拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

1、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一設(shè)置情景，導(dǎo)入新課（借助多媒體）先給出一張姚明的圖片。（此時(shí)學(xué)生的興趣來(lái)啦！）師：姚明是我們中國(guó)人的驕傲，我們要向他學(xué)習(xí)！大家都知道姚明的投籃非常精準(zhǔn)！為什么呢？生：天賦、身高！生：勤奮練習(xí)！（再給出兩張姚明的圖片）生：與投籃時(shí)的弧線有關(guān)！生：這弧線是拋物線！師：對(duì)！姚明有許多優(yōu)越的先天條件，同時(shí)好的技術(shù)也是一個(gè)關(guān)鍵的因素，今天我們就著手研究這個(gè)內(nèi)容。二引導(dǎo)探究，獲得新知師：在初中我們已經(jīng)從函數(shù)角度學(xué)過(guò)拋物線，那么，這一節(jié)課我們將沖破初中的界限從曲線和方程的角度來(lái)學(xué)習(xí)拋物線。師：前面，我們學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的相關(guān)知識(shí)，那么它們的聯(lián)系和差異是什么？生：定義不一樣！生：方程！橢

2、圓是 x2y21，雙曲線是 x2y 21 。a2b2a2b2師：還有嗎？生：橢圓是封閉的，雙曲線是開(kāi)放的。師：這只是圖象不同，為什么會(huì)這樣呢？生：第二定義！就是它們到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比等于一個(gè)常數(shù)！生：這個(gè)常數(shù)是離心率e ！師：對(duì)啊！這是定性上的，定量上有不同嗎？生：離心率 e 不同，橢圓離心率 e 的范圍是 0 e 1 ，雙曲線離心率 e 的范圍是 e 1 。師：對(duì)了， e 可看成是它們的相同點(diǎn)，又是不同點(diǎn)！（打開(kāi)幾何畫板）師：現(xiàn)在我慢慢拖動(dòng)，大家認(rèn)真觀察圖象。生： 0e1是橢圓， e1 是雙曲線。師：但你們有沒(méi)觀察到e1時(shí)的圖象？生：拋物線！師：這拋物線是怎么畫出來(lái)的??！ （課

3、堂頓時(shí)一片寂靜）師：那這條拋物線與什么有關(guān)？眾生： e1！師： e1 是什么意思？生：到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離！師：回答得很好！那你們能據(jù)此設(shè)計(jì)一種方案，畫出這樣的點(diǎn)嗎？（一段時(shí)間后，讓學(xué)生匯報(bào)自己的設(shè)計(jì)方案，并用實(shí)物投影儀展示學(xué)生所畫的圖形，師生共同就方案的可行性進(jìn)行論證。 ）PPABPFFFLLL（在直線 PF 上找特殊點(diǎn)）（在第一象限找特殊點(diǎn)）（在第一象限找所有點(diǎn)）【活動(dòng)設(shè)計(jì)】 前后學(xué)生組成四人小組，探討畫圖方案?！窘處熁顒?dòng)】 教師以平等的身份介入學(xué)生的討論中，并且關(guān)注：1. 學(xué)生在知識(shí)認(rèn)知與情感發(fā)展方面的疑惑，及時(shí)引導(dǎo)鼓勵(lì)；2. 關(guān)注每個(gè)人的活動(dòng)情況，做到全員參與，從同學(xué)們的探究

4、中，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的不同程度，思考的不同方向，對(duì)有代表性的方案注意收集；3. 了解學(xué)生探究的進(jìn)展，把握課堂節(jié)奏。 ：同學(xué) 的 我 看到了 條曲 上的一個(gè)點(diǎn)，那么怎么畫 足 e 1 的 象呢？（ 堂又一片寂靜）（出示 先準(zhǔn) 的 曲 教具） ： 在我介 個(gè)教具的用法，將直尺與定直 重合， 直固定在黑板上，再將磁 固定在定點(diǎn)上，拉 白 ，就可以畫出來(lái)了。 上來(lái) ？（兩位學(xué)生 極上臺(tái)板演） ： 兩位同學(xué)表 非常好！ 就是我 的 物 ！【活 】 兩位學(xué)生上臺(tái)演示教具畫拋物 的 程。 ：接下來(lái)我也來(lái)演示下拋物 的形成 程。（打開(kāi)幾何畫板 件） ： 真 察 P 點(diǎn)的運(yùn) 程，你 有什么 ？（利用幾何畫板

