七.隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)的分析

1、2021/1/26,1,隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)的分析,2021/1/26,2,內(nèi)容安排,1,2021/1/26,3,1.1 非線性系統(tǒng),與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)的特點(diǎn),1）疊加原理已不適用，故當(dāng)信號(hào)之和共同通過非線性 系統(tǒng)時(shí)，不能像線性系統(tǒng)那樣將它們分開研究； （2）會(huì)在輸出端產(chǎn)生輸入信號(hào)中不含有的新頻率分量； （3）一般不能得到閉合形式解，分析方法一般不通用,2021/1/26,1.1 非線性系統(tǒng),常用的非線性系統(tǒng),1) 理想雙向限幅器,2) 平方律檢波器,3) 全波線性檢波器,4) 半波線性檢波器,2021/1/26,5,無惰性非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算,非線性系統(tǒng),無惰性 (無記憶,

2、有惰性 (有記憶,在某一給定時(shí)刻，非線性系統(tǒng)的輸出y(t)只取決于 同一時(shí)刻的輸入x(t),而與x(t)的過去或未來值無關(guān)。惰 性非線性系統(tǒng)可以看成無惰性的和線性系統(tǒng)的級(jí)聯(lián),1.1 非線性系統(tǒng),2021/1/26,6,1.2 非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算,非線性系統(tǒng)的傳輸特性,一維概率密度的求解步驟,輸入信號(hào)的概率密度,非線性系統(tǒng)輸出的概率密度,1) 寫出輸入隨機(jī)信號(hào)的一維概率密度函數(shù),2) 寫出非線性系統(tǒng)的傳輸特性 ， 并求其反函數(shù),2021/1/26,7,1.2 非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算,3) 根據(jù)反函數(shù)求雅可比因子,4) 寫出非線性系統(tǒng)輸出的一維概率密度,單值,多值,表示t時(shí)刻一個(gè)y

3、值對(duì)應(yīng)n個(gè)x值中的第i個(gè)值,2021/1/26,8,1.2 非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算,二維概率密度的求解步驟,1) 寫出輸入隨機(jī)信號(hào)的二維概率密度函數(shù),2) 寫出非線性系統(tǒng)的傳輸特性 ， 并求其反函數(shù),2021/1/26,9,1.2 非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計(jì)算,3) 根據(jù)反函數(shù)求雅可比因子,4) 寫出非線性系統(tǒng)輸出的二維概率密度,單值,2021/1/26,10,2 非線性系統(tǒng)輸出統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算方法,均值，方差 相關(guān)函數(shù) 平均功率 功率譜密度,統(tǒng)計(jì)特性,計(jì)算方法,直接法 特征函數(shù)法 多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法 包線法,2021/1/26,11,2.1 直接法,1) 寫出非線性系統(tǒng)的傳輸特性和輸入

4、隨機(jī)信號(hào)的 一維概率密度或二維概率密度,2) 計(jì)算非線性系統(tǒng)輸出的均值,3) 計(jì)算非線性系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù),2021/1/26,12,2.1 直接法,4) 計(jì)算非線性系統(tǒng)輸出的平均功率,5) 計(jì)算非線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度;自相關(guān)函數(shù)作傅里葉變換,概率密度函數(shù)表達(dá)式和非線性系統(tǒng)的傳輸特性都比較簡(jiǎn)單,2021/1/26,13,2.1 直接法,若輸入X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)過程，非線性系統(tǒng)輸出,至少是寬平穩(wěn)過程,平方律檢波器的傳輸特性為 ，其中b是常數(shù),平方律檢波器,設(shè)檢波器輸入端作用的,是一個(gè)零均值的正態(tài)噪聲,因此,令n1 和 n2，得到,由于方差為,的正態(tài)隨機(jī)變量X的各階矩為,正態(tài)噪聲作用于平方律檢

5、波器,輸出相關(guān)函數(shù),輸出功率譜密度,設(shè)平方律檢波器輸入端的隨機(jī)信號(hào)是,噪聲的均值為零，信號(hào)和噪聲彼此不相關(guān)，平方律檢波器 輸出的自相關(guān)函數(shù)是,當(dāng)輸入是平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí),信號(hào)和噪聲同時(shí)作用于平方律檢波器,平方律檢波器輸出端的功率譜密度,為在,例1. 假設(shè)輸入是等幅正弦信號(hào),是常數(shù),式中,之間均勻分布的隨機(jī)變量輸入噪聲,為零均值的平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程，信號(hào)與噪聲彼此不相關(guān)。試計(jì)算 平方律檢波器輸出信號(hào)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和功率譜 密度,解,輸入信號(hào)的自相關(guān)函數(shù),輸入信號(hào)平方的自相關(guān)函數(shù),輸入噪聲平方的相關(guān)函數(shù)為,輸出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)為,時(shí)，求得的自相關(guān)函數(shù)便是輸出的均方值，即,2021/1/26,22,

