13-1-3菱形的性質(zhì)及判定.題庫(kù)學(xué)生版

1、I菱形的性質(zhì)及判定2UL1厘中考要求知識(shí)點(diǎn)A要求B要求C要求菱形會(huì)識(shí)別菱形掌握菱形的概念、性質(zhì)和判定，會(huì)用菱形的性質(zhì)和 判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題會(huì)用菱形的知識(shí)解決有關(guān) 問(wèn)題.；L Hr知識(shí)點(diǎn)睛1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2 .菱形的性質(zhì)菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，？還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)： 邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且四邊相等. 角的性質(zhì)：鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等. 對(duì)角線性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直平分且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角; 對(duì)稱(chēng)性：菱形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形:.菱形的面積等于底乘以咼，等于對(duì)角線乘積的一半.點(diǎn)評(píng)：其實(shí)只要四邊形的對(duì)角線互相垂直，其面積就等于對(duì)角線

2、乘積的一半.3.菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.判定：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.判定：四邊相等的四邊形是菱形.4 .三角形的中位線中位線：連結(jié)三角形兩邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中位線.也可以過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線.以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質(zhì)，第二種需要說(shuō)明理由為什么是中 位線，再用中位線的性質(zhì).定理：三角形的中位線平行第三邊且長(zhǎng)度等于第三邊的一半.:(hL重、難點(diǎn)重點(diǎn)是菱形的性質(zhì)和判定定理。菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先她是平行四邊形，但它 是特殊的平行四邊形，特殊之處就是有一組鄰邊相

3、等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊 形的判定方法。菱形的這些性質(zhì)和判定定理即是平行四邊形性質(zhì)與判定的延續(xù)，又是以后要學(xué)習(xí)的正方形 的基礎(chǔ)。難點(diǎn)是菱形性質(zhì)的靈活應(yīng)用。由于菱形是特殊的平行四邊形，所以它不但具有平行四邊形的性質(zhì)， 同時(shí)還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)。如果得到一個(gè)平行四邊形是菱形，就可以得到許多關(guān)于邊、角、對(duì)角線的條 件，在實(shí)際解題中，應(yīng)該應(yīng)用哪些條件，怎樣應(yīng)用這些條件，常常讓許多學(xué)生手足無(wú)措，教師在教學(xué)過(guò)程中 應(yīng)給予足夠重視。則tMllp例題精講板塊一、菱形的性質(zhì)【例1】菱形的兩條對(duì)角線將菱形分成全等三角形的對(duì)數(shù)為【例2】 在平面上，一個(gè)菱形繞它的中心旋轉(zhuǎn)，使它和原來(lái)的菱形重合

4、，那么旋轉(zhuǎn)的角度至少是【例3】 如圖2，一活動(dòng)菱形衣架中，菱形的邊長(zhǎng)均為16cm若墻上釘子間的距離 AB=BC=16cm，則1度.【例4】 如圖，在菱形 ABCD中，.A =60 , E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，若EF = 2，則菱形ABCD 的邊長(zhǎng)是A【例引 如圖，E是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，EF _ AC于H，交CB的延長(zhǎng)線于F ,交AB于P , 證明：AB與EF互相平分.FC【例6】 如圖1所示，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O, H為AD邊中點(diǎn)，菱形 ABCD的周 長(zhǎng)為24，貝U OH的長(zhǎng)等于 .圖1【例7】 如圖，已知菱形 ABCD的對(duì)角線AC =8cm , BD =

5、4cm , DE _ BC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為【例8】 菱形周長(zhǎng)為52cm，一條對(duì)角線長(zhǎng)為10cm，則其面積為 【例9】 菱形的周長(zhǎng)為20cm，兩鄰角度數(shù)之比為 2:1，則菱形較短的對(duì)角線的長(zhǎng)度為【例10】如圖2，在菱形ABCD中，AC =6 , BD =8，則菱形的邊長(zhǎng)為（）A. 5B. 10C. 6D . 8【例11】如圖3，在菱形ABCD中，/A=110 , E、F分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP_CD于點(diǎn)P，則FPC 二（）A. 35B. 45C. 50D. 55【例12】如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，為了得到一個(gè)銳角為60的菱形，剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應(yīng)為（）A

