) 冪函數(shù),和差函數(shù),積函數(shù),商函數(shù),冪函數(shù),2）系統(tǒng)誤差的合成 （3）隨機誤差的合成 2、測量不確定度的合成 四、測

12、量結(jié)果報告 五、測量結(jié)果的準確度及相關術語的演變,例：測量電阻R消耗的功率P時，可間接測量電阻值R、電阻兩端的電壓U、通過電阻的電流I，然后通過不同的計算方案得到P。假設對R、U、I測量的相對誤差分別為： 試分析哪一種計算方案的誤差最小,第三節(jié) 加權平均與回歸分析 一、非等權測量和加權平均 測量結(jié)果的分散性主要取決于測量條件。即相同條件下的每組測量具有相同的標準偏差，測量條件改變，測量結(jié)果的標準偏差也會不同。 一個特例：在測量條件不變時，對被測量進行幾組測量并用幾組測量結(jié)果的平均值作為最終測量結(jié)果，但這幾組測量的測量次數(shù)不同。 例如：在環(huán)境和條件不變的情況下，測量某電壓值。進行了兩組測量，第一組測量100次，第二組測量10次，這110次測量具有相同的標準偏差。但對于這兩組測量結(jié)果的平均值，標準