線性代數(shù)-同濟(jì)大學(xué)(第五版)課件

1、線性代數(shù)（第五版,在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組. 但是，從許多實(shí)踐或理論問題里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量，并且未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)也不一定相等,我們先討論未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等的特殊情形. 在討論這一類線性方程組時(shí)，我們引入行列式這個(gè)計(jì)算工具,第一章 行列式,內(nèi)容提要 1 二階與三階行列式 2 全排列及其逆序數(shù) 3 n 階行列式的定義 4 對(duì)換 5 行列式的性質(zhì) 6 行列式按行（列）展開 7 克拉默法則,行列式的概念,行列式的性質(zhì)及計(jì)算,線性方程組的求解,選學(xué)內(nèi)容,行列式是線性代數(shù)的一種工具！ 學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計(jì)算行列式的值,1 二階與三階

2、行列式,我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探 求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式,一、二元線性方程組與二階行列式,二元線性方程組,由消元法，得,當(dāng) 時(shí)，該方程組有唯一解,求解公式為,二元線性方程組,請(qǐng)觀察，此公式有何特點(diǎn)？ 分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定. 分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再 相減而得,其求解公式為,二元線性方程組,我們引進(jìn)新的符號(hào)來表示“四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減,記號(hào),數(shù)表,表達(dá)式 稱為由該 數(shù)表所確定的二階行列式，即,其中， 稱為元素,i 為行標(biāo)，表明元素位于第i 行； j 為列標(biāo)，表明元素位于第j 列,原則：橫行豎列,二階行列式的計(jì)算,主對(duì)角線,副對(duì)角線,即：主對(duì)角線上兩元

3、素之積副對(duì)角線上兩元素之積,對(duì)角線法則,二元線性方程組,若令,方程組的系數(shù)行列式,則上述二元線性方程組的解可表示為,例1,求解二元線性方程組,解,因?yàn)?所以,二、三階行列式,定義 設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表,原則：橫行豎列,引進(jìn)記號(hào),稱為三階行列式,主對(duì)角線,副對(duì)角線,二階行列式的對(duì)角線法則并不適用,三階行列式的計(jì)算,對(duì)角線法則,注意：對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式,實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)， 虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào),例2 計(jì)算行列式,解,按對(duì)角線法則，有,方程左端,解,由 得,例3 求解方程,2 全排列及其逆序數(shù),引例,用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

4、,解,1 2 3,1,2,3,百位,3種放法,十位,1,2,3,1,個(gè)位,1,2,3,2種放法,1種放法,種放法,共有,問題 把 n 個(gè)不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法,定義 把 n 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 n 個(gè)元素的全排列. n 個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn 表示,顯然,即n 個(gè)不同的元素一共有n! 種不同的排法,所有6種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前. 因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序,3個(gè)不同的元素一共有3! =6種不同的排法,123，132，213，231，312，32

5、1,對(duì)于n 個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序. n 個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序,定義 當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)， 就稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序,例如 在排列32514中,3 2 5 1 4,思考題：還能找到其它逆序嗎,答：2和1，3和1也構(gòu)成逆序,定義 排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù),排列 的逆序數(shù)通常記為,奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列,偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列,思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列,答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列,計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法,則此排列的逆序數(shù)為,設(shè) 是 1, 2, , n 這n 個(gè)

6、自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序. 先看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在 前面，記為 ； 再看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在 前面，記為 ; 最后看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在 前面，記為,例1,求排列 32514 的逆序數(shù),解,練習(xí),求排列 453162 的逆序數(shù),解,3 n 階行列式的定義,一、概念的引入,規(guī)律： 三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng) 每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積 每一項(xiàng)可以寫成 （正負(fù)號(hào)除外），其中 是1、2、3的某個(gè)排列. 當(dāng) 是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)； 當(dāng) 是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào),所以，三階行列式可以寫成,其中 表示對(duì)1、2、3的所有排列求和,二階行列式有類似規(guī)律.下面

7、將行列式推廣到一般的情形,二、n 階行列式的定義,n 階行列式共有 n! 項(xiàng) 每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的 n 個(gè)元素的乘積 每一項(xiàng)可以寫成 （正負(fù)號(hào)除外），其中 是1, 2, , n 的某個(gè)排列. 當(dāng) 是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)； 當(dāng) 是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào),簡記作 ， 其中 為行列式D的(i, j)元,思考題： 成立嗎,答：符號(hào) 可以有兩種理解： 若理解成絕對(duì)值，則 ； 若理解成一階行列式，則,注意：當(dāng)n = 1時(shí)，一階行列式|a| = a，注意不要與絕對(duì)值的記號(hào)相混淆. 例如：一階行列式,例,寫出四階行列式中含有因子 的項(xiàng),例,計(jì)算行列式,解,和,解,其中,四個(gè)結(jié)論,1) 對(duì)角行列式

