抽象函數(shù)常見題型解法綜述

1、抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式， 只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。 由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性， 使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評析如下：一、定義域問題例 1.已知函數(shù)的定義域是 1，2，求 f(x) 的定義域。解：的定義域是 1，2，是指，所以中的滿足從而函數(shù) f(x) 的定義域是 1，4評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是 A，求 f(x) 的定義域問題，相當(dāng)于已知中 x 的取值范圍為 A，據(jù)此求的值域問題。例 2.已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f 作用的對象都在中，由此可得所以函數(shù)的定

2、義域是評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)f(x) 的定義域是 A，求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于已知的值域 B，且，據(jù)此求 x 的取值范圍。例2 和例 1形式上正相反。二、求值問題例 3.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù) f(x) ，同時(shí)滿足下列條件：；，求 f(3) ， f(9) 的值。解：取，得因?yàn)?，所以又取得評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例 4. 設(shè)函數(shù)成立，且存在f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，對于任意實(shí)數(shù)，使得，求函數(shù)x、y，的值域?？偨猓毫?/p>

3、，得，即有或。若實(shí)數(shù)，則，使得成立矛盾，故，對任意均成立，這與存在，必有。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設(shè)存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意所以評析：在處理抽象函數(shù)的問題時(shí)， 往往需要對某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值， 這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問題例 5.設(shè)對滿足的所有實(shí)數(shù)x，函數(shù)滿足，求 f(x)的解析式。解：在中以代換其中 x，得：再在 (1) 中以代換 x，得化簡得：評析：如果把 x 和 分別看作兩個(gè)變量，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略

4、。五、單調(diào)性問題例 6.設(shè) f(x) 定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)時(shí)，且對于任意實(shí)數(shù)x、y，有，求證：在 R 上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，而所以又當(dāng)時(shí)，所以對任意，恒有設(shè)，則所以所以在 R上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問題例 7.已知函數(shù)對任意不等于零的實(shí)數(shù)都有，試判斷函數(shù)f(x) 的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因?yàn)闉榉橇愫瘮?shù)，所以為偶函數(shù)。七、對稱性問題例 8.已知函數(shù)滿足，求的值。解：已知式即在對稱關(guān)系式 中取 ，所以函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 0， 2002）對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 2002，0）對稱。所以將上式中的x 用代換，得評析：這是同一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設(shè) a、b 均為常數(shù)，函數(shù) 對一切實(shí)數(shù) x 都滿足則函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（ a，b）成中心對稱圖形。，八、網(wǎng)絡(luò)綜合問題例 9.定義在 R上的函數(shù) f(x) 滿足：對任意實(shí)數(shù) m，n，總有，且當(dāng) x