5、件同步 演示）生： AP PC 和 AP PF 等于 AC ，所以點(diǎn) P 在運(yùn) ， CP 始 等于 PF 。 ： 位同學(xué) 察很敏 ，直接抓住關(guān) 地方！ ：那 畫出來(lái)的 象也是？眾生：拋物 ！ ：很好！【活 】 利用幾何畫板 件演示拋物 的形成 程。 ：以前我 是用描點(diǎn)法畫出拋物 ，那今天我 怎么畫？眾生：教具， ： 在 教具的位置，那么畫出的 象 是拋物 ？眾生：是。 ： 明了什么？生：畫拋物 與位置無(wú)關(guān)。 ：所以今天我 就巧妙地利用幾何知 和 算機(jī)等方式畫出了整個(gè) 象。 ： 在你 就可以 一下拋物 的定 了！生：到點(diǎn) F 的距離和到直 L 的距離相等的點(diǎn)的 跡叫做 物 。 ： 完整 ？生:

6、，平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F 和到一條定直 L 的距離相等的點(diǎn)的 跡叫做 物 。生：還要注意定點(diǎn)不能在定直線上。師：為什么??？師：如果這樣，就只能找到一個(gè)點(diǎn)。師：說(shuō)得很好！這里F 叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線L 叫做拋物線的準(zhǔn)線。三深入探索，推導(dǎo)方程師：接下來(lái)你們?cè)囋囃茖?dǎo)拋物線的方程？（簡(jiǎn)單回顧求曲線方程的方法）。一段時(shí)間后，實(shí)物投影儀展示學(xué)生探討的結(jié)果。（分組討論，集中探索）1.以 K 為原點(diǎn)，定直線所在的直線為y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，此時(shí)得方程為：y22 pxp2p02. 以 F 為 原 點(diǎn) ， 過(guò) F 且 垂 直 于 定 直 線 F 的 直 線 為 x 軸 建 立 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 ，

7、此 時(shí) 得 方 程 ：y22 pxp2 p03. 以 垂 線 段 KF 的 中 點(diǎn) 為 原 點(diǎn) ， KF 所 在 的 直 線 為 x 軸 建 立 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 此 時(shí) 得 方 程 ：y22 px p0師：哪個(gè)好呢？yyyKFxKFx圖 2KFx圖1圖3LLL生：方案 3 所得的方程更簡(jiǎn)潔！師：我們就把它叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意這里標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)范是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圖象關(guān)于x 軸對(duì)稱?！净顒?dòng)設(shè)計(jì)】 以原來(lái)的四人小組為單位，討論建立直角坐標(biāo)系的方案，一段時(shí)間后，各組交流，對(duì)可行的方案進(jìn)行驗(yàn)證。師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們?cè)龃簏c(diǎn) F 到直尺 L 的距離，重復(fù)剛才的實(shí)驗(yàn)，比較一下，拋物線有什么變化？再縮

8、小這個(gè)距離試一試。生：點(diǎn) F 到直尺 L 的距離發(fā)生變化，拋物線開(kāi)口也發(fā)生變化。師：觀察很準(zhǔn)確！這說(shuō)明了什么？生：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是拋物線的一個(gè)重要的幾何特征。師：說(shuō)得非常好！師：接下來(lái)看課本的一條拋物線，試將你們的課本逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 再觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？生： x 軸和 y 軸對(duì)調(diào)了。生：還有開(kāi)口向上了！師：同學(xué)觀察得很仔細(xì)！那么你們能推出它的方程嗎？生：將 y22 px 中的 x 和 y 對(duì)調(diào)就行了，就是x22 py ！師：大家在等式兩邊同除2 p 看看！生： y1 x2 ，哦，是二次函數(shù)形式！2p師：對(duì)了！這就是我們熟悉的二次函數(shù)了！師：那再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ，怎么求？生：和 y22 px