8、,2,3) 上三角形行列式 （主對(duì)角線下側(cè)元素都為0,4) 下三角形行列式 （主對(duì)角線上側(cè)元素都為0,思考題：用定義計(jì)算行列式,解：用樹圖分析,1,1,3,3,1,2,3,1,2,2,1,故,思考題,已知 ，求 的系數(shù),故 的系數(shù)為1,解,含 的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即,對(duì)應(yīng)于,4 對(duì)換,一、對(duì)換的定義,定義,在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換,將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換,例如,備注 相鄰對(duì)換是對(duì)換的特殊情形. 一般的對(duì)換可以通過一系列的相鄰對(duì)換來實(shí)現(xiàn). 如果連續(xù)施行兩次相同的對(duì)換，那么排列就還原了,二、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系,定理1對(duì)換改變排列的奇偶性,證明

9、,先考慮相鄰對(duì)換的情形,注意到除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變,當(dāng) 時(shí)， ， ，,當(dāng) 時(shí)， ， ，,因此相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性,既然相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性，那么,因此，一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列的奇偶性改變,推論,奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)， 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù),由定理1知，對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為零)，因此可知推論成立,證明,因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以 n 個(gè)元素相乘的次序是可以任意的，即,每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列 與 都同時(shí)作一次對(duì)換，即 與 同時(shí)改變奇偶性，但是這兩個(gè)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變

10、,于是 與 同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù),即 是偶數(shù),因?yàn)閷?duì)換改變排列的奇偶性， 是奇數(shù)， 也是奇數(shù),設(shè)對(duì)換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為,所以 是偶數(shù),因此，交換 中任意兩個(gè)元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變,設(shè)經(jīng)過一次對(duì)換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為,經(jīng)過一次對(duì)換是如此，經(jīng)過多次對(duì)換還是如此. 所以，在一系列對(duì)換之后有,定理2 n 階行列式也可定義為,定理3 n 階行列式也可定義為,例1 試判斷 和,是否都是六階行列式中的項(xiàng),所以 是六階行列式中的項(xiàng),行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和,所以 不是六階行列式中的項(xiàng),例2 用行列式的定義計(jì)算,解,1. 對(duì)換改變排

11、列奇偶性,2. 行列式的三種表示方法,三、小結(jié),5 行列式的性質(zhì),一、行列式的性質(zhì),行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式,若記 ，則,記,性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即,性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,證明,根據(jù)行列式的定義，有,若記 ，則,行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立,性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào),驗(yàn)證,于是,推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零,證明,互換相同的兩行，有 ，所以,備注：交換第 行（列）和第 行（列），記作,性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù) ，等于用數(shù) 乘以此行列式,驗(yàn)證,

12、我們以三階行列式為例. 記,根據(jù)三階行列式的對(duì)角線法則，有,備注：第 行（列）乘以 ，記作,推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面,備注：第 行（列）提出公因子 ，記作,驗(yàn)證,我們以4階行列式為例,性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零,性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和, 例如,則,驗(yàn)證,我們以三階行列式為例,性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變,則,驗(yàn)證,我們以三階行列式為例. 記,備注：以數(shù) 乘第 行（列）加到第 行（列）上，記作,例,二、應(yīng)用舉例,計(jì)算行列式常用

13、方法：利用運(yùn)算把行列式化為 上三角形行列式，從而算得行列式的值,解,例2 計(jì)算 階行列式,解,將第 列都加到第一列得,例3 設(shè),證明,證明,對(duì) 作運(yùn)算 ，把 化為下三角形行列式,設(shè)為,對(duì) 作運(yùn)算 ，把 化為下三角形行列式,設(shè)為,對(duì) D 的前 k 行作運(yùn)算 ，再對(duì)后 n 列作運(yùn)算 ， 把 D 化為下三角形行列式,故,行列式中行與列具有同等的地位, 凡是對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也同樣成立,計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值,三、小結(jié),行列式的6個(gè)性質(zhì),計(jì)算4階行列式,思考題,思考題解答,解,6 行列式按行(列)展開,對(duì)角線法則只適用于二階與三

14、階行列式. 本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式,一、引言,結(jié)論 三階行列式可以用二階行列式表示,思考題 任意一個(gè)行列式是否都可以用較低階的行列式表示,例如,把 稱為元素 的代數(shù)余子式,在n 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃后，留下來的n1階行列式叫做元素 的余子式，記作,結(jié)論 因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識(shí)行列式的元素，所以行列 式中每一個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式,引理 一個(gè)n 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即,例如,即有,又,從而,下面再討論一般情形,分析,當(dāng) 位于第1行第1列時(shí),根據(jù)P.14例10的結(jié)