6、2.2 特征函數(shù)法,利用特征函數(shù)法求解輸出自相關(guān)函數(shù),寫出非線性系統(tǒng)的傳輸特性，并求出其傅立葉變換 或雙邊拉普拉斯變換（轉(zhuǎn)移函數(shù),在變換域上分析隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng),2021/1/26,23,2.2 特征函數(shù)法,2) 計(jì)算輸入隨機(jī)信號(hào)的二維特征函數(shù),3) 計(jì)算輸出的自相關(guān)函數(shù),2021/1/26,24,2.2 特征函數(shù)法,4) 計(jì)算非線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度;自相關(guān)函數(shù)作傅里葉變換,這種方法可以在一定程度上解決直接法遇到的計(jì)算積 分的困難，類似于把“時(shí)域”中難處理的問題變換到“頻域” 里來處理。 但當(dāng)特征函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，仍然會(huì)產(chǎn)生求解積分的困難,2021/1/26,25,2.2 特征函數(shù)法,普

7、賴斯(Price)定理,普賴斯利用特征函數(shù)法證明，當(dāng)輸入為高斯過程時(shí)，輸出的自相關(guān)函數(shù)可以通過系統(tǒng)傳輸特性，和輸入的二維概率密度函數(shù)聯(lián)系起來 設(shè)輸入為零均值、單位方差，平穩(wěn)高斯過程，系統(tǒng)的輸出為,2021/1/26,26,2.3 多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法,伏特拉(Voterra)級(jí)數(shù) 前面把一般非線性系統(tǒng)分成無記憶和線性的級(jí) 聯(lián)，這里直接研究無記憶非線性系統(tǒng)，連續(xù)函數(shù) X(t)作用于非線性系統(tǒng)的輸出表示為： 式中k0 , k1 稱為Volterra核函數(shù),具有以下性質(zhì)(1)因果律，當(dāng)任一 時(shí)， (2)自變量可以交換,2021/1/26,27,將非線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)展開成級(jí)數(shù)（即多項(xiàng)式）， 使系統(tǒng)輸

8、出y(t)的矩函數(shù)能用輸入隨機(jī)信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)的 線性組合來表示，它是伏特拉級(jí)數(shù)的特殊情況，只需令,求系統(tǒng)輸出均值和自相關(guān)函數(shù)步驟,1) 若非線性系統(tǒng)的傳輸特性g(x)在0處各階導(dǎo)數(shù)存在， 則將其按馬克勞林級(jí)數(shù)展開為,2.3 多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法,2021/1/26,28,2) 計(jì)算輸入k階原點(diǎn)距 ，則輸出均值為,2.3 多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法,2021/1/26,29,3) 計(jì)算輸入各階聯(lián)合原點(diǎn)距,則輸出自相關(guān)函數(shù)為,4) 求輸出自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換得輸出功率譜 密度,2.3 多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法,2021/1/26,30,非線性系統(tǒng)輸出端的統(tǒng)計(jì)特性可以用輸入隨機(jī)信號(hào)各 階矩函數(shù)的線性組合來表

9、示。 缺點(diǎn)：當(dāng)展開式中項(xiàng)數(shù)超過三項(xiàng)時(shí)，計(jì)算就顯得十分 復(fù)雜,2.3 多項(xiàng)式變換的矩函數(shù)法,2021/1/26,31,2.4 包線法,若非線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過程，則采用包 線法求解該系統(tǒng)輸出的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)，因?yàn)樵?檢波器輸出端，我們關(guān)心的只是低頻分量,1) 寫出輸入窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式,非線性系統(tǒng)輸出表達(dá)式,某一時(shí)刻t,2021/1/26,32,2.4 包線法,2) 展成傅立葉級(jí)數(shù)形式,3) 計(jì)算輸出低頻分量的均值,包絡(luò)的一維概率密度,2021/1/26,33,2.4 包線法,4) 計(jì)算輸出低頻分量的方差,2021/1/26,34,2.4 包線法,5) 計(jì)算輸出的自相關(guān)函數(shù),

10、包絡(luò)A(t)的二維聯(lián)合概率密度,6) 求輸出自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換得輸出功率譜密度,問題描述,線性檢波器的特性為,作用在檢波器,在線,輸入端窄帶正態(tài)隨機(jī)過程在t時(shí)刻的狀態(tài)為,性檢波器輸出端得,求輸出信號(hào)的均值和方差,窄帶正態(tài)隨機(jī)過程通過線性檢波器,由于檢波以后，我們關(guān)心的只是隨機(jī)過程的低頻起伏分量,式中,為檢波器輸出端的低頻分量,因此,窄帶正態(tài)噪聲包絡(luò)的一維概率密度為,于是可得,輸出低頻起伏成分的方差為,平方律檢波器為,作用在檢波器輸入端的,在平方律檢波器,隨機(jī)過程在t時(shí)刻的狀態(tài)為,輸出端得,問題描述,求輸出信號(hào)的均值和方差,窄帶正態(tài)隨機(jī)過程通過平方律檢波器,相位和幅度彼此獨(dú)立的隨機(jī)變量，可以分別求出,由于,所以,故得,檢波器輸出端的統(tǒng)計(jì)平均值,因?yàn)樵跈z波器輸出端，我們關(guān)心的只是低頻分量,是二次諧波項(xiàng)，在檢波后濾去了,所以,故得,根據(jù)積分公式,檢波器輸出端的方差,2021/1/26,42,2.5 非線性系統(tǒng)輸出信噪比的計(jì)算原則,信號(hào)和噪聲同時(shí)