6、. 15 或 30 B . 30 或 45 C . 45 或 60 D . 30 或 60【例13】菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，且AE _ BC , AF _CD ,那么.EAF等于【例14】已知菱形的一個(gè)內(nèi)角為 60 , 一條對(duì)角線的長(zhǎng)為 2麗，則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)為 【例15】如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為10cm，寬為8cm的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（虛線）剪下，再打開(kāi)，得到的菱形的面積為（）2 2 2 2A. 10cmB . 20cmC . 40cmD . 80cmDC【例16】已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線 AC,BD的乘積等于菱形的一條邊長(zhǎng)的平方，則菱形的一個(gè)

7、鈍角的 大小是【例17】如圖，菱形花壇ABCD的周長(zhǎng)為20m，. ABC =60，?沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長(zhǎng)和花壇的面積.C 圖2【例18】如圖，在菱形 ABCD中，AB =4a ,E在BC上，BE =2a , BAD =120 ,P點(diǎn)在BD上，則PE PC的最小值為【例19】已知，菱形 ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，若 AE二AF二EF二AB ,求.C的度數(shù).【例20】已知，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且 ZB /EAF =60，乙BAE =18 .求: NCEF的度數(shù).板塊二、菱形的判定【例21】如圖，如果要使平行四邊形是.AB

8、CD成為一個(gè)菱形，需要添加一個(gè)條件，那么你添加的條件【例22】如圖，在 ABC中，BD平分ZABC， BD的中垂線交 AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，求證：四邊形BEDF是菱形【例23】如圖，在 ABC中，AB =AC，D是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD，在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) E，連結(jié)BE， CE 當(dāng)AE與AD滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形 ABEC是菱形？并說(shuō)明理由.【例24】已知：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線 AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于E求證：四邊形AFCE是菱形.【例25】如圖，在梯形紙片 ABCD中，AD/BC , AD CD，將紙片沿過(guò)點(diǎn) D的直線折疊，使點(diǎn) C落在 AD上的點(diǎn)C處，

9、折痕DE交BC于點(diǎn)E，連結(jié)CE.求證：四邊形CDC E是菱形.A C【例26】如圖，E是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，EF _ AC于H，交CB的延長(zhǎng)線于F ,交AB于P，證 明：AB與EF互相平分【例27】已知：如圖，在平行四邊形 ABCD中，AE是BC邊上的高，將:ABE沿BC方向平移，使點(diǎn)E與 點(diǎn)C重合，得AGFC .若NB=60 當(dāng)AB與BC滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFG是菱形？證明你的結(jié)論.【例28】如圖，在ABC中，AB =AC , M是BC的中點(diǎn).分別作MD _ AB于D , ME _ AC于E , DF _ AC 于F , EG丄AB于G . DF、EG相交于點(diǎn)P .求證：四

10、邊形 DMEP是菱形.【例29】如圖，厶ABC中，.ACB =90 , AD是.BAC的平分線，交BC于D , CH是AB邊上的高，交AD 于F , DE丄AB于E，求證：四邊形 CDEF是菱形.HE【例30】如圖，M是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，將.MAB沿AD方向平移，使 AB與DC重合，點(diǎn)M移動(dòng) 到點(diǎn)M 的位置畫(huà)出平移后的三角形；連結(jié)MD , MC , MM ，試說(shuō)明四邊形 MDM C的對(duì)角線互相垂直，且長(zhǎng)度分別等于AB, AD的長(zhǎng)；當(dāng)M在矩形內(nèi)的什么位置時(shí)，在上述變換下，四邊形 MDM C是菱形？為什么？M【例31】如圖，.ACD、 ABE、. BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形已知 A