15、論,我們以4階行列式為例,思考題：能否以 代替上述兩次行變換,思考題：能否以 代替上述兩次行變換,答：不能,被調(diào)換到第1行，第1列,二、行列式按行（列）展開法則,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,同理可得,例（P.12例7續(xù),證明 用數(shù)學(xué)歸納法,例 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式,所以n=2時(shí)(1)式成立,假設(shè)(1)對(duì)于n1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行 減去前行的 倍,按照第1列展開，并提出每列的公因子 ，就有,n1階范德蒙德行列式,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,分析 我們

16、以3階行列式為例,把第1行的元素?fù)Q成第2行的對(duì)應(yīng)元素，則,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,綜上所述，有,同理可得,例 計(jì)算行列式,解,例 設(shè) , 的 元的余子式和 代數(shù)余子式依次記作 和 ，求,分析 利用,及,解,7 克拉默法則,二元線性方程組,若令,方程組的系數(shù)行列式,則上述二元線性方程組的解可表示為,一、克拉默法則,如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，即,其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 階行列式，即,那么線性方程組(1)

17、有解并且解是唯一的，解可以表示成,定理中包含著三個(gè)結(jié)論,方程組有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性） 解可以由公式(2)給出,這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的. 應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論,關(guān)于克拉默法則的等價(jià)命題,定理4 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的,定理4 如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零,設(shè),例 解線性方程組,解,線性方程組,常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組,齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)?0

18、,0, 0)就是一個(gè)解，稱為零解. 因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解,我們關(guān)心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解,齊次線性方程組的相關(guān)定理,定理5 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 ，則齊次 線性方程組只有零解，沒有非零解,定理5 如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零,備注 這兩個(gè)結(jié)論說明系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件. 在第三章還將證明這個(gè)條件也是充分的. 即： 齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式等于零,練習(xí)題：問 取何值時(shí)，齊次方程組,有非零解,解,如果齊次方程組有非零解，則必有,所以 時(shí)齊次方程組有非零解,思考題,當(dāng)線性方程

19、組的系數(shù)行列式為零時(shí)，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時(shí)方程組的解為何,答：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí)，不能用克拉默法 則解方程組，因?yàn)榇藭r(shí)方程組的解為無解或有無窮多解,1. 用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件,1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù),2)系數(shù)行列式不等于零,2. 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解 和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系它主要適用于 理論推導(dǎo),三、小結(jié),第二章 矩陣及其運(yùn)算,1 矩陣,一、矩陣概念的引入 二、矩陣的定義 三、特殊的矩陣 四、矩陣與線性變換,例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指

20、向目的地,B,A,C,D,城市間的航班圖情況常用表格來表示,一、矩陣概念的引入,為了便于計(jì)算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一個(gè)數(shù)表,A B C D,A B C D,這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況,其中aij 表示工廠向第 i 家商店 發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可 用數(shù)表表示為,這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,由 mn 個(gè)數(shù) 排成的 m 行 n 列的數(shù)表,稱為 m 行 n 列矩陣，簡稱 mn 矩陣,記作,二、矩陣的定義,簡記為,元素是實(shí)數(shù)

21、的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣,這 mn 個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元,行數(shù)不等于列數(shù) 共有mn個(gè)元素 本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表,行數(shù)等于列數(shù) 共有n2個(gè)元素,矩陣,行列式,行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱為 n 階方陣可記作 . 只有一行的矩陣 稱為行矩陣(或行向量) . 只有一列的矩陣 稱為列矩陣(或列向量) . 元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作 O,例如,三、特殊的矩陣,形如 的方陣稱為對(duì)角陣 特別的，方陣 稱為單位陣,記作,記作,同型矩陣與矩陣相等的概念,兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣,例如,為同型矩陣,兩個(gè)矩陣 與 為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元 素相等，即 則稱矩陣

22、 A 與 B 相等，記作 A = B,注意：不同型的零矩陣是不相等的,例如,表示一個(gè)從變量 到變量 線性變換， 其中 為常數(shù),四、矩陣與線性變換,n 個(gè)變量 與 m 個(gè)變量 之間的 關(guān)系式,系數(shù)矩陣,線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,例 線性變換,稱為恒等變換,單位陣 En,投影變換,例 2階方陣,以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針 旋轉(zhuǎn)j 角的旋轉(zhuǎn)變換,例 2階方陣,2 矩陣的運(yùn)算,例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店 發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示,試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量,其中aij 表示上半年工廠向第 i 家 商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,其中cij 表示工廠下半年向第

23、 i 家 商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量,一、矩陣的加法,定義：設(shè)有兩個(gè) mn 矩陣 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩陣 A 與 B 的和記作 AB，規(guī)定為,說明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算,知識(shí)點(diǎn)比較,矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律,設(shè) A、B、C 是同型矩陣,設(shè)矩陣 A = (aij) ，記A = (aij)，稱為矩陣 A 的負(fù)矩陣 顯然,設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各 l 件，試求：工廠向該商 店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量,例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)， bi

