向量與矩陣的范數(shù)ppt課件

1、3.5 向量與矩陣的范數(shù),一、. 向量范數(shù)： 對(duì)n維實(shí)空間Rn中任一向量X ，按一定規(guī)則有一確定的實(shí)數(shù)與其相對(duì)應(yīng)，該實(shí)數(shù)記為|X|，若|X|滿(mǎn)足下面三個(gè)性質(zhì)： (1)(非負(fù)性)|X|0，|X|=0當(dāng)且僅當(dāng)X=0。 (2)(齊次性)對(duì)任意實(shí)數(shù) ，| X|=| | |X|。 (3)(三角不等式)對(duì)任意向量YRn，|X+Y|X|+|Y| 則稱(chēng)該實(shí)數(shù)|X|為向量X的范數(shù),幾種常用的向量范數(shù)：設(shè)X=(x1,x2,.,xn)T,1）向量的1范數(shù),2）向量的2范數(shù),3）向量的范數(shù),4）向量的p范數(shù),1p,例 ：設(shè) x=(1 , -4, 0, 2)T 求它的向量范數(shù),7,4,注：前三種范數(shù)都是p范數(shù)的特殊情況

2、。其中,向量范數(shù)的連續(xù)性,定理3.3 設(shè)f(X)=|X|為Rn上的任一向量范數(shù),則f(X)為X的分量x1,x2,xn的連續(xù)函數(shù),定理3.4 若|X|p與|X|q為Rn上任意兩種范數(shù)，則存在C1，C20，使得對(duì)任意XRn，都有： C1 |X|p |X|q C2 |X|p,證明略,注：同樣有下列結(jié)論：存在C3,C40 使得： C3 |X|q |X|p C4 |X|q,向量范數(shù)的等價(jià)性,注：上述性質(zhì)，稱(chēng)為向量范數(shù)的等價(jià)性。也就是說(shuō)， Rn上任意兩種范數(shù)都是等價(jià)的。在討論向量序列的收斂性時(shí)要用到向量范數(shù)的等價(jià)性,向量序列的收斂問(wèn)題,定義：假定給定了Rn空間中的向量序列X(1),X(2),.,X(k),

3、.，簡(jiǎn)記為X(k)，其中X(k)=(x1(k),x2(k),.,xn(k)T，若X(k)的每一個(gè)分量xi(k)都存在極限xi，即 則稱(chēng)向量X= (x1，x2，.，xn)T為向量序列X(k)的極限，或者說(shuō)向量序列X(k)收斂于向量X，記為,x1,x2,xn,k,k,例：設(shè),解: 顯然，當(dāng)k時(shí),注：顯然有,定理3.5 在空間Rn中，向量序列X(k)收斂于向量X的充要條件是對(duì)X的任意范數(shù)|，有,定理3.5 在空間Rn中，向量序列X(k)收斂于向量X的充要條件是對(duì)X的任意范數(shù)|，有,二、矩陣范數(shù)：設(shè)A是nn 階矩陣，ARnn XRn， |X|為Rn中的某范數(shù)，稱(chēng),為矩陣A的從屬于該向量范數(shù)的范數(shù)，或稱(chēng)

4、為矩陣A的算子，記為|A,A,幾種常用的矩陣范數(shù),常用的矩陣范數(shù)有A的1范數(shù)、 A的2范數(shù)、 A的范數(shù)，可以證明下列定理,定理3.6 設(shè)ARnn，XRn，則,又稱(chēng)為A的列范數(shù),為ATA的特征值中絕對(duì)值最大者,又稱(chēng)為A的行范數(shù),列元素絕對(duì)值之和的最大值,行元素絕對(duì)值之和的最大值,例：設(shè)A,求A的各種范數(shù),解,A|1=6，|A|=7,E-AA|=0,2-30+4=0,弗羅貝尼烏斯 (Frobenius)范數(shù) 簡(jiǎn)稱(chēng)F范數(shù),注,弗羅貝尼烏斯 (Frobenius)范數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)F范數(shù),幾種常用的矩陣范數(shù),Matlab中計(jì)算矩陣的范數(shù)的命令(函數(shù),1) n = norm(A) 矩陣A的譜范數(shù)(2范數(shù)), =

5、AA的最大特征值的算術(shù)根 . (2) n = norm(A,1) 矩陣A的列范數(shù)（1-范數(shù)） 等 于A的最大列之和. (3)n = norm(A,inf) 矩陣A的行范數(shù)(無(wú)窮范數(shù)) 等于A的最大行之和. (4)n = norm(A, fro ) 矩陣A的Frobenius范數(shù),例6. 計(jì)算矩陣A的各種范數(shù),n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, fro,解：A=1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9,n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564,矩陣范數(shù)的性質(zhì),1）對(duì)任意ARnn,有

