14-3梅涅勞斯定理和塞瓦定理.題庫學(xué)生版

1、梅涅勞斯定理和塞瓦定理中考要求知識點A要求B要求C要求比例及 定理熟知定理內(nèi)容掌握平行線分線段成比例定理的內(nèi)容以及其推論，同時會運 用定理解決問題會運用定理及其推論的內(nèi)容來解 決相似的問題gum 知識點睛、比例的基本性質(zhì)a c1）ad二be,這一性質(zhì)稱為比例的基本性質(zhì)，由它可推出許多比例形式b d2）- =- b =.-（反比定理）;b d a e3)旦=2= -=b(或d仝)(更比定理); b d e d b aaea b4)bdbaea -b5)bdbaea b6)bda be亠d二（合比定理）;de -dd（分比定理）;de亠d=-d （合分比定理）;e -d二 m (b d 梟n =0

2、) u n（等比定理）.二、平行線分線段成比例定理1平行線分線段成比例定理AR如下圖，如果li / I2 / I3，貝yDEBCACDFACEFDFAB ACDE DFliI 21 32.平行線分線段成比例定理的推論:如圖，在三角形中,如果 DE / BC ,AEDEAB AC BC,反之如果有AD AE DEAB AC BC,那么 DE / BCAEB三、梅涅勞斯定理梅內(nèi)勞斯(Menelaus，公元98年左右)，是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家.梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理.梅涅勞斯定理： X、Y、Z分別是 ABC三邊所在直線 BC、CA、AB上的點.貝U X、Y、Z共線 的充分必要條件是：

3、BZ AY=1 .XB ZA YC根據(jù)命題的條件可以畫出如圖所示的兩個圖形：或X、Y、Z三點中只有一點在三角形邊的延長線上，而其它兩點在三角形的邊上；或 X、Y、Z三點分別都在三角形三邊的延長線上.證明：(1)必要性，即若X、Y、Z三點共線，則空醫(yī)1 .XB ZA YC設(shè)A、B、C到直線XYZ的距離分別為a、b、c 則CXc BZ b, 、AY_ a，三式相乘即得CXBZ AY c b a .1XBb ZA aYCcXBZA YC b a c(2)充分性，即若CXBZAY竺=1，則X、Y、Z三點共線.XBZAYC設(shè)直線XZ交AC于Y，由已證必要性得：AY 1XB ZA Y C又因為冬=1，所以

4、XB ZA YCAYYC AYYC因為Y 和 Y或同在AC線段上，或同在 AC邊的延長線上，并且能分得比值相等，所以Y和Y比重合為一點，也就是 X、Y、Z三點共線.空、旦乙、空 三個比中，已知其中兩個可以求XB ZA YC梅涅勞斯定理的應(yīng)用，一是求共線線段的筆，即在得第三個二是證明三點共線.四、塞瓦定理連結(jié)三角形一個頂點和對邊上一點的線段叫做這個三角形的一條塞瓦線塞瓦(G Gevo1647-1734 )是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理.塞瓦定理：從 ABC的每個頂點出發(fā)作一條塞瓦線AX , BY , CZ .則AX , BY ,C

5、Z共點的充分必要條件是BX CY AZXC YA ZB充分性命題：設(shè) ABC的三條塞瓦線 AX , BY , CZ共點，則必有 胚 CY =1 .XC YA ZB必要性命題：設(shè) ABC中，AX , BY , CZ是三條塞瓦線，如果CY1，則AX , BY ,CZ 三XC YA ZB線共點.我們先證明充分性命題.如圖，設(shè)AX , BY , CZ相交于P點，過A作BC邊的平行線，分別交 BY , CZ的延長線于B , C .由平行截割定理，得BX AB CYXC AC YABCAZZB ACBC上面三式兩邊分別相乘得:BX CY AZXC YA ZB我們再證明必要性命題.X假設(shè)AX與BY這兩條塞瓦

6、線相交于 P點，連CP交AB于Z.則CZ 也是一條過P點的 ABC的塞 瓦線根據(jù)已證充分性命題，可得BX CY AZ =仁由因為BX CY AZ，進而可得AZ二AZ . 所XC YA Z BXC YA ZBZB ZB以A 巴，因此AZ JAZ 所以Z 與 Z重合，從而CZ 和 CZ重合，于是得出 AX , BY , CZ共點.AB AB塞瓦定理在平面幾何證題中有著舉足輕重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可證明三線共點問題第二方面，當(dāng)一個三角形有三條塞瓦線共點時，依據(jù)塞瓦定理的充分性命題，就可以得出六條線段比例乘積等于1的關(guān)系式利用這個關(guān)系式可以證明線段之間的比例式或乘積式.:I例題精講、梅

7、涅勞斯定理【例1】 已知 ABC中，D是BC的重點，經(jīng)過 D的直線交 AB與E，交CA的延長線于 F .求證:FA _ EAFC EB .【例2】 如圖所示， ABC中，/ ABC =90 , AC = BC . AM為BC邊上的中線，CD _ AM于D , CD 的延長線交AB于E .求AE .EB【例3】 在厶ABC的三邊BC、CA、AB上分別取點D、E、F .使昱=坐=包=丄.若BE與CF ,DC EA FB 2CF與AD , AD與BE的交點分別為 A、Bi、G【例4】 如圖所示， ABC的三條外角平分線 BE、AD、CF ,與對邊所在直線交于E、D、F三點,求證：D、E、F三點共線.

8、D求證：氐 A B61S ABC7【例5】 如圖所示，設(shè)D、E分別在 ABC的邊AC、AB上，BD與CE交于F , AE二EB ,AD 2DC 3abc=40 .求 Saefd【例6】 如圖所示， ABC內(nèi)三個三角形面積分別為 5, 8, 10.四邊形AEFD的面積為x，求x的值.【例7】 如圖所示， ABC被通過它的三個頂點與一個內(nèi)點O的三條直線分為 6個小三角形，其中三個小三角形的面積如圖所示，求ABC的面積.C【例8】 ABC中，D , E分別是BC , CA上的點，且BD : DC =m:1 , CE : EA = n:1 . AD與BE交于F , 問厶ABF的面積與 ABC面積的比值

9、是多少？【例9】P是平行四邊形 ABCD內(nèi)任意一點，過P作AD的平行線, 作AB的平行線，分別交 AD于G，交BC于H，又CE，分別交AB于E，交CD于F ；又過P AH相交于Q .求證：D ,P ,Q三點共線.二、塞瓦定理【例10】設(shè)AX , BY , CZ是 ABC的三條中線，求證： AX , BY , CZ共點.【例11】若AX , BY , CZ分別為 ABC的三條內(nèi)角平分線.求證： AX , BY , CZ共點.AYC【例12】若AX , BY , CZ分別為銳角 ABC的三角高線，求證： AX , BY , CZ共點.XC【例13】如圖，設(shè)M為 ABC內(nèi)一點，BM與AC交于點E , CM與AM交于F ,若AM通過BC的中 點 D，求證：EF / BC .【例14】銳角三角形 ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點，BH和CH的延長線分 別交 AC、AB 于 E、F，求證：.EDH = FDH .【例15】如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分