24、2 表示第 i 種貨物的單件重量,解：工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,二、數(shù)與矩陣相乘,定義：數(shù) l 與矩陣 A 的乘積記作 l A 或 A l ，規(guī)定為,數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律,設(shè) A、B是同型矩陣，l , m 是數(shù),矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算,知識(shí)點(diǎn)比較,其中aij 表示工廠向第 i 家商店 發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,例（續(xù)） 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物 數(shù)量可用數(shù)表表示為,這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)， bi 2

25、 表示第 i 種貨物的單件重量,試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量,解,以 ci1， ci2 分別表示工廠向第 i 家商店所發(fā)貨物的總值及 總重量，其中 i = 1, 2, 3于是,其中aij 表示工廠向第 i 家商店 發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價(jià)， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,可用矩陣表示為,一般地,一、矩陣與矩陣相乘,定義：設(shè) ， ，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個(gè) mn 矩陣 ，其中,并把此乘積記作 C = AB,例：設(shè),則,知識(shí)點(diǎn)比較,有意義,沒有意義,只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù) 等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,例

26、 P.35例5,結(jié)論： 矩陣乘法不一定滿足交換律. 矩陣 ，卻有 ， 從而不能由 得出 或 的結(jié)論,矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律,1) 乘法結(jié)合律,3) 乘法對(duì)加法的分配律,2) 數(shù)乘和乘法的結(jié)合律 （其中 l 是數(shù),4) 單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即,推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣 lE 與任何同階方陣都是可交換的,純量陣不同于對(duì)角陣,5) 矩陣的冪 若 A 是 n 階方陣，定義,顯然,思考：下列等式在什么時(shí)候成立,A、B可交換時(shí)成立,四、矩陣的轉(zhuǎn)置,定義：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT,例,轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì),例：已知,解法1,解法2,

27、定義：設(shè) A 為 n 階方陣，如果滿足 ，即 那么 A 稱為對(duì)稱陣,如果滿足 A = AT，那么 A 稱為反對(duì)稱陣,對(duì)稱陣,反對(duì)稱陣,例：設(shè)列矩陣 X = ( x1, x2, , xn )T 滿足 X T X = 1，E 為 n 階單位陣，H = E2XXT，試證明 H 是對(duì)稱陣，且 HHT = E,證明,從而 H 是對(duì)稱陣,五、方陣的行列式,定義：由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 A 的行列式，記作|A|或detA,運(yùn)算性質(zhì),證明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意義，A、B 必為同階方陣， 假設(shè) A = (aij)nn，B = (bij)nn,我們以 n= 3 為例，構(gòu)

28、造一個(gè)6階行列式,令 ，則 C = (cij)= AB,從而,定義：行列式 |A| 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 Aij 所構(gòu)成的如下矩陣 稱為矩陣 A 的伴隨矩陣,元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第 i 列,性質(zhì),性質(zhì),證明,設(shè)A，B 為復(fù)矩陣，l 為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的,六、共軛矩陣,運(yùn)算性質(zhì),當(dāng) 為復(fù)矩陣時(shí)，用 表示 的共軛復(fù)數(shù)，記， 稱為 的共軛矩陣,3 逆矩陣,矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算. 矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？ 這就是本節(jié)所要討論的問題. 這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是 n 階方陣,從乘法的角度來看，n 階單位矩陣 E 在同階方陣中的地位類似于

29、 1 在復(fù)數(shù)中的地位 一個(gè)復(fù)數(shù) a 0的倒數(shù) a1可以用等式 a a1 = 1 來刻劃. 類似地，我們引入,對(duì)于 n 階單位矩陣 E 以及同階的方陣 A，都有,定義： n 階方陣 A 稱為可逆的，如果有 n 階方陣 B，使得,這里 E 是 n 階單位矩陣,根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式. 對(duì)于任意的 n 階方陣 A，適合上述等式的矩陣 B 是唯 一的（如果有的話,定義： 如果矩陣 B 滿足上述等式，那么 B 就稱為 A 的逆矩陣， 記作 A1,下面要解決的問題是： 在什么條件下，方陣 A 是可逆的？ 如果 A 可逆，怎樣求 A1 ,結(jié)論： ，其中,定理：若 ，則方陣A可逆，而且,