6、|A|0，當(dāng)且僅當(dāng)A=0時(shí)，|A|=0. （2）|A|=|A|（為任意實(shí)數(shù)） （3）對(duì)于任意A、B Rnn ，恒有 |A+B|A|+|B|. （4）對(duì)于矩陣A Rnn，X Rn ，恒有： |AX| |A| |X|. （5）對(duì)于任意A、B Rnn 恒有 |AB| |A| |B,譜半徑： 設(shè) nn 階矩陣A的特征值為 i(i=1,2,3n),則稱(chēng) (A)=MAX | i| 為矩陣A的譜半徑,1 i n,例5.求矩陣 的譜半徑,譜半徑=A的特征值中絕對(duì)值的最大者,解,定理3.7設(shè)A為任意n階方陣，則對(duì)任意矩陣范數(shù)|A|，有： (A)|A,矩陣范數(shù)與譜半徑之間的關(guān)系為: (A) |A,證:設(shè)為A的任意

7、一個(gè)特征值, X為對(duì)應(yīng)的特征向量,A X = X,兩邊取范數(shù),得, A X | = | X | =| | | X , | | X |= | X |= | A X | | A | | X ,由X 0 ,所以 | X | 0,故有: | | | A ,所以特征值的最大值|A|，即(A)|A,定理3.7 設(shè)A為任意n階方陣，則對(duì)任意矩陣范數(shù)|A|，有： (A)|A,定理3.8 設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)方陣，則有: |A|2= (A,ATA=A2,矩陣序列的收斂性,定義 設(shè)Rnn中有矩陣序列A(k)|A(k)=(aij(k)，若,則稱(chēng)矩陣序列A(k)收斂于矩陣A=(aij)，記為,a11,a21,a12,a22

8、,如,a11,a21,a12,a22,則有,關(guān)于矩陣序列收斂的性質(zhì),定義 設(shè)ARnn中，稱(chēng)|A-B|為A與B之間的距離,其中|A|為Rnn上的某種范數(shù),定理3.10 設(shè)A(0) ，A(1) ，.，A(k)，.為Rnn上的一個(gè)矩陣序列，矩陣序列A(k)收斂于矩陣A的充要條件是存在A的某種范數(shù)|A|，使得,即,定理3.11 任意ARnn，有,證明略,三、方程組的性態(tài)和條件數(shù),線性方程組解對(duì)系數(shù)的敏感性,誤差分析,這種解依賴(lài)于方程組系數(shù)的誤差A(yù)及b的問(wèn)題，稱(chēng)為線性方程組解對(duì)系數(shù)的敏感性,對(duì)于線性方程組A X = b來(lái)說(shuō)，由于觀測(cè)或計(jì)算等原因，線性方程組兩端的系數(shù)A和b都帶有誤差A(yù)和b，這樣實(shí)際建立的

9、方程組是近似方程組(A+A)(X+X)=b+b。對(duì)近似方程組求出的解是原問(wèn)題的真解X加上誤差X,即X+X。而 X是由A及b引起的，它的大小將直接影響所求解的可靠性,絕對(duì)誤差,例：方程組,此方程組的準(zhǔn)確解為x1=0, x2=-1?，F(xiàn)將其右端加以微小的擾動(dòng)使之變?yōu)?經(jīng)計(jì)算可得它的解為x1=2, x2=-3,這兩個(gè)方程組的解相差很大，說(shuō)明方程組的解對(duì)常數(shù)項(xiàng)b的擾動(dòng)很敏感,相對(duì)誤差關(guān)系式：設(shè)有方程組 AX=b (A是可逆矩陣,b0,1）僅常數(shù)項(xiàng)有誤差的情形:設(shè)常數(shù)項(xiàng)b有擾動(dòng)b,則相應(yīng)的解為X+X，即 A（X+X）=b+b,則有,這說(shuō)明常數(shù)項(xiàng)的相對(duì)誤差 在解中放大了|A-1| |A|倍,解的相對(duì)誤差,常

10、數(shù)項(xiàng)的相對(duì)誤差,2）僅系數(shù)矩陣有誤差的情形:設(shè)方程組的系數(shù)A有擾動(dòng)A，則相應(yīng)的解為X+X，即 ( A+A) (X+X) =b,這說(shuō)明系數(shù)的相對(duì)誤差 在解中也放大了|A-1| |A|倍,一般情形,3)常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)矩陣都有誤差的情形: 設(shè)方程組的系數(shù)A有擾動(dòng)A，常數(shù)項(xiàng)b有擾動(dòng)b，則相應(yīng)的解為X+X，即,可推得,與|A-1|A|有關(guān),A+A) (X+X) =b+ b,由上面關(guān)系式可看到，帶有擾動(dòng)的近似方程組中,擾動(dòng)的大小直接影響著所求解的相對(duì)誤差，而解的相對(duì)誤差都與|A-1|A|有關(guān),故可作如下定義,定義：設(shè)A非奇異，稱(chēng)|A-1| |A| 為矩陣A的條件數(shù),記為Cond (A)，即Cond (A)=