11、B =AC .順次連結(jié)A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類(lèi)？直接寫(xiě)出構(gòu)成圖形的類(lèi)型和相應(yīng) 的條件. 當(dāng).BAC為度時(shí)，四邊形 ADFE為正方形.三、與菱形相關(guān)的幾何綜合題【例32】已知等腰 ABC中，AB=AC , AD平分乙BAC交BC于D點(diǎn)，在線段 AD上任取一點(diǎn)P （ A點(diǎn) 除外），過(guò)P點(diǎn)作EF II AB，分別交AC、BC于E、F點(diǎn)，作PM / AC，交AB于M點(diǎn)，連 結(jié)ME .求證四邊形AEPM為菱形當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，菱形 AEPM的面積為四邊形 EFBM面積的一半？【例33】問(wèn)題：如圖1在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A , B , E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連結(jié)PG

12、 , PC 若ZABC ./BEF =60，探究PG與PC的位置關(guān)系及匹的值.PC小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng) GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：PC 寫(xiě)出上面問(wèn)題中線段 PG與PC的位置關(guān)系及 墮的值；將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變（如圖2）.你在中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明.若圖1中.ABC BEF =20 ： : ：: 90 ,將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度， 原問(wèn) 題中的其他條件不變，求 更 的

13、值（用含:.的式子表示）.PC四、中位線與平行四邊形【例34】順次連結(jié)面積為 20的矩形四邊中點(diǎn)得到一個(gè)四邊形，再順次連結(jié)新四邊形四邊中點(diǎn)得到一 個(gè)，其面積為.【例35】如圖，在四邊形 ABCD中，AB =CD , E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn),要使四邊形EFGH是菱形，四邊形 ABCD還滿(mǎn)足的一個(gè)條件是 ，并說(shuō)明理由.【例36】在四邊形ABCD中，AB =CD , P , Q分別是AD、BC的中點(diǎn)，M , N分別是對(duì)角線 AC , BD 中點(diǎn)，證明：PQ與MN互相垂直.Q【例37】四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上

14、從C向D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（）A. 線段EF的長(zhǎng)逐漸增大B. 線段EF的長(zhǎng)逐漸減小C. 線段EF的長(zhǎng)不變D. 線段EF的長(zhǎng)與點(diǎn)P的位置有關(guān)【例38】如圖，ABC中，AD是.BAC的平分線， CE _ AD于E , M為BC的中點(diǎn)， AB=14cm ,AC =10cm，貝U ME的長(zhǎng)為【例39】如圖，四邊形 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)ABCD中，AB =CD , E , F分別是BC , AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，分別交G,H，求證：ZBGE ZCHEBA, CD【例40】如圖，已知BE、CF分別為.ABC中.B、. C的平分線，AM _ BE于M , 證：MN / BC .AN _ C

15、F 于 N，求NM【例41】如圖，四邊形ABCD中，E , F分別是邊AB , CD的中點(diǎn)，貝U AD , BC和EF的關(guān)系是（)A. AD BC . 2EFB .AD BC 2EFC. AD BC ：2EFD.AD BC W 2EFFCA【例42】已知如圖所示，E、F、G、H分別是四邊形 ABCD的四邊的中點(diǎn)，求證：四邊形 EFGH是平 行四邊形.【例43】如圖，在四邊形 ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，ADE和.BCE都是等邊三角形， AB、BC、CD、 DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，證明四邊形PQMN為平行四邊形且PQ=PN .【例44】如圖，四邊形ABCD中，AB =CD, E , F

16、,G,H 分別是 AD , BC , BD , AC 的中點(diǎn)，求證：EF , GH相互垂直平分A 一EA(BFCB【例45】 ABC的三條中線分別為 AD、BE、CF , H為BC邊外一點(diǎn)，且BHCF為平行四邊形，求證:AD II EH C【例46】在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上取一點(diǎn)E，使BE =1DE3 于 F，則 CF =2AB ,連接AE并延長(zhǎng)與DC的延長(zhǎng)線交圖1【例47】如圖，ABC中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，G、H是AC的三等分點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng) EG、 FH交于點(diǎn)D 求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.【例48】如圖，在四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn),BD = AC , BD和AC相交于點(diǎn) 0 ,MN分別與 AC、BD相交于E、F，求證：OE =0F .C【例49】如圖，線段AB, CD相交于點(diǎn)0，且AB D，連結(jié)AD , BC , E , F分別是AD , BC的中點(diǎn)，EF分另交 AB, CD于M , N