30、推論：若 ，則,元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第 i 列,例：求二階矩陣 的逆矩陣,例：求3階方陣 的逆矩陣,解：| A | = 1,則,方陣A可逆,此時(shí)，稱矩陣A為非奇異矩陣,定理：若方陣A可逆，則,推論： 如果 n 階方陣A、B可逆，那么 、 、 與AB也可逆，且,線性變換,的系數(shù)矩陣是一個(gè)n 階方陣 A ，若記,則上述線性變換可記作 Y = AX,例：設(shè)線性變換的系數(shù)矩陣是一個(gè) 3 階方陣,記,則上述線性變換可記作 Y = AX 求變量 y1, y2, y3 到變量 x1, x2, x3的線性變換相當(dāng)于求方陣 A 的逆矩陣,已知 ，于是 ，即,4 矩陣分塊法,前言,由于某些條件的限制

31、，我們經(jīng)常會(huì)遇到大型文件無法上傳的情況，如何解決這個(gè)問題呢? 這時(shí)我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳. 家具的拆卸與裝配 問題一：什么是矩陣分塊法？ 問題二：為什么提出矩陣分塊法,問題一：什么是矩陣分塊法,定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個(gè)小塊，這種操作 稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊； 每一個(gè)小塊稱為矩陣的子塊； 矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣,這是2階方陣嗎,思考題,伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？ 答：不是伴隨矩陣的元素是代數(shù)余子式（一個(gè)數(shù)），而不 是矩陣,問題二：為什么提出矩陣分塊法,答：對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A，運(yùn)算時(shí)采用分塊法， 可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，

32、 體現(xiàn)了化整為零的思想,分塊矩陣的加法,若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即,則有,形式上看成是普通矩陣的加法,分塊矩陣的數(shù)乘,若l 是數(shù)，且,則有,形式上看成是普通的數(shù)乘運(yùn)算,分塊矩陣的乘法,一般地，設(shè) A為ml 矩陣，B為l n矩陣 ，把 A、B 分塊如下,按行分塊以及按列分塊,mn 矩陣 A 有m 行 n 列，若將第 i 行記作 若將第 j 列記作 則,于是設(shè) A 為 ms 矩陣，B 為 s n 矩陣， 若把 A 按行分塊，把 B 按列塊，則,分塊矩陣的轉(zhuǎn)置,若 ，則 例如,分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置， 而且每一個(gè)子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置,分塊對(duì)角矩陣,定義：設(shè) A 是 n 階矩陣，若

33、A 的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊， 其余子塊都為零矩陣， 對(duì)角線上的子塊都是方陣， 那么稱 A 為分塊對(duì)角矩陣 例如,分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì), A | = | A1 | | A2 | | As | 若| As | 0，則 | A | 0，并且,例:設(shè) ，求 A1 解,例：往證 Amn = Omn的充分必要條件是方陣ATA = Onn 證明：把 A 按列分塊，有 于是 那么 即 A = O,第三章 矩陣的初等變換與線性方程組,知識(shí)點(diǎn)回顧：克拉默法則,結(jié)論 1 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4,結(jié)論 1如果線性方程組無解或有兩個(gè)

34、不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零. （P.24定理4,設(shè),用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件,1) 方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù),2) 系數(shù)行列式不等于零,線性方程組的解受哪些因素的影響,1 矩陣的初等變換,一、初等變換的概念 二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系 三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系 四、初等變換的應(yīng)用,引例：求解線性方程組,一、矩陣的初等變換,2,2,3,2,5,3,2,取 x3 為自由變量，則,令 x3 = c ，則,恒等式,三種變換,交換方程的次序，記作,以非零常數(shù) k 乘某個(gè)方程，記作,一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 k 倍，記作,其逆變換是,結(jié)論： 由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前

35、后的方程組同解. 在上述變換過程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算,定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換,對(duì)調(diào)兩行，記作,以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素，記作,某一行加上另一行的 k 倍，記作,其逆變換是,把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義,矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換,初等變換,初等行變換,初等列變換,增廣矩陣,結(jié)論： 對(duì)原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換,B5 對(duì)應(yīng)方程組為,令 x3 = c ，則,備注,帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“ = ”例如： 矩陣加法 數(shù)乘矩陣、矩陣乘法 矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)） 方陣的行列

36、式| 不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“”例如： 初等行變換 初等列變換,有限次初等行變換,有限次初等列變換,行等價(jià)，記作,列等價(jià)，記作,二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系,有限次初等變換,矩陣 A 與矩陣 B 等價(jià)，記作,矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)： 反身性 ； 對(duì)稱性 若 ，則 ； 傳遞性 若 ，則,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個(gè)臺(tái)階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素,行最簡形矩陣： 非零行的第一個(gè)非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零,行最簡形矩陣： 非零行的第一個(gè)非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零,標(biāo)準(zhǔn)形矩陣： 左上角是一個(gè)單位矩陣，