11、 |A-1|A,當(dāng)cond(A)1，則方程組稱(chēng)為“病態(tài)”的； 當(dāng)cond(A)較小時(shí)，則方程組稱(chēng)為“良態(tài)”的,方程組的系數(shù)矩陣發(fā)生微小擾動(dòng)，引起方程組性質(zhì)上的變化，這是方程組本身的“條件問(wèn)題,通常使用的條件數(shù)有： （1）cond(A)=|A-1| |A|， （2）cond(A)2=|A-1| 2 |A|2 當(dāng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí),cond(A)2,這里max與min分別是A的絕對(duì)值最大和絕對(duì)值最小的特征值,cond(A)2,當(dāng)A為正定矩陣時(shí),cond(a,p) p=1,2,inf,fro,cond(a,1) cond(a,2) cond(a,inf) cond(a,fro,Cond (A)可反映出方

12、程組解對(duì)系數(shù)的敏感性。我們通過(guò)下面的例子加以理解,絕對(duì)誤差,這兩個(gè)方程組的解相差很大，說(shuō)明方程組的解對(duì)常數(shù)項(xiàng)b的擾動(dòng)很敏感。同時(shí)注意到Cond (A)1.2 104 ,可見(jiàn)條件數(shù)很大,因而是病態(tài)方程組,例:方程組,現(xiàn)將其右端加以微小的擾動(dòng)使之變?yōu)?經(jīng)計(jì)算可得它的準(zhǔn)確解為x1=2, x2=-3,準(zhǔn)確解為x1=0, x2=-1,一般來(lái)說(shuō)，方程組的條件數(shù)越小，求得的解就越可靠；反之，解的可靠性就越差,病態(tài)方程組的求解問(wèn)題,首先考慮怎樣判斷方程組是否屬于病態(tài)方程組,設(shè)方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A非奇異，計(jì)算A的條件數(shù)，是判斷病態(tài)方程組的可靠方法。但在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)方程組的規(guī)模較大時(shí)，計(jì)算條件數(shù)的工作量很

13、大，甚至超過(guò)了求解方程組的計(jì)算量。一般采用下列方式，初步進(jìn)行直觀的判斷,1）當(dāng)det(A)相對(duì)來(lái)說(shuō)很小,或者A的某些行（或列）近似線性相關(guān)，Ax=b可能病態(tài),如果確定待解的方程組Ax=b是一個(gè)病態(tài)方程組,則數(shù)值求解必須小心，選擇合適的方法，否則難以達(dá)到要求的精確度。一般方法有,2）當(dāng)系數(shù)矩陣A中元素的絕對(duì)值相差很大且無(wú)規(guī)則， Ax=b可能病態(tài),3）如果采用Gauss選主元消去法求解，在消元過(guò)程中出現(xiàn)小主元， Ax=b可能病態(tài),4）求解方程組時(shí)，出現(xiàn)一個(gè)很大的解， Ax=b可能病態(tài),方法1 采用盡可能高精度的運(yùn)算，例如雙精度或多精度，以改善和減輕矩陣病態(tài)的影響，但此時(shí)的計(jì)算量將大大增大,例 方程

14、組,1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7,x1 x2 x3 x4,25/12 77/60 57/60 319/420,它的精解為 x,分別用3位和5位有效數(shù)字舍入運(yùn)算的消去法求解，得到的解分別為,x=(0.988，1.42，-0.428, 2.10)T 和 x=(1.0000，0.99950，1.0017, 0.99900)T,顯然后者的精度大大提高了,方法2 采用豫處理，降低矩陣A的條件數(shù)，以改善方程組的病態(tài)程度,例如當(dāng)系數(shù)矩陣A元素的數(shù)量級(jí)差別很大時(shí)，可以對(duì)某些行或列乘上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得A的所有行或列按某種范數(shù)大體上有相同的長(zhǎng)度。我們稱(chēng)這種方法為行（列）均衡法,例 設(shè)方程組,1 104 1 1,考慮用均衡法改善它的條件數(shù),解：矩陣A的條件數(shù)cond(A)104，方程組是病態(tài)的。為了使各行元素的大小均衡，將第一個(gè)方程乘以10-4，得到方程組,10-4 1 1 1,BX,cond(B)4,再計(jì)算矩陣B的條件數(shù)cond(B)4，顯然經(jīng)過(guò)行均衡后，系數(shù)矩陣的條件數(shù)