9、 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，將x 替換 x 就行，就是 y22 px ！師：再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 呢？眾生：和 x22py 圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱，將y 替換 y 就行，就是 x22 py ?。ù蜷_(kāi)計(jì)算機(jī)里的表格，學(xué)生迅速完成表格內(nèi)容?。?biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22 pxppp0,0x22y22 pxppp0,0x22x22 pypypp0,022x22 pyppp0,2y02師：你們完成的過(guò)程有沒(méi)什么發(fā)現(xiàn)？生：從y22 px p0 的形式上，方程的一次項(xiàng)決定焦點(diǎn)的位置。生：還有一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)決定開(kāi)口方向，而且可以迅速算出焦點(diǎn)坐標(biāo)為p ,0和準(zhǔn)線方程為2x p 。2師：還有嗎？生：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程

10、和橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不同的是：確定拋物線只要一個(gè)自由量p ，而確定橢圓和雙曲線則需要兩個(gè)自由量。師：觀察很敏銳，分析很透徹，很好！四 .指導(dǎo)應(yīng)用，鼓勵(lì)創(chuàng)新師：接下來(lái)我們運(yùn)用上述所學(xué)到的知識(shí)來(lái)解決一些問(wèn)題，如：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y212 x ，現(xiàn)在請(qǐng)你們說(shuō)出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。生：方程是關(guān)于 x 的一次項(xiàng)，系數(shù)是負(fù)的，所以焦點(diǎn)在 x 軸上，開(kāi)口向左，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ 3,0 ），準(zhǔn)線方程是 x 3 。再看一道：已知拋物線方程是y12x2 ，請(qǐng)說(shuō)出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。生：焦點(diǎn)坐標(biāo)是0,3 。師：是這樣嗎？生：二次項(xiàng)系數(shù)不為1，所以要先化成標(biāo)準(zhǔn)方程！應(yīng)該先變成x21y 再求。12師：

11、太好了！所以解題時(shí)不要張冠李戴！結(jié)果算出來(lái)了嗎？眾生：焦點(diǎn)坐標(biāo)是0, 1 ，準(zhǔn)線是 y1 。4848師：現(xiàn)在我們回到姚明的這副圖，有一次姚明投籃時(shí)，測(cè)得投籃的軌跡是拋物線，請(qǐng)看右邊畫的圖形，拋物線最高點(diǎn)離底面距離為4m ，籃框高為 3m ，籃框中心離最高點(diǎn)的水平距離為2m ，怎么求投中時(shí)拋物線的方程？（生思考）師：這是一道實(shí)際生活問(wèn)題！我們?nèi)绾螌⑦@個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？生：建立直角坐標(biāo)系！師：那怎么建立?。可哼@里應(yīng)該以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， OA 所在直線為 y 軸建立坐標(biāo)系，這樣拋物線就在x 軸下方，直接設(shè) x22 py p0 ，又 B 2, 1 ，則 p2 ，方程就是 x24y ！師：很好！接著我們還可以算出？生：只要知道姚明的身高，我們還可以算出投籃地方離籃框的水平距離。師：非常好！五小結(jié)概括，深化認(rèn)識(shí)師：今天我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？生：可以巧妙地利用幾何知識(shí)畫出拋物線。生：知道了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)落在對(duì)稱軸上，有四種形式。師：這是知識(shí)方面的。我們還學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？生：轉(zhuǎn)化思想，求解拋物線方程問(wèn)題時(shí)要特別注意先化成標(biāo)準(zhǔn)方程。師：還有嗎？生：從橢圓