37、其它元素全為零,標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個(gè)參 數(shù)完全確定，其中 r 就是行階 梯形矩陣中非零行的行數(shù),三者之間的包含關(guān)系,任何矩陣,行最簡形矩陣,行階梯形矩陣,標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,結(jié)論,定義：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為 初等矩陣,三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣. 對(duì)調(diào)單位陣的兩行（列）； (2)以常數(shù) k0 乘單位陣的某一 行（列）； (3)以 k 乘單位陣單位陣的某一 行（列）加到另一 行（列）,三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系,1) 對(duì)調(diào)單位陣的第 i, j 行（列,記作 E5(3, 5,記作 Em( i, j,2)以常數(shù) k0 乘單位陣第 i 行（列,記作 E5(3(k,記作 E

38、m(i(k,3)以 k 乘單位陣第 j 行加到第 i 行,記作 E5(35(k,記作 Em(ij(k,以 k 乘單位陣第 i 列加到第 j 列,兩種理解,結(jié)論,把矩陣A的第 i 行與第 j 行對(duì)調(diào)，即,把矩陣A的第 i 列與第 j 列對(duì)調(diào)，即,以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 行，即,以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 列，即,把矩陣A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即,把矩陣A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即,性質(zhì)1 設(shè)A是一個(gè) mn 矩陣， 對(duì) A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣； 對(duì) A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n

39、階初等矩陣,口訣：左行右列,初等變換,初等變換的逆變換,初等矩陣,因?yàn)椤皩?duì)于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣,所以,一般地，,因?yàn)椤皩?duì)于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣,所以,一般地，,因?yàn)椤皩?duì)于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣,所以,一般地，,初等變換,初等變換的逆變換,初等矩陣,初等矩陣的逆矩陣,初等矩陣的逆矩陣是,性質(zhì)2 方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl,這表明，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩

40、陣是單位陣. 其實(shí)，可逆矩陣的行最簡形矩陣也是單位陣,推論1 方陣 A 可逆的充要條件是,推論2 方陣 A 與 B 等價(jià)的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q ，使 PAQ = B,四、初等變換的應(yīng)用,解,例,即,初等行變換,例,解,2 矩陣的秩,一、矩陣的秩的概念,定義：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)， 位于這些行列交叉處的 k2 個(gè)元素，不改變它們?cè)?A中所處 的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式,顯然，mn 矩陣 A 的 k 階子式共有 個(gè),概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式,與元素a12相

41、對(duì)應(yīng)的余子式,相應(yīng)的代數(shù)余子式,矩陣 A 的一個(gè) 2 階子塊,矩陣 A 的一個(gè) 2 階子式,定義：設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的 r 階子式 D，且所有 r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣 A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A,規(guī)定：零矩陣的秩等于零,矩陣 A 的一個(gè) 3 階子式,矩陣 A 的 2 階子式,如果矩陣 A 中所有 2 階子式都等于零，那么這個(gè) 3 階子式也等于零,定義：設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的 r 階子式 D，且所有 r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣 A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A

42、的秩，記作 R(A,根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣 A 中任何一個(gè) r +2 階子式（如果存在的話）都可以用 r +1 階子式來表示 如果矩陣 A 中所有 r +1 階子式都等于零，那么所有 r +2階子式也都等于零 事實(shí)上，所有高于 r +1 階的子式（如果存在的話）也都等于零 因此矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù),規(guī)定：零矩陣的秩等于零,矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù),顯然， 若矩陣 A 中有某個(gè) s 階子式不等于零，則 R(A) s ； 若矩陣 A 中所有 t 階子式等于零，則 R(A) t 若 A 為 n 階矩陣，則 A 的 n 階子式只有一個(gè)，即|A

43、| 當(dāng)|A|0 時(shí)， R(A) = n ; 可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣 當(dāng)|A| = 0 時(shí)， R(A) n ; 不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣 若 A 為 mn 矩陣，則 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A),矩陣 A 的一個(gè) 2 階子式,矩陣 AT 的一個(gè) 2 階子式,AT 的子式與 A 的子式對(duì)應(yīng)相等，從而 R(AT) = R(A),例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解：在 A 中，2 階子式,A 的 3 階子式只有一個(gè)，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2,例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解（續(xù)）：B 是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行

44、有 3 行，因此其 4 階子式全為零,以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的 3 階子式,因此 R(B) = 3,還存在其它3 階非零子式嗎,例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解（續(xù)）：B 還有其它 3 階非零子式，例如,結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù),二、矩陣的秩的計(jì)算,例：求矩陣 A 的秩，其中,分析：在 A 中，2 階子式,A 的 3 階子式共有 (個(gè))， 要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的,一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的,行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù),一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣,兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等,定理：若

45、 A B，則 R(A) = R(B),證明思路： 證明 A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則 R(A)R(B) B 也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)?A，則 R(B)R(A)，于是 R(A) = R(B) 經(jīng)過一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變 設(shè) A 經(jīng)過初等列變換變?yōu)?B，則 AT 經(jīng)過初等行變換變?yōu)?BT ，從而 R(AT) = R(BT) 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B),第 1 步： A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則R(A)R(B),證明： 設(shè) R(A) = r ，且 A 的某個(gè) r 階子式 D 0 當(dāng)

46、 或 時(shí)， 在 B 中總能找到與 D 相對(duì)應(yīng)的 r 階子式 D1 由于D1 = D 或 D1 = D 或 D1 = kD，因此 D1 0 ，從而 R(B) r 當(dāng) 時(shí)，只需考慮 這一特殊情形,返回,第 1 步： A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則R(A)R(B),證明（續(xù)）：分兩種情形討論： (1) D 中不包含 r1 中的元素 這時(shí) D 也是 B 的 r 階非零子式，故 R(B) r (2) D 中包含 r1 中的元素 這時(shí) B 中與 D 相對(duì)應(yīng)的 r 階子式 D1 為,若p = 2，則 D2 = 0，D = D1 0 ，從而 R(B) r ； 若p2，則 D1kD2 = D 0 ， 因?yàn)檫@

47、個(gè)等式對(duì)任意非零常數(shù) k 都成立， 所以 D1、D2 不同時(shí)等于零， 于是 B 中存在 r 階非零子式 D1 或 D2，從而 R(B) r ， 即R(A)R(B),定理：若 A B，則 R(A) = R(B),應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把 矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是 該矩陣的秩,例：求矩陣 的秩，并求 A 的一個(gè) 最高階非零子式,解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣,行階梯形矩陣有 3 個(gè)非零行，故R(A) = 3,第二步求 A 的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行 的第一個(gè)非零元所在的列,與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、 二、

48、四列,R(A0) = 3，計(jì)算 A0的前 3 行構(gòu)成的子式,因此這就是 A 的一個(gè)最高階非零子式,分析：對(duì) B 作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設(shè) B 的行階梯 形矩陣為 ，則 就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從 中同時(shí)看出R(A)及 R(B),例：設(shè) ，求矩陣 A 及矩陣 B = (A, b) 的秩,解,R(A) = 2 R(B) = 3,矩陣的秩的性質(zhì),若 A 為 mn 矩陣，則 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，則 R(A) = R(B) 若 P、Q 可逆，則 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特別地，當(dāng)

49、 B = b 為非零列向量時(shí)，有 R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若 Amn Bnl = O，則 R(A)R(B)n,例：設(shè) A 為 n 階矩陣， 證明 R(AE)R(AE)n,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C),附注： 當(dāng)一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣 特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣 本題中，當(dāng) C = O，這時(shí)結(jié)論為： 設(shè) AB = O，若 A 為列滿秩矩陣，則 B = O,例：設(shè) A 為 n 階矩陣， 證明 R(AE)

50、R(AE)n,證明：因?yàn)?(AE) (EA) = 2E， 由性質(zhì)“R(AB)R(A)R(B) ”有 R(AE)R(EA)R(2E) = n 又因?yàn)镽(EA) = R(AE)，所以 R(AE)R(AE)n,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C),解：因?yàn)?R(A) = n， 所以 A 的行最簡形矩陣為 ， 設(shè) m 階可逆矩陣 P ，滿足 于是 因?yàn)?R(C) = R(PC)，而 ，故R(B) = R(C),行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個(gè)臺(tái)階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素,行最簡形矩陣： 非零行的第一個(gè)非零元為

51、1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零,分析：若 R(A) = n，則 A 的行最簡形矩陣應(yīng)該 有 n 個(gè)非零行； 每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元為 1 ； 每個(gè)非零元所在的列的其它元素都為零 于是 A 的行最簡形中應(yīng)該包含以下 n 個(gè)列向量,又因?yàn)?A 是 mn 矩陣，所以 A 的行最簡形矩陣為,前 n 行,后 m - n 行,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C),返回,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C),附注： 當(dāng)一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣 特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成

52、為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣 因此，本例的結(jié)論當(dāng) A 為為方陣時(shí)，就是性質(zhì) 本題中，當(dāng) C = O，這時(shí)結(jié)論為： 設(shè) AB = O，若 A 為列滿秩矩陣，則 B = O,3 線性方程組的解,一、線性方程組的表達(dá)式,一般形式 向量方程的形式 方程組可簡化為 AX = b,增廣矩陣的形式 向量組線性組合的形式,二、線性方程組的解的判定,設(shè)有 n 個(gè)未知數(shù) m 個(gè)方程的線性方程組,定義：線性方程組如果有解，就稱它是相容的；如果無解， 就稱它是不相容的,問題1：方程組是否有解？ 問題2：若方程組有解，則解是否唯一？ 問題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體,m、n 不一定相等,定理：n 元線性方

53、程組 Ax = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n,分析：只需證明條件的充分性，即 R(A) R(A, b) 無解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解； R(A) = R(A, b) n 無窮多解 那么 無解 R(A) R(A, b) ； 唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 無窮多解 R(A) = R(A, b) n,證明：設(shè) R(A) = r ，為敘述方便，不妨設(shè) B = (A, b) 的行最 簡形矩陣為 第一步：往證

54、R(A) R(A, b) 無解 若 R(A) R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)1，則 dr+1 = 1 于是 第 r +1 行對(duì)應(yīng)矛盾方程 0 = 1，故原線性方程組無解,R(A) R(A, b) R(A)1,前 r 列,后 n - r 列,前 n 列,前 r 列,第二步：往證 R(A) = R(A, b) = n 唯一解 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原線性方程組有唯一解,后 n - r 列,則 dr+1 = 0 且 r = n,對(duì)應(yīng)的線性方程組為,從而 bij 都不出現(xiàn),前 r 列,n 列,第二步：往證 R(A) = R(A, b) = n 唯一解 若 R

55、(A) = R(A, b) = n， 故原線性方程組有唯一解,則 dr+1 = 0 且 bij 都不出現(xiàn),即 r = n,前 r 行,后 mr 行,后 n - r 列,n 行,對(duì)應(yīng)的線性方程組為,后 mn 行,第三步：往證 R(A) = R(A, b) n 無窮多解 若 R(A) = R(A, b) n ， 對(duì)應(yīng)的線性方程組為,前 r 列,則 dr+1 = 0,后 n - r 列,即 r n,令 xr+1, , xn 作自由變量，則,再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，則,線性方程組的通解,例：求解非齊次線性方程組,解,R(A) = R(A, b) =

56、3 4，故原線性方程組有無窮多解,備注,有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = r n ，這時(shí),還能根據(jù) R(A) = R(A, b) = r n 判斷該線性方程組有無限多解嗎,同解,返回,解（續(xù)）： 即得與原方程組同解的方程組 令 x3 做自由變量，則 方程組的通解可表示為,例：求解非齊次線性方程組,解,R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原線性方程組無解,例：求解齊次線性方程組,提問：為什么只對(duì)系數(shù)矩陣 A 進(jìn)行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰?矩陣,答：因?yàn)辇R次線性方程組 AX = 0 的常數(shù)項(xiàng)都等于零，于是 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可從 R(A)

57、 判斷齊次線性方程組 的解的情況,例：設(shè)有線性方程組,問 l 取何值時(shí)，此方程組有(1) 唯一解；(2) 無解；(3) 有無 限多個(gè)解？并在有無限多解時(shí)求其通解,定理：n 元線性方程組 AX = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n,解法1：對(duì)增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣,附注： 對(duì)含參數(shù)的矩陣作初等變換時(shí)，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜進(jìn)行下列的變換： 如果作了這樣的變換，則需對(duì) l +1 = 0（或 l +3 =

58、 0）的情況另作討論,分析： 討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù) l 取何值時(shí)，r2 、r3 是非零行 在 r2 、r3 中，有 5 處地方出現(xiàn)了l ，要使這 5 個(gè)元素等于零， l = 0，3，3，1 實(shí)際上沒有必要對(duì)這 4 個(gè)可能取值逐一進(jìn)行討論，先從方程組有唯一解入手,于是 當(dāng) l 0 且 l 3 時(shí)，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解 當(dāng) l = 0 時(shí)，R(A) = 1， R(B) = 2 ，無解 當(dāng) l = 3 時(shí)，R(A) = R(B) = 2 ，有無限多解,解法2：因?yàn)橄禂?shù)矩陣 A 是方陣，所以方程組有唯一解的充 分必要條件是 |A| 0,于是當(dāng) l 0 且 l 3 時(shí)

59、，方程組有唯一解,當(dāng) l = 0 時(shí)， R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程組無解,當(dāng) l = 3 時(shí)， R(A) = R(B) = 2 ，方程組有無限多個(gè)解，其通解為,定理：n 元線性方程組 AX = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n,分析：因?yàn)閷?duì)于 AX = 0 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可從 R(A) 判斷齊次線性方程組的解的情況,定理：n 元齊次線性方程組 AX = 0 有非零解的充分必要條件 是 R(A) n,定

60、理：線性方程組 AX = b 有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b),定理：矩陣方程 AX = B 有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, B),定理：矩陣方程 AX = B 有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, B),證明：設(shè) A 是 mn 矩陣， B 是 ml 矩陣， X 是 nl 矩陣. 把 X 和 B 按列分塊，記作 X = ( x1, x2, , xl ) ，B = ( b1, b2, , bl ) 則 即矩陣方程 AX = B 有解 線性方程組 Axi = bi 有解 R(A) = R( A, bi,設(shè) R(A) = r ，A 的行最簡形矩陣為 ，則 有